«Серия математическая 33 (1969), 707—734 УДК 513.8 М. Л. ГРОМОВ СТАБИЛЬНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ СЛОЕНИЙ В МНОГООБРАЗИЯ В работе изучаются топологические свойства пучков ...»

ИЗВЕСТИЯ АКАДЕМИИ НАУК СССР

Серия математическая

33 (1969), 707—734

УДК 513.8

М. Л. ГРОМОВ

СТАБИЛЬНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ СЛОЕНИЙ В МНОГООБРАЗИЯ

В работе изучаются топологические свойства пучков ростков ото­

бражений и для таких пучков строится аналог теории препятствий .

Предлагаемый метод позволяет распространить результаты Смейла и

Хиргна, касающиеся пространств иммерсий, на широкие классы про­ странств гладких отображений .

Введение Рассмотрим гладкие многообразия М, N и пространство С°° (М, TV) гладких отображений M-+N, снабженное С°°-топологией. В пространстве С°° (М, TV) действует группа D (М) диффеоморфизмов многообразия М .

Подпространство R a C°° (M, TV) назовем стабильным пространством, если:

а) R открыто в С°° (М, TV);

б) R инвариантно относительно действия группы D(M);

в) если / е С°° (М, TV) и для каждой точки т е М существует такой элемент g ^ R, что отображения /, g: М-^ N совпадают в некоторой окрестности точки т, то / принадлежит R .

Приведем примеры стабильных подпространств .

1. Пространство Imm (М, TV) погружений (иммерсий) M-+N .

2. Пространство Sub (М, TV) сжатий (субмерсий) М -• T [см. (14) ] .

V

3. Пространство I{M,N,r) (г — натуральное число) отображений, ранг дифференциала у которых в каждой точке т е М не меньше г. За­ метим, что /(M,TV,dimM) = Imm (Tlf,TV) и /(Af, TV, dim TV) = Sub (M,TV) .

4. Пространство W(M, TV, gN), где gN — риманова метрика в TV, тех погружений М-^N, вторая квадратичная форма которых невырожденна .

5. Пространство К+(М, TV, gN) (K~(M, TV, gN)) тех погружений М-• N (TV — риманово многообразие с метрикой gN), которые индуцируют в М риманову метрику с положительной (отрицательной) кривизной .

Уитни (21) вычислил я о ( 1 т т (S 1, R1)). Смейл (16) вычислил гомото­ пические группы Яг (Imm (Sk, S1)) с k /.Опираясь на результаты Смей­ ла, Хирш [см. ( 7 ), ( 8 )] исследовал гомотопии пространства Imm (M, TV) в следующих двух случаях: 1) dim М dim TV; 2) М — открытое много­ образие. Метод Хирша был модифицирован Поенару (15) и в этой модифи­ цированной форме применен Филлипсом (14) для изучения пространства 708 М. Л. ГРОМОВ Sub (M,N) для случая, когда М — открытое многообразие. В работах (21), (16) (15) была установлена слабая гомотопическая эквивалентность между исследуемым стабильным пространством и соответствующим ему подпро­ странством пространства 1-струй Jl(M, N). Пространства, описанные в примерах 4, 5 и аналогичные им, эпизодически встречаются в геометриче­ ских рассмотрениях [см. (*), ( 13 )], однако, насколько известно автору, си­ стематическое исследование их гомотопической структуры не проводи­ лось .

В настоящей работе перечисленные результаты Уитни — Смейла —

Хирша — Филлипса обобщаются в двух направлениях:

1. Во-первых, рассматривается произвольное стабильное пространство R cz C°° (M, N) и исследуется, когда оно слабо гомотопически эквивалентно соответствующему подпространству пространства струй. Помимо класси­ ческих теорем Смейла — Хирша о погружениях и их непосредственных обобщений, нами установлена гомотопическая структура пространств, описанных в примерах 3) —5) (и аналогичных им пространств), в том случае, когда М — открытое многообразие. В частности, доказано:

Если на открытом многообразии М существует к векторных полей, ко­ торые порождают в каждой точке т^М линейное пространство размер­ ности, не меньшей г, то существует гладкое отображение М -- Rk, у кото­ рого ранг дифференциала в каждой точке не меньше г .

Аналогичное исследование проведено для стабильных пространств, се­ чений произвольного косого произведения, ассоциированного с касатель­ ным расслоением Т (М): пространства контактных, симплектических, квазикэлеровых структур на М, пространства римановых метрик с поло­ жительной или отрицательной кривизной.

В частности, установлено:

На любом открытом квазикомплексном многообразии существует квазикэлерова метрика .

2. Во-вторых, обобщая изложенное в пункте 1, мы рассматриваем глад­ кое слоение S [см. ( 4 )] на топологическом многообразии А и стабильное пространство отображений А -- N. (В пункте 1 фактически рассмотрен случай однослойного слоения.) Стабильными предполагаются сужения наших отображений на слои слоения S. Стабильным пространством яв­ ляется, в частности, пространство тех непрерывных отображений А - N, сужения которых на слои слоения S суть гладкие погружения. Характер полученных результатов иллюстрирует следующий пример:

Если на гладком многообразии А гладко действует без неподвижных точек группа i?1, то существует гладкое отображение А -- i?2, сужение ко­ торого на каждую траекторию есть погружение .

Работа состоит из двух частей и добавления. В §§ 1, 2 приведены опре­ деления и формулировки, необходимые для дальнейшего. Чтобы не загро­ мождать основной текст длинными (хотя и тривиальными) проверками, доказательства некоторых предложений § 2 вынесены в добавление (§ 7) .

Основные технические трудности связаны с изучением произвольных (а не однослойных) слоений, рассмотренных в п. 2 этого введения. Для рас­ смотрения многообразий материал § § 2, 6, 7 несущественен .

ОТОБРАЖЕНИЯ СЛОЕНИЙ В МНОГООБРАЗИЯ

Автор выражает глубокую благодарность профессору В. А. Рохлину за важные обсуждения и постоянный интерес к данной работе и С. П. Нови­ кову за критический разброс работы и ценные рекомендации по планиров­ ке статьи .

ЧАСТЬ I § 1. Квазитопологические пространства

1.1. Говорят [см. ( 17 )], что множество А снабжено структурой квазито­ пологии, если для каждого топологического пространства X в множестве Н о т (X, А) всех отображений Х-+А выделено такое подмножество

Тор (X, А) с: Нот (X, А), что выполнены следующие условия:

а) если h е Нот(X, А) — тождественное отображение и h е Тор (X, А), то Л е Тор(X, Л);

б) если /: X -- Y — непрерывное отображение и fe = Top (У, А), то й/еЕТор(Х,Л);

в) если X разложено в объединение X = Xi U Х2 двух открытых (или U г2 замкнутых) множеств Xi с: X, Х2 с X и если для h е Нот (X, Л) выпол­ нено : hii е= Тор (X, Л), Afe е= Тор (Х2, А), то Л е= Тор (X, Л) .

Если Л, 2? — квазитопологические пространства, то отображение f: А-+Б называется квазинепрерывным, если для любого топологического про­ странства X отображение Нот.* (/) : Нот (X, А) - ^ Н о т (X, В) переводит подмножество Тор (X, A) cz Horn (Х,А) в подмножество Тор (X, В) а cz Нот (X, В). Ясно, что квазитопологические пространства и квазинепре­ рывные отображения образуют категорию. В этой категории определены понятия индуктивной системы и индуктивного предела, проективной си­ стемы — в частности, точной диаграммы (т. е. скрещенного или расслоен­ ного произведения). В дальнейшем под «морфизмом» будет пониматься квазинепрерывное отображение .

Для категории квазитопологических пространств можно сформулиро­ вать и доказать многие факты гомотопической теории топологических про­ странств [см. ( 17 )]. В частности, справедливо (и имеет смысл) следую­ щее очевидное 1.1.1. П р е д л о ж е н и е. Если в коммутативной диаграмме внутренняя и внешняя диаграмма точны, морфизмы g b g2 суть расслоения Серра, р2, рз, РА — слабые гомотопические эквивалентности, то р\ — сла­ бая гомотопическая эквивалентность .

710 М. Л. ГРОМОВ 1.1.2. Индуктивную систему (X, я) квазитопологических пространств над направленным множеством К назовем однородной, если существует такое подмножество iV, конфинальное в К, что отображения Щ при а, р ^ е N суть слабые гомотопические эквивалентности. Ясно, что для а е N «проекция» Ха -• Х°° есть слабая гомотопическая эквивалентность .

Описанное выше множество N назовем однородной частью в К .

1.2. Назовем морфизм р: M^N, где М, N — квазитопологические про­ странства, микрорасслоением, если для любого конечного комплекса К отображения / : К-+М ж деформации g: К X [0, 1] - N отображения pf:

K-+N существует положительное 8 1 и такое отображение gs: К X X [0, 6] -il/, что композиция fge совпадает с сужением g: К X [0, б] -N, а ? в | я х о = /• П р и м е р. Если р: S - Т — расслоение Серра, где S, Т — топологиче­ ские пространства, М a S и N cz T — открытые подмножества, а образ р(М) содержится в iV, то сужение р: M-+N есть микрорасслоение .

§ 2. Топологические пучки

2.1. Контравариантный функтор Ф из категории открытых множеств топологического пространства X, которое в дальнейшем будет предпола­ гаться локально компактным и имеющим счетный базис, в категорию топо­ логических пространств и непрерывных отображений мы будем называть топологическим пучком на X, если Ф является пучком в смысле ( 2 ). Значе­ ние пучка Ф на открытом множестве U cz X обозначается через 0\(U), значение функтура Ф от включения р: U cz V — через Ф (р), сужение пуч­ ка Ф на множество U — через Ф[/ .

