«Серия математическая 33 (1969), 707—734 УДК 513.8 М. Л. ГРОМОВ СТАБИЛЬНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ СЛОЕНИЙ В МНОГООБРАЗИЯ В работе изучаются топологические свойства пучков ...»
ИЗВЕСТИЯ АКАДЕМИИ НАУК СССР
Серия математическая
33 (1969), 707—734
УДК 513.8
М. Л. ГРОМОВ
СТАБИЛЬНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ СЛОЕНИЙ В МНОГООБРАЗИЯ
В работе изучаются топологические свойства пучков ростков ото
бражений и для таких пучков строится аналог теории препятствий .
Предлагаемый метод позволяет распространить результаты Смейла и
Хиргна, касающиеся пространств иммерсий, на широкие классы про странств гладких отображений .
Введение Рассмотрим гладкие многообразия М, N и пространство С°° (М, TV) гладких отображений M-+N, снабженное С°°-топологией. В пространстве С°° (М, TV) действует группа D (М) диффеоморфизмов многообразия М .
Подпространство R a C°° (M, TV) назовем стабильным пространством, если:
а) R открыто в С°° (М, TV);
б) R инвариантно относительно действия группы D(M);
в) если / е С°° (М, TV) и для каждой точки т е М существует такой элемент g ^ R, что отображения /, g: М-^ N совпадают в некоторой окрестности точки т, то / принадлежит R .
Приведем примеры стабильных подпространств .
1. Пространство Imm (М, TV) погружений (иммерсий) M-+N .
2. Пространство Sub (М, TV) сжатий (субмерсий) М -• T [см. (14) ] .
V
3. Пространство I{M,N,r) (г — натуральное число) отображений, ранг дифференциала у которых в каждой точке т е М не меньше г. За метим, что /(M,TV,dimM) = Imm (Tlf,TV) и /(Af, TV, dim TV) = Sub (M,TV) .
4. Пространство W(M, TV, gN), где gN — риманова метрика в TV, тех погружений М-^N, вторая квадратичная форма которых невырожденна .
5. Пространство К+(М, TV, gN) (K~(M, TV, gN)) тех погружений М-• N (TV — риманово многообразие с метрикой gN), которые индуцируют в М риманову метрику с положительной (отрицательной) кривизной .
Уитни (21) вычислил я о ( 1 т т (S 1, R1)). Смейл (16) вычислил гомото пические группы Яг (Imm (Sk, S1)) с k /.Опираясь на результаты Смей ла, Хирш [см. ( 7 ), ( 8 )] исследовал гомотопии пространства Imm (M, TV) в следующих двух случаях: 1) dim М dim TV; 2) М — открытое много образие. Метод Хирша был модифицирован Поенару (15) и в этой модифи цированной форме применен Филлипсом (14) для изучения пространства 708 М. Л. ГРОМОВ Sub (M,N) для случая, когда М — открытое многообразие. В работах (21), (16) (15) была установлена слабая гомотопическая эквивалентность между исследуемым стабильным пространством и соответствующим ему подпро странством пространства 1-струй Jl(M, N). Пространства, описанные в примерах 4, 5 и аналогичные им, эпизодически встречаются в геометриче ских рассмотрениях [см. (*), ( 13 )], однако, насколько известно автору, си стематическое исследование их гомотопической структуры не проводи лось .
В настоящей работе перечисленные результаты Уитни — Смейла —
Хирша — Филлипса обобщаются в двух направлениях:
1. Во-первых, рассматривается произвольное стабильное пространство R cz C°° (M, N) и исследуется, когда оно слабо гомотопически эквивалентно соответствующему подпространству пространства струй. Помимо класси ческих теорем Смейла — Хирша о погружениях и их непосредственных обобщений, нами установлена гомотопическая структура пространств, описанных в примерах 3) —5) (и аналогичных им пространств), в том случае, когда М — открытое многообразие. В частности, доказано:
Если на открытом многообразии М существует к векторных полей, ко торые порождают в каждой точке т^М линейное пространство размер ности, не меньшей г, то существует гладкое отображение М -- Rk