Если A cz X— произвольное подмножество, то через Ф\{А) мы будем обозначать квазитопологическое пространство, представляющее собой ин­ дуктивный предел (в категории квазитопологических пространств) про­ странств Ф ( / А ) ПО всем окрестностям UA = A .

Применительно к открытому множеству U обозначение Ф(С/) приводит к двусмысленности, но из контекста всегда будет ясно, о какой структуре в Ф(17) идет речь .

Всюду далее, если не оговорено противное, под пучком будет понимать­ ся топологический пучок .

Если г|з: Ф1 -- Фг — гомоморфизм пучков, то через *ф(С/): Ф1 (U) -•

-Ф2(?7), г Д е U а X — любое открытое множество, обозначается непре­ рывное отображение, определяемое гомоморфизмом ф, а через г | ^ Ф\и~^

-+ф2и — сужение гомоморфизма г|? на пучки Фщ, Ф217 .

Для задания пучка на пространстве X с базисом открытых множеств Vi (i e / ) достаточно задать значения Ф ( 7 г ) и Ф(/?г,г2), где pixi2: Vixci с : Vi2 — включение элементов базиса .

v

2.2. Если Ф — пучок на X, то пара (А, В), где B c i c I, называется Ф-гибкой (Ф-микрогибкой) если морфизм Ф (р) есть расслоение (микро­ расслоение) Серра .

Очевидные доказательства приводимых далее предложений 2.2.1 — 2.2.3 мы опускаем .

ОТОБРАЖЕНИЯ СЛОЕНИЙ В МНОГООБРАЗИЯ

2.2.1. Если пары (А, В) и (В, С) являются Ф-гибкими (Ф-микрогибкими), то и (А, С) есть Ф-гибкая (Ф-микроеибкая) пара .

2.2.2. Если А, В а X — замкнутые множества и пара (А, А Л В) являет­ ся Ф-гибкой (Ф-микрогибкой), то (А[) В, В) есть Ф-гибкая (Ф-микрогибкая) пара .

Будем говорить, что пара (А, В) аппроксимируема парами (4 г, В{), i e ^ /, если для любых окрестностей U :э Л, V =э В существует такое J G /, ЧТО U = Ai ZD А, V =) Bi =Э В .

2.2.3. Если пара (А, В) аппроксимируема Ф-гибкими (Ф-микрогибкими) парами, то она является Ф-гибкой {Ф-микрогибкой) .

Назовем пучок Ф на X гибким, если любая пара (А, В), где А, В — компакты в X, является Ф-гибкой. Заметим, что сужение Фи гибкого пуч­ ка Ф на любое открытое U czX есть гибкий пучок .

П р и м е р. Пучок ростков непрерывных функций на X есть гибкий пучок .

Следующее предложение с очевидностью следует из 2.2.1, 2.2.2 .

2.2.4. Если пучок Ф локально гибкий (т. е. каждая точка х е X обладает такой окрестностью U, что сужение Фи является гибким), то Ф есть гибкий пучок .

Подпучок Ф1 пучка Ф на X назовем открытым в Ф, если для каждой _ Р пары открытых множеств U\ ID С/2, такой, что пересечение U\ Л U-2 ком­ пактно, и произвольного элемента f E 0 i ( P i ) найдется такая окрестность Уф с= Ф{11\), что ее образ при отображении Ф(р): Ф(ЕЛ) -Ф(С/ 2 ) лежит в подпространстве Ф1 (С/2) с: Ф(С/2) .

П р и м е р. Если Ф — пучок ростков гладких отображений многообра­ зия М в многообразие N, то его подпучок Фг на М, образованный теми отображениями, которые в каждой точке m е М имеют ранг дифферен­ циала не меньше чем г, открыт в Ф .

Укажем без доказательства следующий очевидный факт:

2.2.5 Если подпучок Ф\ открыт в Ф и компактная пара (А, В) являет­ ся Ф-микрогибкой, то она является Ф\-микр о гибкой .

2.3. Если Фь Фг — пучки на X, то гомоморфизм г|з: Ф1 —• Фг назовем ^-эквивалентностью, если для любого открытого U cz X непрерывное отображение ^(С/): Ф{(11) —- Фг(С/) есть слабая гомотопическая эквива­ лентность .

Формулируемое далее утверждение доказано в добавлении .

2.3.1. П р е д л о ж е н и е. Если гомоморфизм г|): Ф^-^Фг гибких пучков Фь Фг на X локально является w-эквивалентностъю (т. е. каждая точка X G X обладает такой окрестностью U, что сужение \fr/ есть w-эквивалентностъ), то г|) есть w-эквивалентностъ .

2.4. Если X, Y — топологические пространства (локально компактные со счетной базой), то через Ф г обозначим пучок на X X У, определенный следующими условиями:

1) для любых открытых множеств С/ с: X и V cz Y пространство Ф Г (С/ X V) есть пространство (Ф(и))у (т. е. пространство непрерывных отображений V -+• Ф (U));

712 М. Л. ГРОМОВ

–  –  –

пу С°°-диффеоморфизмов пространства Д п, т. е. множество пар (С/,/), где U с: Rn — открытое множество, а / — элемент (обычным образом топологизированного) пространства тех гладких отображений U-*Rn, ко­ торые отображают U диффеоморфно на Uf cz Rn .

Если Ф — пучок на Rn, то действием d псевдогруппы 3)п на пучке Ф назовем соответствие, относящее каждому элементу (С/, /) е 3)п и откры­ тому V с i? n, содержащему образ f(U), отображение d((/,/), У): Ф(У)-Ф(17), причем выполнены следующие условия:

а) если / есть включение U cz У, то d( (С/, / ), У) = Ф(/);

h)d{{U,f),V)-d{{V,g),W) = d((U,gf),W);

с) (d((U,f)1U/))-^ = d((U\f-^),U) .

Отметим, что приведенное определение имеет смысл для любого (необя­ зательно топологического) пучка на Rn. Действие псевдогруппы 3)п на пучке Ф можно интерпретировать как распространение пучка Ф с обыч­ ной топологии в Rn на топологию (в смысле Гротендика), определяемую псевдогруппой 3)п .

Действие d на топологическом пучке Ф назовем непрерывным, если для любых открытых U, У cz Rn отображение d: SDuv X Ф(У) -Ф(Е/), где подмножество 3)yV cz 3)п образовано диффеоморфизмами, переводя­ щими U и V, определенное формулой: d(f, ф) = d((U,f), У) (ф) (/ е 2)цу, ф Е ф ( 7 ) ), непрерывно .

Пучок Ф на Rn вместе с непрерывным действием на нем псевдогруппы п

3) назовем d-пучком .

3.1.1с П р и м е р. Пучок ростков непрерывных отображений Rn в любое топологическое пространство есть d-пучок; более общо, пучок ростков се­ чений косого произведения, ассоциированного с касательным расслоением T{Rn), есть d-пучок .

Пучок ростков гладких сечений гладкого косого произведения, ассо­ циированного с T(Rn), есть d-пучок .

ОТОБРАЖЕНИЯ СЛОЕНИЙ В МНОГООБРАЗИЯ

3.2. Зафиксируем для каждого Rn и натурального i ^.п единичный шар D cz i? n, граничную сферу D1 которого обозначим через 5* -1. Пучок Ф на l Rn назовем ^-гибким, если пары (D\ S1-1) являются Ф-гибкими при i = = 1, 2,..., р .

Пучки, описанные в примере предыдущего пункта, суть тг-гибкие пучки .

3.2.1. Если d-пучок Ф на Rn является п-гибким, то он гибкий пучок .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Из 2.2.2 следует, что любая пара {К [] D, К), где К — произвольный компакт в Rn, D — гладкий шар в Rn и D f| К = = Ь, является Ф-гибкой. Парами такого вида можно аппроксимировать любую пару (А, А), где А — прямолинейный симплекс в Rn, и, следова­ тельно (см. 2.2.3), пара (., А) является Ф-гибкой. Применяя 2.2.1, 2.2.2 (или стандартную индукцию по остовам), получаем, что каждая пара (К, L), где К — прямолинейный комплекс в Д п, a L — его подкомплекс, является Ф-гибкой. Но парами вида (if, L) можно аппроксимировать лю­ бую компактную пару в Rn, так что ввиду 2.2.3 наше предложение дока­ зано .

Пучок Ф на Rn назовем jo-микрогибким, если пары (/', iS^-1) являют­ ся Ф-микрогибкими при i= 1,2,...,/? .

единичной сферой Б1~1 и концентрической сферой радиуса 1 — а .

Через AV обозначим j-мерное шаровое кольцо ширины а, ограниченное 3.2.2. Если Ф есть р^-микрогибкий пучок на Rn, то пары (i, К*)* О ^ а ^ 1, являются Ф-микрогибкими .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Гладко протриангулируем пару (ifS, Ка) .

Дальнейшее рассуждение аналогично доказательству предыдущего пред­ ложения 3.2.1 .

3.2.3. П р е д л о ж е н и е. Если d-пучок Ф на Rn является р-микрогибким и если р п, то Ф есть р-гибкий пучок .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Зафиксируем числа п, р, где п р. Через Da обозначим /?-мерный шар радиуса 1 — а; стандартный шар DP = DQ обозначим через D. Через Sa, S обозначим граничные сферы шаров Da, D, через Ка — шаровое кольцо (D \ Da) \] Sa; заметим, что К0 = S, К\ = = D .

Через Gap обозначим включение Sa zz K$t через a a — включение Sa cz cz Da, через xap — включение Ka cz K$, через a — включение Da cz D .

Укажем теперь то единственное (и очевидное) свойство псевдогруппы Ж п, которое используется в доказательстве .

Для любых t0, a, 8, где 0 8 а 1 и О ^ о ^ 1, и любой окрестно­ сти U кольца Ка существует такая диффеотопия d&ato: U X [0, t0] -• С/, что:

1) диффеоморфизм deaU: U X 0 -- U тождественен;

2) диффеотопия d8a/o неподвижна в некоторых окрестностях сфер S и SE;

3) диффеоморфизм d&ato: U X t0-+ U отображает сферу Se/2 на сфе­ ру Sa .

714 М. Л. ГРОМОВ Далее мы будем предполагать, что для каждой окрестности U ZD Ka такая диффеотопия выбрана, фиксирована и обозначена через deato .

Заметим, что условие р п в доказательстве больше использоваться не будет .

Далее будем пользоваться таким выражением: если f\\ L-+(&(Da), / 2 : Ь-^Ф(Ка) (L — конечный комплекс) — такие (квазинепрерывные) отображения, что сужения их на сферу Sa совпадают (т. е. Ф(а а ) */i = = Ф(оаа)-/2), то отображение / = /i X /2: L-*~b(D) мы будем называть склеенным из отображений /i, /2 по сфере Sa .

Если задано отображение g: L X [а, Ь] - Л/ и а ^ х ^ у ^ 6, то через g[X,y] будем обозначать сужение g: L X [х,у] -^ М, а через [*] — отображение g[X, x] .

Перейдем непосредственно к доказательству .

Пусть /: Р-+Ф(В) —произвольное отображение, где Р — конечный комплекс, и g: Р X [0,1] -Ф(5) — такая деформация, что Ф(счн) •/ = = g[o]. Из определения квазитопологии в Ф (S) следует, что существует а 0 и такое отображение g'\ Р X [0, 1] —^Ф(-Ка), что g = Ф(ао а ) •'• В силу 3.2.2, пара (Ка, S [} Sa) является Ф-микрогибкой и, следова­ тельно, найдется такое б 0, что для любого неотрицательного to ^ 1 — б (можно полагать б ^ 1) существует деформация \хи6: Р X [to, t0 + б] -•Ф (Ка) такая, что а деформация Ф (а а а ) • JLI*°6 неподвижна, т. е .

при ^о ^ t ^ о + б .

Ясно, что для построения искомой накрывающей деформации g:

Р X [0, 1] -+Ф(0) достаточно установить такой факт:

А. По любой деформации g'0: Р X [0, t0] - - Ф ф ), где 0 ^ t0 ^ ^ 1 — б, накрывающей деформацию g[o,t0] (т. е. gfa = f и Ф\(Го1)Г*° = = g[o,t0]), можно построить деформацию f'°+6: Р X [0, t0 + б] -+Ф(0), накрывающую деформацию g[o, *0+б] .

Докажем А для to = 0. В этом случае деформацию | б можно склеить по сфере Sa из деформации jut06 и из постоянной деформации отображения Рассмотрим случай to 0. Ясно, что существует такое е 0, что Ф(х«)?'«=Ф(х 1в ) [ ;.и .

W Рассмотрим теперь ту окрестность U =э Ка, для которой определены ото­ бражения: gf\ Р X [0, 1] -+Ф(и), ixto6: Р X [t0, t0+ 6] -+Ф(и), задающие деформации g' и \ito6 (т. е. g' = Ф(и?)g', \xto6 = Ф(м) -pi06). Обозначим че­ рез A&ccto: Ф(и) X [0, о]-^Ф(#) действие диффеотопии deato в P(t/)(A$° = tf((/, dffi,U)) .

ОТОБРАЖЕНИЯ СЛОЕНИЙ В МНОГООБРАЗИЯ

Построим деформацию g': Р X [О, t0] -- Ф(К а ) по формуле:

–  –  –

= Ф ( х ± )ФИ-Айсв-|1^ .

^

Из деформации Г'° и постоянной деформации отображения Ф( / 2 )-|°.:

P—?Dz/2 склеим по е /2 деформацию g 5 : J°X [0, t0 + 6] ~Ф (Z).

Но из построения Т**° и f5 ясно, что f | °, = Щ^у так что кожно определить |р°+ 8 по формуле:

^о+5 ( /, t) = J #'° при г 0, f5 при tоПредложение доказано .

С л е д с т в и е. Открытый подпучок р-гибкого d-пучка на Д п, инва­ риантный относительно действия 2D71, при р Сп является р-гибким .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Поскольку р-гибкий пучок является р-микрогибким, то в силу 2.2.5 следствие доказано .

3.3. Пусть даны d-пучок Ф на Rn и d-пучок Ф1 на Rn~k cz Rn. Будем говорить, что пучок Ф мажорирует пучок Ф ь если существует гомомор­ физм 1|э: Ф—-Ф! (т. е. набор естественным образом согласованных непре­ рывных отображений яр (U) : Ф (U) -+• Ф(U f] Rn~h), где U a Rn — все­ возможные открытые множества), обладающий следующими свойствами:

1) для компакта К cz Rn~k, который есть либо шар Z)\ либо сфера iS*-1, i = 1, 2,..., п — &, морфизм г|э (К) : Ф (К) - Ф] (К) есть расслоение Серра;

2) если К — шар, то г|э (К) — отображение «на» .

П р и м е р. Пучок ростков иммерсий Rn -*- М (М — гладкое много­ образие) мажорирует пучок ростков иммерсий Rn~k -- М .

Отметим следующий очевидный факт .

3.3.1. Если ^-гибкий пучок Ф на Rn мажорирует пучок Ф1 на Rn~k и р ^ п — к,тоФ\ — тоже ^-гибкий пучок .

3.4. Если G — подпсевдогруппа псевдогруппы Нп всех гомеоморфизмов n в R, а М — топологическое многообразие, снабженное (5-структурой [см. ( 9 )], то по любому G-пучку Ф на Rn (т. е. по пучку Ф, снабженному действием на нем псевдогруппы G) каноническим образом строится пучок на М (локально пучок из Rn переносится на М посредством структурных локальных гомеоморфизмов Ui -- Rn, Ui cz M), который обозначим через АМ(Ф). Соответствие Ф^АМ(Ф) есть ковариантный функтор из кате­ гории G-пучков на Rn в категорию пучков на М .

Обозначим через D% подпсевдогруппу псевдогруппы Hn+k гомеомор­ физмов в R п X Rk, образованную теми гомеоморфизмами, которые пере­ водят д-мерные слои (любое открытое U cz Rn X Rk естественно разбито 716 М. Л. ГРОМОВ на такие слои) снова в такие слои, причем на каждом слое гомеоморфизм есть диффеоморфизм, непрерывно зависящий от слоя .

Топологическое многообразие М, снабженное iZ)-структурой, назы­ вается гладким гг-мерным слоением коразмерности к или (п, к) -слоением;

если к = 0,— то гладким ^-многообразием .

Если дан d-пучок Ф на Rn, то через Аъ.(Ф) обозначим пучок ФКк7 снабженный естественным действием псевдогруппы 2D. Если М есть (п, к) -слоение, то через А (Ф) обозначим пучок Ам (Аъ. (Ф)) .

Ковариантный функтор Ajf, сопоставляющий d-пучку Ф на Rn пучок

А^(Ф) на М, обладает следующими свойствами:

3.4.1. П р е д л о ж е н и е : а) Если пучок Ф является п-гибким, то А^(Ф) есть гибкий пучок;

б) Если гомоморфизм ф: Ф1—^Ф2, где Фь Ф г ~ гибкие пучки на Rnr есть w-эквивалентность, то А^ (if) есть w-эквивалентность;

в) Если М есть гладкое п-многообразие, обладающее функцией Морса, которая не имеет критических точек индекса больше чем р, и если

-ф: Ф,1 -Ф2, где Фь Фг суть р-гибкие пучки на Rn,— такой гомоморфизм, что i|)(i?n) есть слабая гомотопическая эквивалентность, то отображение А^ (г|)) (М) есть слабая гомотопическая эквивалентность .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пункты а) и б) непосредственно следуют из 3.2.1, 2.2.4, 2.4.1 и из 2.3.1, 2.4.2, соответственно .

Докажем в) индукцией по р. Для р = 0 утверждение очевидно. Пусть /: M-+R1 — такая функция Морса, что критические точки индекса, мень­ шего чем р, лежат в многообразии f~i(—оо,—е), а значения функции / в критических точках индекса р равно + е. Обозначим через Dp объедине­ ние /ьмерных шаров, которые приклеиваются к ikf0 = /~ 1 (—00,0] при переходе через + е .

Обозначим через К\, К2, K3l К 4 направленные множества всех окрест­ ностей подмножеств Dp U М0, Л/0, Dp, M0f]Dpcz M. Обозначим через Ni a Ki, i = 1, 2, 3, 4, подмножества, образованные окрестностями сле­ дующего вида: окрестности из N\ — это такие открытые множества, для которых существует диффеотопия в М, переводящая их на прообраз /-*(—оо, + 2 е ) ; окрестности из N2 таковы, что их можно перевести неко­ торой диффеотопией на f~l{—00, 0 ] ; окрестности из 7V3, N4 — это трубча­ тые окрестности подмногообразий Dp, Dp (] М0 .

Пространства х\ = А™ (ф,) (Dp [) М 0 ), Х\ = А^ (Фг) (АГ0), Х\ =А^ X X (Фг) (Dp)4 Х\ = А^ (Фг) (М0 П Dv),i = 1, 2, являются индуктивными пределами систем Аом (Фг) (Ukj), где i = 1, 2, kj e Kj, 7 = 1, 2, 3, 4. Ясно, что эти индуктивные системы однородны, причем подмножества Nj с: Kj являются однородными частями в Kj .

Поскольку a|)(i?n) есть слабая гомотопическая эквивалентность и ввиду 1.1.2 морфизм 4^(-ф) (Dp) : А^ (Фг) (DP)~A™ (02)(DP) есть слабая гомото­ пическая эквивалентность. Применяя индуктивное предположение и 1.1.2, получаем, что и морфизмы Af (ЩМ0): А^ {Фх) (М0) - А% (Ф2) (М0) и A?№)(M0[)Dp):A?(O1)(M0r\Dp)-A? (Ф2)(М0(]ВР) суть слабые гомо"топические эквивалентности .

ОТОБРАЖЕНИЯ СЛОЕНИЙ В МНОГООБРАЗИЯ 717

Из р-гибкости пучка Ф следует, что пара (Dp, Dp f| M0) является А^(Фг) -гибкой, i = 1,2; применяя 1.1.1, получаем, что морфизм А^Ьр) (MO (J Dp) есть слабая гомотопическая эквивалентность, а следова­ тельно (см. 1.1.2), и отображение A^(ty) (M0) есть слабая гомотопическая эквивалентность .

ЧАСТЬ II § 4. Открытые многообразия

4.1. Если X — гладкое (класса С°°) расслоение, то через ГТ(Х) будем обозначать пространство г-гладких сечений этого расслоения .

Рассмотрим гладкое (без края) связное ^-многообразие М и гладкое RL(n) -многообразие F, т. е. многообразие F, в котором задано гладкое действие группы RL(n). Обозначим через [М, F] косое произведение со слоем F, ассоциированное с касательным расслоением Т(М). Рассмотрим пространство Jr([M,F]) r-струй гладких сечений расслоения [М,F] и естественную проекцию Jr([M,F]) -+М. Возникшее таким образом рас­ слоение обозначим через [Л/, F]r. Рассмотрим эвклидово пространство Rn и группу D ^ нулевых ростков (т. е. ростков в начале координат) его диф­ феоморфизмов, оставляющих неподвижным начало координат.

Так как для любого открытого множества U с: Rn расслоение [С/, F] ассоциирова­ но с касательным расслоением T(U), то каждому диффеоморфизму /:

U -- U соответствует накрывающий его автоморфизм (дифференциал) dfi [U, F] -- [С/, F]. Следовательно, определено действие группы D^ в слое ([F]^ )о над точкой 0 расслоения [Rn,F]r. Слой ([JF])O МОЖНО отож­ дествить со стандартным слоем [F] расслоения [М, F]„, где М — любое тг-мерное многообразие, а группу D„ можно считать структурной группой расслоения [М, F]r. Действие группы D„ в [F] неэффективно, так что можно произвести соответствующую факторизацию, характер которой, во­ обще говоря, зависит от RL(n) -многообразия F. Во всяком случае в каче­ стве структурной группы можно взять Gn-rpynny (г + 1)-струй (в начале координат) диффеоморфизмов из D°n. Заметим, что G^n = RL(n)\ Пусть Н cz [F]гп— произвольное множество, инвариантное относитель­ но действия группы Grn\ рассмотрим расслоение [М, [Н]] со слоем Я, ассоциированное с [М, F]r. Ясно, что [Л/, [Н]] есть подрасслоение рас­ слоения [М, F]г, так что определено включение Г° ([М, [Н] ]) cz с=Г°([М, FY). Рассмотрим дифференциал dr: Г°°([М, F])-*T°{[M, F]r) .

Обозначим через В(М; F, Н) полный прообраз {dr)~i (Г°([^, [ # ] ] ) ) и через дм'- В(М; F, Н) - Г°([М, [Н]]) — сужение отображения dr на B(M;F,H) .

Пространство В (М; F, Н) и отображение дм являются основными объ­ ектами наших рассмотрений. Основной результат, касающийся отображе­ ния дм для открытого М, содержится в следующей теореме .

4.1.1. ТЕОРЕМА, Если М — открытое многообразие, т. е. у М нет связ­ ных компонент, являющихся замкнутыми многообразиями, и Н cz [F] п — открытое Сгп-инвариантное множество, то отображение дм'- B(M;F,H) -+•

-^Г°([М, [Я]]) есть слабая гомотопическая эквивалентность .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим сначала частный случай, когда М 718 М. Л. ГРОМОВ есть эвклидово пространство Rn. Обозначим через Но слой расслоения Шп, [Щ] в точке 0. Рассмотрим сужение р: Г°([ДП, [H]]) -*•Н0. Ясно, что р есть слабая гомотопическая эквивалентность. Ясно также, что ком­ позиция pdRn\ B(Rn; F, Н) -^Но есть расслоение Серра, причем любой компакт, лежащий в слое этого расслоения, стягиваем (в этом слое) в точку. Следовательно, отображение pdRn есть слабая гомотопическая экви­ валентность, а поэтому и dRn есть слабая гомотопическая эквивалентность .

Поскольку на любом открытом многообразии М существует функция Морса, не имеющая критических точек индекса, большего п — 1, то, ввиду пункта в) предложения 3.4.1 PI доказанного ниже предложения 4.1.2, об­ щий случай теоремы 4.1.1 сводится к уже рассмотренному случаю эвкли­ дова пространства .

4.1.2. Обозначим через Ф[М, F], Ф[М, [Я]], Ф[М;Р, Н] топологиче­ ские пучки на М, относящие открытому U а М пространства T°°([U, F])r

T°([U, [H]]),B(U;F,H) соответственно. Тогда:

а) пучки Ф[Нп,Р], Ф[Нп, [Я]], 0[7? n ;F,#] являются (п—^-гиб­ кими d-пучкамщ

б) если через А: Ф)[7?п; F, Н) -+- Ф[й п, [Н]] обозначить гомомор­ физм, определенный формулой: A(U) = ди для всех U czRn, то для лю­ бого гладкого многообразия М выполнено: дм = ^(А) (М) (обозначения смотри в 3.4) .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Единственное нетривиальное утверждение в 4.1.2 состоит в том, что пучок Ф[Нп; F, Н] является (п — 1)-гибким. Но этот пучок является открытым (потому что Н открыто в [F] гп) и инва­ риантным относительно действия псевдогруппы SDn подпучком пучка Ф[Л П, F], а пучок Ф\[Нп, F], очевидно, является (п— 1)-гибким (и даже ^г-гибким). Применяя следствие предложения 3.2.2, мы доказываем 4.1-2 .

4.2. Назовем й-иммерсией гладкое отображение /: M-+N, у которого размерность ядра дифференциала в каждой точке m e M не больше к .

Если к = 0, то А-иммерсия есть просто иммерсия .

Если к = dim M — — dim iV, то /с-иммерсия есть субмерсия. Пространство А-иммерсий M-^N обозначим через Immk(M, N). Обозначим через Ih(T(M), T(N)) простран­ ство тех гомоморфизмов Т(М) -»- Т (N) (Т(М), Т(N) — касательные рас­ слоения многообразий М, TV), сужения которых на слои расслоения Т(М) имеют ядра размерности не больше к. Доказанная далее теорема 4.2.1 обобщает теоремы Хирша об иммерсиях [см. ( 8 )] и Филлипса о субмерсиях [см. (14) ] открытых многообразий .

4.2.1. ТЕОРЕМА. Если М — открытое многообразие, то отображение д: Immk(M,N)-+Ik(T(M)T(N)), относящее гладкому /: М-+N его диф­ ференциал df: T(M)-^T(N), есть слабая гомотопическая эквивалент­ ность .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Теорема 4.2.1 есть частный случай теоремы 4.1.1. Действительно, нужно в качестве RL(ri) -многообразия F взять мно­ гообразие N с тривиальным действием в нем группы RL(n), а в качестве Н — множество линейных отображений Rn -- T(N), у которых ядро имеет размерность, не большую чем к .

ОТОБРАЖЕНИЯ СЛОЕНИЙ В МНОГООБРАЗИЯ

Формулируемое ниже предложение 4.2.2 с очевидностью вытекает из 4.2.1 .

4.2.2. Пусть на многообразии М существует г векторных полей, кото­ рые порождают в каждой точке m ^ M линейное пространство размерно­ сти, не меньшей чем s. Тогда:

а) если М — открытое многообразие, то существует (п — s)-иммерсия M-+Rr;

б) если М — произвольное гладкое многообразие, то существуют rH r (п — з)-иммерсия M-+R u (n — s + 1)-иммерсия М-+-R .

Рассмотрим теперь погружения M-+RN, у которых не вырождаются высшие соприкасающиеся пространства .

Гладкое отображение М -- RN называется невырожденным до поряд­ ка г, если в каждой точке m ^ M линейное пространство, порожденное векторами всех частных производных порядков 1, 2,..., г, имеет макси­ мальную возможную размерность, а именно, размерность В частности, отображение, невырожденное до порядка 1,— это погруже­ ние; невырожденное до порядка 2 — это погружение, невырожденное по Уитни [см. (13) ] ; погружение R1 -- R3 невырожденно до порядка 3, если кривизна и кручение в каждой точке у полученной кривой отличны от нуля .

Обозначим через Sm*(T(M)) i-ую симметрическую степень касатель­ ного расслоения Т(М) и докажем теорему существования для невырож­ денных погружений в RN .

4.2.3. Для того чтобы существовало невырожденное до порядка г ото­ бражение в RN открытого многообразия М, необходимо и достаточно, что­ бы существовало такое векторное расслоение а на М, для которого dim а = N — sr(n) и сумма Уитни e...0Smr(r(M)) 0Sm r (r(Af)) а®Т{М) тривиальна .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Сформулированное предположение сведется к теореме 4.1.1, если заметить, что расслоение [Af,7?1]7" (действие RL(n) в R1 тривиально) изоморфно расслоению Sm°(T(M)) © Т(М) 0 Sm2(T(M)) 0... 0 Smr (T(M)) .

4.3. Антиинволюцию / : Т(М)-*Т(М) в касательном пучке многооб­ разия М размерности п = 2к называют квазикомплексной структурой в М .

Эрмитову форму на М, мнимая часть которой есть (кососимметрическая) замкнутая 2-форма, называют квазикэлеровой структурой .

Кососимметрическую 2-форму яр на М называют невырожденной, если ее внешняя степень (\|;)fe отлична от нуля в каждой точке m e M. Изве­ стно ( и ), что существование невырожденной 2-формы на М равносильно 720 М. Л. ГРОМОВ существованию квазикомплексной структуры в М; существование симплектической структуры в М, т. е. замкнутой невырожденной 2-формы, равно­ сильно существованию квазикэлеровой структуры в М .

Обобщенной квазикомплексной структурой в многообразии М размер­ ности п = 2к + 1 называют разложение касательного пучка в сумму Т (М) = Т' © Z, в которой Тг — комплексный векторный пучок, а I — три­ виальный одномерный. Контактной структурой в М называют такую 1-форму ц на М, что форма т] Д (dj\)k отлична от нуля в каждой точке (подробности см. в ( и ) ) .

4.3.1. Для того чтобы на открытом четномерном многообразии М су­ ществовала симплектическая структура, необходимо и достаточно, чтобы на М существовала невырожденная 2-форма .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость очевидна. Для доказательства до­ статочности рассмотрим кокасательный пучок Т* (М) и положим [М, F] = = Т* (М). В качестве множества Я возьмем множество 1-струй (в нача­ ле координат пространства Rn) тех 1-форм, дифференциалы которых невырожденны .

Существование невырожденной 2-формы на М с очевидностью влечет существование сечения в расслоении [М, [ Я ] ], а ввиду 4.1.1 — существо­ вание сечения в [М, F], принадлежащего подпространству В (М; F, Я ) .

Такое сечение — 1-форма т], дифференциал которой невырожден. Форма dv) задает искомую симплектическую структуру в М .

Сопоставляя 4.3.1 с приведенными ранее критериями существования квазикомплексных и квазикэлеровых структур с очевидностью получаем следующее утверждение:

4.3.2. Для существования на открытом многообразии квазикэлеровой структуры необходимо и достаточно, чтобы существовала квазикомплекс­ ная структура .

Формулируемое далее предложение доказывается так же, как и 4.3.1 .

4.3.3. Для того чтобы на открытом ориентируемом нечетномерном мно­ гообразии существовала контактная структура, необходимо и достаточно, чтобы в М существовала обобщенная квазикомплексная структура .

4.4. Поле касательных //-плоскостей на гладком многообразии назы­ вается /ьмерным распределением на М; иными словами, распределение § на М — это ^-мерный подпучок I касательного пучка Т (М). Если М мо­ жет быть разложено в объединение непересекающихся связных подмного­ образий (в широком смысле) таким образом, что распределение каса­ тельно к этим подмногообразиям, то | называется интегрируемым или инволютивным распределением. Для гладкого инволютивного распределения | такое разложение на (интегральные) многообразия-слои единственно и называется слоением, определяемым распределением \ .

Если г\ — распределение на F и р: М -- F — гладкое отображение, то через Dn: T(M)-^T(F) / ц обозначим композицию дифференциала 4.4.1. Для существования трансверсалъного к ц отображения р: M-+F назовем трансверсальным к т), если гомоморфизм D эпиморфен на каж­ дом слое расслоения Т(М), или, короче, D — эпиморфизм .

ОТОБРАЖЕНИЯ СЛОЕНИЙ В МНОГООБРАЗИЯ

4.4.1 Для существования трансверсального к г\ отображения q: M-^F необходимо и достаточно в случае открытого М, чтобы существовал эпи­ морфизм Т(М) - T(F) /ц .

Д о к а з а т е л ь с т в о. 4.4.1 сводится к 4.1.1, если в качестве [М, F] взять прямое произведение М X F, а в качестве множества Н — множе­ ство тех линейных отображений Rn-*T(F), для которых композиция Rn -+T(F)-+ T(F) I ц эпиморфна .

З а м е ч а н и е. Если dim ц = О, то предложение 4.4.1 сводится к тео­ реме Филлипса [см. ( 14 )] .

Основная проблема существования для слоений ставится следующим образом: когда для данного распределения существует гомотопное ему инволютивное распределение '? Если такое | ' существует, то назовем гомотопным слоению .

4.4.2. ТЕОРЕМА. Для того чтобы распределение на открытом много­ образии М было гомотопно слоению, достаточно, чтобы структурная груп­ па факторпучка Т (М) / допускала редукцию к конечной группе .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Известно (5), что в тотальном пространстве Y косого произведения с конечной структурной группой существует инволю­ тивное распределение, ортогональное (относительно некоторой римановой метрики в У) к слоям, на которые разбито Y как тотальное пространство косого произведения. В частности, такое распределение ц существует в тотальном пространстве Y пучка Т{М) /. Из 4.4.1 следует (существова­ ние эпиморфизма T(M)-+T(Y) /ц очевидно), что существует трансверсальное к ц отображение /: M-+Y. Ясно, что распределение KerZ)™ яв­ ляется искомым .

Укажем два следствия .

4.4.3. Распределение размерности п — 1 на открытом п-многообразии гомотопно слоению .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Факторпучок Т(М) /g одномерен и поэтому его структурная группа редуцируется к Z2 .

4.4.4. На открытом п-многообразии М, у которого группа к\(М) ко­ нечна, а группа П2(М) тривиальна, любое (п — 2)-мерное распределение гомотопно слоению .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточно показать, что структурная группа любого 2-пучка на М редуцируется к конечной группе. Не нарушая общ­ ности, предположим, что — ориентированный пучок. Редукция структур­ ной группы этого пучка к группе П = п\(М) равносильна тому, что ассо­ циированное с ним главное косое произведение со слоем 5 1, т. е. элемент группы Hi(M1Si)1 принадлежит образу естественного гомоморфизма г: Нот (И, Sl) -^H^M.S1). Так как П2(М) = 0, то i является изомор­ физмом .

4.5. Риманово многообразие называется многообразием положительной (отрицательной) кривизны, если кривизны по всем двумерным направле­ ниям положительны (отрицательны) .

4.5.1. ТЕОРЕМА. На открытом п-многообразии М(п 1) существует риманова метрика как положительной, так и отрицательной кривизны .

2 Известия АН СССР, серия математическая, № 4 722 М. Л. ГРОМОВ Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим точку 0 в пространстве Rn я в ней пространство 7° положительно определенных симметрических тензоров,, пространства 1-струй Р и 2-струй Р таких тензоров. Рассмотрим есте­ ственные проекции р\\ Р-+Р и р2- Р-+-Р. Каждая из этих проекций есть векторное расслоение. Рассмотрим пространство J+czP(J-CiP) 2-струй тензоров с положительной (отрицательной) кривизной. Сужение я + : Д_^/1(п 2 ~;/^_-71) проекции р2 есть расслоение, каждый слой ко­ торого есть выпуклое множество (выпуклое подмножество соответствую­ щего слоя расслоения р*' Р-^ Р) • Поскольку 7° — стягиваемое (выпуклое) пространство, то пространство /+(/-) также стягиваемо; поэтому расслоение [М, [Н]] = [Л/, [J% ([Л/, [Н]] = [М, [Л]]) обладает сечением и, ввиду 4.1.1, существует над­ лежащее сечение в [М, F] = [М, /°] — метрический тензор положитель­ ной (отрицательной) кривизны .

Заметим, что не на всяком даже открытом многообразии существует полная риманова метрика положительной (отрицательной) кривизны. На­ против, хорошо известно (12), что универсальное накрывающее полного многообразия отрицательной кривизны диффеоморфно пространству Rn„ Что же касается случая положительной кривизны, то [см. (10)] любое дву­ мерное многообразие положительной кривизны диффеоморфно либо сфе­ ре AS2, либо проективной плоскости P2R, либо плоскости R2 .

§ 5. Слоения

5.1. Пусть S — гладкое (п, к) -слоение на топологическом многообразии М (определение см. в 3.4) .

Если U cz М — открытое множество, то через SLT обозначим сужение»

на U слоения S .

Так же, как для индивидуального ^-многообразия для (тг, к) -слоения S определен /г-мерный пучок Т (S) с базой М — касательный пучок слое­ ния S .

Пусть ^ — гладкое многообразие. Обозначим через T°°(S, F) простран-;

ство послойно гладких отображений M-*~F, т. е. пространство тех непре­ рывных отображений M-F, у которых существуют и непрерывны на М производные всех порядков, взятые вдоль слоев слоения S. Обозначим че­ рез Г°([, F]1) пространство гомоморфизмов T(S)-+T(F) и через d1: Г°°(, F) -Г°([5 Г, F]1) — отображение, относящее.каждому е р е Г°° (S, F) его дифференциал йф. Рассмотрим произвольное подпростран­ ство Г с Г°([, F]1), полный прообраз 2? = ( # ) - * (Г) и сужение дм' В-^Т отображения d1. Наша ближайшая цель — указать достаточ­ ное условие для того, чтобы отображение дм было слабой гомотопической эквивалентностью. Для открытых многообразий (т. е. для специальных однослойных слоений) такие условия были указаны в п. 4.1 .

ОТОБРАЖЕНИЯ СЛОЕНИЙ В МНОГООБРАЗИЯ 723

Пространство Г°([, F]1) можно отождествлять с пространством сече­ ний косого произведения [S.F]1 с базой Л/, слоем [F]х и структурной груп­ пой RL(n). Слой [F] п образован всеми линейными отображениями про­ странства Rn в слои расслоения T(F)\ группа RL(ri) действует в [F] естественным образом и расслоение [5, F]l ассоциировано (относительно этого действия) с расслоением T(S) .

Rn cz Rn+i Включению соответствует отображение p:[F]n+i-+[F]n* Рассмотрим произвольное подмножество Н cz [F] ^ и обозначим через 2 (Н) максимальное подмножество в р~1(Н), инвариантное относительно действия группы RL (п + 1). Рассмотрим сужение р: 2 (Н) -- Н .

Назовем открытое инвариантное относительно действия RL(n) подмно­ жество Н cz [F] * инъективным, если отображение р: 2 (И) -- Н есть:

а) расслоение Серра, б) отображение «на» .

Так же, как и в пункте 4.1, через [S, [Н]] обозначим подрасслоение со слоем Н расслоения [S,F]\ а через Г°([5, [Я]]) cz Г 0 ([5, F] 1 ) —про­ странство непрерывных сечений расслоения [S, [Н]]. Через B(S;F1H) (й 1 )- 1 (Г 0 ([5, [Я]])), обозначим полный прообраз а через дм' B(S; F,H) -*T°([S, [Я]]) —сужение на него отображения d1. Если Д с [F] ^—инъективное подмножество, то пространство B(S; F, Я) на­ зовем инъективным .

5.1.1. ТЕОРЕМА. Если пространство B(S;F,H) инъективно, то ото­ бражение дм' В (S; F, Н) -• Г° ([S, [Я] ]) есть слабая гомотопическая эквивалентность .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим сначала тот случай, когда слоение S — эвклидово пространство Rn. Рассмотрим пучки Ф[Я П, [Я]], П Ф[Я, F, Н] (обозначения см. в 4.1.2). Так как й с [F]* — инъективное подмножество, то пучок Ф[Я П+1, F, 2 (Я)] мажорирует (см. 3.3) пучок 0 [ i ? n, F, # ]. Но пучок b[Rn+\F, 2 (Я)] является тг-гибким (см. 4.1.2), следовательно (см. 3.2.1), и пучок Ф[Д П, F, Н] является дг-гибким, а поэто­ му (см. 3.2.1) гибким пучком. Из 4.1.1 следует, что гомоморфизм А: Ф [ Я П ^, Н] -^Ф[Я П, [Н]] есть ^-эквивалентность .

Обращаясь к произвольному (тг, к) -слоению S на Ж, мы видим, что дм = А%*(А) (М), а из 3.4.1 следует, что Л^(А) есть до-эквивалентность (гибкость пучка Ф[Я П, [Н]] очевидна); тем самым теорема доказана .

Фактически доказано следующее более сильное предложение .

5.1.2. Пучок Ф[5,F, Я ], относящий открытому множеству U cz M про­ странство B(Su; F,H), является гибким. Гомоморфизм А: Ф[; F, Н] -•

-*• Ф [ ^ [Щ] определенный формулой A(U) = ди'- B(Su\F,-H)-+Г 0 ([5[/[Я]]), есть w-эквивалентностъ .

Обозначим через C°(M,F) пространство непрерывных отображений M-+F и через пм' Г°([5, [Я]]) -С°(Д/, F) — естественно определенную проекцию .

Отображение (р е С0 (М, F) назовем ультрапредельным для множества В a C°(M,F), если для любой, согласованной с топологией в F метрики р на F и любой положительной непрерывной функции а: М - Я1 сущестМ. Л. ГРОМОВ вуьт такое отображение ф ' е Б, что р(ф(т), о/(т)) а (га) для каждой точки т ~ Д/.

Если многообразие М компактно, то ультрапредельные для В отображения — это просто пределы в равномерной топологии отображе­ ний из В, Иногда термин «ультрапредельный» будем заменять словами:

«Ф допускает аппроксимацию отображениями из В» .

Укажем теперь аппроксимационную теорему для инъективных про­ странству доказательство которой очевидно следует из 5.1.2 .

5.1.3. ТЕОРЕМА. Если пространство B(S;F,H) инъективно, то каж­ дое отображение ф е С ° ( М, ^ ), принадлежащее образу отображения л.м* Г°(1«Ь, 1 # ] | ) -+C°(M,F), является ультрапредельным для подмноже­ ства B(S; F, Н) с: С°(М, F) .

Укажем очевидное следствие .

5.1.-4. Если отображение ям'. Г°([, [Н]]) -* C°(M,F) есть расслоение Серра, P(S;F,H)—инъективное пространство, то отображение ф еС°(А?, F) тогда и только тогда является улътрапределъным для B(S; F, /7), когда ф гомотопно некоторому элементу g ^B(S; F, H) .

5.2. Пусть — распределение па гладком многообразии F, т. е. под­ пучок g касательного пучка T(F). Если S — гладкое (п, к)-слоение на Ж, то послойно гладкое отображение ф: М - F назовем трансверсальным относительно S,, если композиция T(S) -- T{F) -- T(F) /g мономорфна на каждом слое расслоения Т (S) .

В частном случае, когда dim | = 0, условие трансверсальности обозна­ чает, что сужения отображения ф на слои слоения S суть погружения .

Такие отображения мы будем далее называть 5-погружениями .

Если S — многообразие (однослойное слоение), то трансверсальное от­ носительно S, отображение М -• F мы будем для к] аткости называть g-трансверсальным .

Обозначим через I(S, ) пространство отображений M-+F, трансверсальных относительно S, .

Если а, р — векторные расслоения, то через г (а, р) обозначим про­ странство гомоморфизмов а - р, мономорфных на каждом слое расслое­ ния а .

Полагая D(q) = pd^ получаем отображение D: /(S, ) ~ i(T(S)t T(F)/l) .

5.2.1. ТЕОРЕМА. Если п = dimS dimF — dim g, то D есть слабая гомотопическая эквивалентность .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Обозначим через Н пространство тех линейных отображений Rn-+T(F), для которых композиция Rn -- Т (F) -- Т (F) / мономорфна. Ясно, что B(S; F, Н) = I(S, ). Кроме того, естественно опре­ делена проекция р: T°([S, [Н]]) — *(Г(),Г(^) / ), которая есть елаА бая гомотопическая эквивалентность, причем D = рдм, где дм: В (S; F, Н) - Г° ([S, [Н] ] ). Очевидно, что при п dim F — dim | пространство В (S; F, Н) инъективно, так что теорема 5.2.1 следует из 5.1.1 .

ОТОБРАЖЕНИЯ СЛОЕНИЙ В МНОГООБРАЗИЯ

Аналогичным образом, применяя теорему 5.1.3, устанавливаем следую­ щий факт .

5.2.2. ТЕОРЕМА. Если dim S dim F — dim g, то непрерывное отображение р: M-^F допускает аппроксимацию отображениями, трансверсалъными относительно S, | тогда и только тогда, когда ф гомотопно неко­ торому отображению g e / (, ) .

Если dim = 0, codim S = 0, то теорема 5.1.3 превращается в теорему Хирша (7) об аппроксимации непрерывного отображения погружениями .

Сформулированные далее предложения 5.2.3—5.2.7 с очевидностью вы­ текают из теорем 5.2.1, 5.2.2 .

5.2.3. Для существования S-погружения ф: M-+F, гомотопного дан­ ному непрерывному отображению g: M-^F, при dim S dim F необхо­ димо и достаточно, чтобы существовало такое векторное расслоение а на М, 4Toa®T(S) =g\T(F)) .

5.2.4. Пусть на гладком многообразии М гладко действует без непо­ движных точек группа R1. Тогда существует гладкое отображение ф: M-^R2, сужение которого на каждую траекторию есть погружение .

5.2.5. Для любого (п, к)-слоения S на стягиваемом многообразии М существует S-погружение М -• Дп+4 .

5.2.6. Если существует хотя бы одно S-погружение g: М -Дя, т0 при dim S q любое непрерывное отображение ф: M-^R^ можно аппрокси­ мировать S-погружением .

5.2.7. Пусть М, F — гладкие многообразия, | — распределение на F, а — такое векторное расслоение р: X — F, что сумма Уитни а © | — тривиальное расслоение. Пусть к = dim |, I = dim а и dim М dim F — &, Z dimilf. Если ф: М-^Х— погружение, то для того чтобы отображение рхр: М -- F было гомотопно \-трансверсальному отображению, необходимо и достаточно, чтобы в нормальном пучке многообразия М czX существо­ вало (к + I) -реперное поле .

Пусть — распределение на компактном ориентированном тг-мерном многообразии F. Назовем класс гомологии х е Hi (F) допускающим

-трансверсальную реализацию, если существуют гладкое ориентированное г-мерное многообразие X и g-трансверсальное отображение /: X-+F, пе­ реводящее фундаментальный класс многообразия X в х .

Если а — векторное расслоение на многообразии F, то обозначим через Fa пространство Тома этого расслоения; если х е Hi (F), то через ха обо­ значим класс когомологий из группы Hn~i+dima(Fcc, Z), полученный из класса х применением двойственности Пуанкаре и изоморфизма Тома .

Из 5.2.7 с очевидностью вытекает 5.2.8. ТЕОРЕМА. Для того чтобы класс х е Hi (F) допускал %-трансверсалъную реализацию, необходимо и достаточно при п — i k = dim, чтобы для векторного расслоения а размерности, большей чем i, такого, что сумма Уитни а Ф тривиальна, класс когомологий ха был реализуем (в смысле Тома (18)) относительно группы SO(n — k — i) .

С л е д с т в и е. Для любого х ^ Hi (F) при к п — i существует такое 726 М. Л. ГРОМОВ натуральное ш, зависящее только от dim F, что класс тпх допускает \-трансверсальную реализацию .

Частный случай теоремы 5.2.8 для dim = О (т. е. для погружений) был установлен в (19) .

Если распределение на F инволютивно и, следовательно, определяет некоторое слоение Т на F, то введенное понятие трансверсальности ото­ бражений M-+F относительно S, можно распространить на непре­ рывные (не обязательно гладкие вдоль слоев слоения S) отображения M-+F .

Пусть S, Т — слоения на многообразиях М и N. Отображение / : M-+N называется топологически трансверсальным относительно S, Т, если для любых двух слоев s cz М и t cz N и любых двух точек jn e s и v. G i найдутся такие их окрестности U^czs и UvCit, что пересечение /~1(C/V) П Up. состоит не более, чем из одной точки .

5.2.9. ТЕОРЕМА. Если слоение Т задается распределением \на М и — dim М codim Т — dim, то отображение /: M-+N, топологически трансверсальное относительно S, Т, допускает аппроксимацию отображе­ нием, трансверсальным относительно S, .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Обозначим через (Г()) 2, (Г(7У)/) 2 пучки сфер, соответствующие расслоениям Т (S), Т (TV) / g. Из существования отображения /: M-*~N, топологически трансверсального относительно S, Т, следует существование послойного симметрического отображения (T(S))*-+(T(N) /I)*. Но поскольку - ^ d i m M dim (T(N) /I) — — dim T (S), то [см. (6) ] существует (послойно линейный) гомоморфизм Т (S) -*T (N) I g, так что для доказательства 5.2.9 остается применить 5.2.1, 5.2.2 .

Для погружений это рассуждение принадлежит Хиршу — Хефлигеру и содержится в ( 6 ) .

Докажем теперь для гладкого слоения S, определяемого распределе­ нием т] на гладком многообразии М, и распределения \ на F аналог пунк­ та б) предложения 4.2.2 .

5.2.10. Если существует гомоморфизм 6: r\-+T(F) 1\ (заметим, что ц = T(S)), размерность ядра которого в каждой точке m e M равна р, то:

а) при р dim S — dim(T(F) /g) существует гладкое отображение f: M-+F, у которого гомоморфизм Df\ T(S) -*T(F) /g имеет в каждой точке тп е М размерность ядра, не большую чем р;

б) при р = dim S — dim (T(F) / g) существует гладкое отображение /: M-+F, у которого гомоморфизм Df имеет в каждой точке размерность ядра, не большую чем р + 1 .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Если а — распределение на многообразии Л, в котором введена риманова метрика, то через а обозначим распределе­ ние размерности dim A — dim а, образованное плоскостями, ортогональны­ ми плоскостям распределения а. Если а и р — распределения на много­ образиях А и В соответственно, то через а + р обозначим распределение

ОТОБРАЖЕНИЯ СЛОЕНИЙ В МНОГООБРАЗИЯ

па прямом произведении А X 5, представляющее собой внешнюю сумму Уитни распределений а и р .

Перейдем непосредственно к доказательству. Будем предполагать, что в М введена какая-нибудь риманова метрика. Обозначим через у распре­ деление (размерности р) на М, являющееся ядром гоморфизма 6. Рас­ смотрим распределение сс = \ + 5 н а М Х ^ \ Обозначим через зт: ц -+•

-*- Т (М) I у композицию включения т] -- Т (М) и проекции Т (М) -Г (Ж) / Y- Рассмотрим гомоморфизм h = б X я : т]-- ^(F) + + Г(М) / 1 + Y = r ( F ХМ) / а. Ясно, что hezi(r\,T(F ХМ) / а ) .

Рассмотрим случай а). Неравенство р dimS — dim (^(F) /5) влечет неравенство dim и dim ( r ( F X M) / а ), так что, применяя 5.2.1, видим, что существует послойно гладкое отображение f :М-+М X F, трансверсальное относительно S, а. Аппроксимируем это отображение гладким отображением /": М -+ М X F, трансверсальным относительно S, а, и рас­ смотрим композицию отображения /" и проекции р: М X F -+F. Получен­ ное гладкое отображение / = р/": M-+F является искомым .

Для доказательства пункта б) нужно предварительно умножить мно­ гообразие М X F на прямую Rx и провести рассуждения, аналогичные предыдущему .

5.3. Пусть F — квазикомплексное многообразие комплексной размерно­ сти m со структурной антиинволюцией /; T(F)-+T(F). Гладкое погру­ жение ф: M-+F назовем вещественным погружением, если для любого слоя То^Т(М) выполнено dim (йф(Го) []1(^(То))) = 0. Обозначая че­ рез Нп множество тех мономорфизмов \х: Rn-+T(F) (п = dimM), для которых dim (Im (u.) iHiXIra (м,))) = 0 ? ВИДИМ (обозначения см. в 5.1), что пространство вещественных погружений M-+F совпадает с простран­ ством В (М; F, Нп) .

Замечая, что Hn+i = 2(Я П ) и что при m n проекция Нп+1-+Нп, «отвечающая включению Rn-*Rn+i, есть отображение «на», заключаем, что пространство вещественных погружений M-^F при п т инъективно.

Таким образом, применяя 5.1.1, немедленно получаем следующее утверждение:

5.3.1. Пространство вещественных погружений M-+F при п m слаSo гомотопически эквивалентно пространству вещественных гомоморфиз­ мов T(M)-*T(F), т. е. пространству непрерывных сечений расслоения [М, [ # п ] ]. {Разумеется, предложение остается в силе для любого п-мерного слоения.) 5.3.2. С л е д с т в и е. Если тп и на многообразии M{Aim.M=n) существует такой комплексный (пг — п)-мерный пучок а, что его сумма Уитни с комплексификацией СТ(М) пучка Т(М) тривиальна, то любое непрерывное отображение М-^СШ можно аппроксимировать веществен­ ным погружением .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Существование пучка а с указанным свойством равносильно существованию (комплексного) гомоморфизма г: СТ(М) Т (Ст). Сужение г на Г (М) есть вещественный гомоморфизм Т (М) Т(Ст), так что 5.3.2 следует из 5.3.1 и 5.1.4 .

728 М. Л. ГРОМОВ

–  –  –

Последовательность Xi -- Х2 -• Х3 топологических пространств и непрерывных отображений назовем /-последовательностью (расслоенной последовательностью), если для любой деформационной пары (К,Ь) и любых непрерывных отображений g1: L-^Xh g2: K-^Хч таких, что Ф!^ =gL(gb— сужение g на L), существует такое (накрывающее) отображение gi:K-^X\, что gLl = g1, Фгф^1 = фг^2 .

П р и м е р. Если одно из отображений ф1? ф2ф1 есть расслоение Серрау Ф1 Ф2 Г

–  –  –

назовем точной, если для каждой пары таких непрерывных отображений hi: K-+-Yi, Ьг\ K-*Xi+i, что tM&i = j^+i/ta, существует и единственно такое непрерывное отображение h = h\ X h2: K-^Xi, что pih = h2, p{h = h± .

Диаграмму D= [(Xi, p*), pu (Yu 4г)] назовем точной, если каждая, ее поддиаграмма вида (*) точна .

Очевидные доказательства приводимых далее предложений 6.2.1—6.2.5 мы опускаем .

6.2.1. Если в точной диаграмме D = Р: S -- Т строка Т есть ^последо­ вательность, то и строка S есть ^-последовательность .

6.2.2. Если в пространствах, составляющих точную диаграмму D = Р:

S-^T отмечено по точке, то диаграмма QD = QP: QS-+QT является точной .

6.2.3. Рассмотрим непрерывное отображение /: X-+Y. Пусть в каждой компоненте линейной связности пространства X отмечено по точке #ь Х2,..., Xk,.... Набор гомоморфизмов / Д : tti(X, хи) -%(У, f(xk)) обозначим через/i*. Будем говорить, что /1# эпиморфно (мономорфно), если все гомоморфизмы fuk эпиморфны (мономорфны) .

6.2.4. Если заданы непрерывное отображение /: Х- У, точки х±,Х2 ^ Е Х И пусть ЦУ*У2 в пространстве У, соединяющий точки у\ = f(x\) и г/2 = == /(#2), то назовем путь П*1*2 в X параллельным пути П*^2, если пути /(П*1*2) и ПУМ ГОМОТОПНЫ В У .

Если отображение /о*: По(Х) -^яо(У) взаимно однозначно, а /и эпи­ морфно, то для любого пути П^2 в Y(y± =* /(#i), уг = /(#г)) существует параллельный ему путь в X .

Назовем /-диаграммой fc-го порядка (к ^ 3 — натуральное число) точ­ ную диаграмму [(Хи рг), ph (У*, ypi)], i = 1,..., &, строки которой суть /-последовательности .

6.2.5. Рассмотрим комплекс К, подкомплекс La К, /-диаграмму [ (Хг-, ф;), р^ (Уг, tyi) ], два непрерывных отображения А4: К -- У,-, /гг: X—-Хг(1 ^ / г) и такую гомотопию Г*: 7-- У*, неподвижную на L, что Го = я|) г -1.. :^jhh Ti = pilm. Пусть Г* — такая (накрывающая) гомотопия в Yj, неподвижная на L, что Го = h± и ф г + 1...tyj(Tt) = я|)*+1Гг (существование такой гомотопии следует из определения /-последователь­ ности). Обозначим через Ti(hi) X h^: K-^Xj отображение, определенное формулой;

Ti(hi)xht = r1 * *,A, .

л г+1 6.2.6. Пусть дана f-диаграмма [(Х{,рг-),pi/(Yi,tyi)], г = 1, 2, 3, две точки х1, х2^Х\ и такие пути И\: [О, 1]--У1, П2: [О, 1]-Х 2, соеди­ няющие точки Pt(xl), piix2) и точки ^i(xi),(fi(x2) соответственно, чтопути ^\Л\ и р2^2 гомотопны в Уг. Тогда точки х1, х2 соединимы путем вХ± .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Путь П = Г 1 (П1)ХП 2 (см. 6.2.4.), где Г*— деформация, соединяющая пути ^ Щ и ^Пг, является искомым .

730 М. Л. ГРОМОВ

6.2.7. Пусть задан такой морфизм

(Д g{) : [(Хг, ф0, А, (Уг, %)] - [(Хг', ФО, р г (У г, *;] f-диаграмм, что отображения f^ gj# взаимно однозначны, /* м '*ф эпиморфны, a gj* мономорфно (см. 6.2.3). Тогда /J* —взаимнооднознач­ ное отображение .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть ж1, я 2 е Х4 — точки, образы которых в X соединимы путем П. Рассмотрим пути lit в Y± и Пг в Хг, параллельные путям рА(П) и Ф1(П) соответственно. Ясно, что к П± и П2 применимо (6.2.6). Доказательство закончено .

6.2.8. Пусть задан такой морфизм (A g*): [(X,, ф 1 ), А, (У ь ^ ) ] — [(Х,\ Ф1), А \ (У{, Ч*)1 f-диаграмм 4-го порядка, что отображения f* gj# — отображения «на», a -|* (см. 1.2.3.) эпиморфно. Тогда ц — отображение «на» .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть хгЕЕXi — произвольная точка. Ясно, что существуют такие точки х2 ЕЕ Х 2, 2/i 6= Ух, что точки ф^ (я'х), / 2 (#2) соедини­ мы путем П2 в Х2, а точки gx(y\), Pi(#i) — путем Пх в У^. Проведем в У2 путь Г, параллельный произведению я^ (Пх)©р2(П2). Рассмотрим (одното­ чечный) образ Xi отображения Г 4 (|у ± |) X | # 2 | ), где через \у\\, \хг\ обозначены включения «стандартной точки» в пространства Ft, Хг. Для завершения доказательства нужно проверить, что точки Р(х\) и х'г соеди­ нимы путем. Это легко установить, применив (6.2.6) к диаграмме

–  –  –

6.2.9. П р е д л о ж е н и е. Если заданы f-диаграммы D, D' 4-го порядка и такой морфизм (f{g{) : / - / /, что отображения Р, g1, g2 суть слабые го­ мотопические эквивалентности, то и /* есть слабая гомотопическая эквива­ лентность .

Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу (6.1.1) и (6.2.2) достаточно показать, что отображение /J* взаимно однозначно и «на», но это немедленно следует из (6.2.7) и (6.2.8) .

6.2.10. Для любой /-диаграммы [(Хг, ф г ), ри (Yu я|)г)] 4-го порядка су­ ществуют естественные (относительно морфизмов диаграмм) гомоморфиз­ мы dj: ПДУг) -- Uj-\(X\), обладающие следующими свойствами (обоб­ щающими свойства точности гомотопической последовательности для рас­ слоений) :

Im dj = Кег (ф0 # П Кег Q?i)„

ОТОБРАЖЕНИЯ СЛОЕНИЙ В МНОГООБРАЗИЯ 731

–  –  –

где & — фиксированная точка, грг, ^з — тождественные отображения). По­ о скольку эти свойства /-диаграмм в дальнейшем использоваться не будут, то доказательство (совершенно тривиальное) мы опускаем .

6.3. Если дана последовательность S = (Х{, фг), то через S мы будем обозначать проективный предел lim Xi, через ср*: S -~Xi+\ — проективный предел отображений фг, фг-ь Если задан морфизм Р = (р^ : - Т, то через Р : S - Г обозначаем проективный предел отображений р* .

Очевиден следующий факт:

Ф1 Фг 6.3.1.

Пусть дана /-последовательность Х^-^Хъ-ь-Х^ путь И\:

| 0, 1\-+Х\ и параллельный ему путь Пг : [0, 1]-Хг. Тогда существует такой путь III: [0, 1] —*Х\, гомотопный пути Пь что Ф2Ф1П1 = фгПг .

6.3.2. Пусть дана диаграмма [ (Хг-, фг), Ри (Yh *фг) ], i = 1, 2, 3, где стро­ ки суть /-последовательности, отображение {р\)о* взаимно однозначно, (р\)и эпиморфно, (р2)\* мономорфно. Пусть в пространствах Х{, Y{ согла­ сованным образом выбрано по паре точек х\, х\ e l i, г/г-, y\ e Yim Если III: [0, 1] -*• Fi, П2: [О, 1] -Хг — такие пути, соединяющие выбранные точки, что путь Пг параллелен ty\Hi, то существует такой путь Ш :

[О, 1] — ~ \ параллельный Пь что Ф2Ф1П1 = Ф2П2 .

* Х, Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим произвольный путь И[ : [0, 1] -•Х\, параллельный пути Пь Ясно, что он параллелен также пути Пг и, приме­ няя к П[ утверждение (6.2.4), мы строим искомый путь Пь 6.3.3. Пусть дана диаграмма [(Xi, фг), pi, [Y{, % ) ], i = 1, 2, 3, 4, где (pi)o* — отображение «на», (р2)о* взаимно однозначно, (^2)1* эпиморфно .

Пусть Х2 е Х2 гг г/i е Yi — такие точки, что точки tyi{yi) ^ ^2(^2) соедини­ мы путем Пг в У2. Тогда существует такая точка х\ e l j, чго ф1ф2(^0 = = ф2(^2), и точки Р\(х\), у\ соединимы таким путем Пь что г ^ з ^ П ! = = г|)2^1П2 .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть Х[ЕЕХХ — такая точка, что точки Pi{x'i)r Ух соединимы путем П1# Соединим точки qi{x'i), х2 путем П?

параллельным произведению ^ ( П ^ - Щ. Построим путь П^: [0, 1]—Xlf выходящий из х{ и накрывающий путь Щ. Легко видеть (применяя ФгФх Фз 6.2.4 к последовательности Ух Y^-Y^), что второй конец хг^ Хг лути П2 является искомой точкой .

732 М. Л. ГРОМОВ 6.3.4. П р е д л о ж е н и е. Если задан такой морфизм Р= (р^ :S-^Tf где S, Т суть f-последователъности, что все отображения р^ — слабые гомо­ топические эквивалентности, то и отображение Р: 3 ~ Г есть слабая гомо­ топическая эквивалентность .

Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу (6.1.1) и очевидного равенства Q(S) — = Q(3), достаточно показать, что отображение (Р)о* взаимно однозначно и «на» .

Покажем, что (Р)о# взаимно однозначно. Пусть s, s i G J - такие точки, что точки P(s), P(s\) соединимы путем П в Г. Из (6.3.2) следует, что су­ ществует такая последовательность путей Пг: [0, 1] -А~_г-, соединяющих точки tjLtf-i(s), $__i_i(si), что ф-г(Пг) = ф-гф-г-1 (Пг+i). По определению проективного предела, такая последовательность путей определяет путь 3,, соединяющий s и s\ .

Доказательство того, что (*)о* есть отображение «на», проводится ана­ логично с использованием (6.3.3) .

–  –  –

пара. Но парами такого вида можно аппроксимировать любую компактную пару в ! Х /, и ввиду 2.2.3 предложение доказано .

Д о к а з а т е л ь с т в о п р е д л о ж е н и я 2.4.2. Ввиду 2.3.1, 2.4.1, до­ статочно рассмотреть лишь тот случай, когда Y есть интервал / = [О, 1] .

Ясно, что если подмножество U a Y X I имеет вид U = V X Г, где V — открытое множество в X, а Г — открытый в / интервал, то отображение ty1 (U) есть слабая гомотопическая эквивалентность. Применяя 2.4.1 и 7.2.2, мы получаем, что if)1 есть с-эквивалентность, а следовательно, и до-эквива­ лентность .

Предложение 2.4.2 можно уточнить. Поскольку соответствующее ут­ верждение не используется, приведем его без доказательства .

7.2.3. Если гомоморфизм г|) есть с-эквивалентностъ, a Y есть топологи­ ческое многообразие, то \|)Y есть с-эквивалентность .

Поступило

8.VII.1968 ЛИТЕРАТУРА C h e r n S. S., K u i p e. r N. Н., Some theorems on the isometric imbedding of compact Riemann manifolds in euclidean space, Ann. Moth., 56 (1952), 422—437 .

Г о д е м а н Р., Алгебраическая топология и теория пучков, М., ИЛ, 1959 .

G r a y S. W., Some global properties of contact structures, Ann. Math., 69 (1959), .

512-540 .

H a e f l i g e r A., Structures feuillietees et cohomologie a valeur dans un fauscean de groupoides, Comm. Math. Helv., 32 (1958), 248—329 .

H a e f l i g e r A., H i r s c h M., Immension in the stable range, Ann. Math., v. 75,, № 2 (1962), 231—241 .

H a e f l i n g e r A., Varietes, feuilletes, Ann. Ec. Norm., S. Pisa, Ser. 3, 16, № 4 (1962), 367-397 .

H i r s c h M., Immersions of manifolds, Trans. Am. Math. Soc, 93 (1959), 242—276 .

H i r s c h M., On embedding differentiable manifolds in Euclidean space, Ann. Math., .

73 (1961), 566—571 .

K o b a y a s h i S., N o m i z u K., Foundations of differental geometry, Wiley (Interscience), New York, vol. 1, 1963 .

К о н - Ф о с с е н С. Э., Некоторые вопросы дифференциальной геометрии в це­ лом, М., Физматгиз, 1959 .

Л и х н е р о в и ч Л., Теория связностей в целом и группы голономий, М., ИЛ, 1960 .

М и л н о р Дж., Теория Морса, М., «Мир», 1965 .

N a s h J., Imbedding of Riemannian manifolds, Ann. Math., v. 63, № 1 (1956), 20—63 .

P h i l l i p s A., Submersions of open manifolds, Topologie, v. 6, № 2 (1967), 170— 206 .

P o e n a r u V., Sur la theorie des immersions, Topologie, 1 (1962), 81—100 .

S m a l e S., The classification of immersions of spheres in Euclidean spaces, Ann .

Math., 69 (1959), 327-344 .

С п а н и е р В., У а й т х е д Дж., Теория носителей и ^-теория, «Математика», 3 : 1 (1959), 27-56 .

Т о м Р., Некоторые свойства в целом дифференцируемых многообразий, сб. переводов «Расслоенные пространства», М., ИЛ, 1958 .

W e l l s R o b e r t, Cobordism groups of immersions, Topologie, 5, № 3 (1966), 281-294 .

W h i t e h e a d J., Simple homotopy types, Amer. J. Math., 72 (1950), 1—57 .

W h i t n e y H., On regular cloissed curves in the plane, Composite Math., vol. 4*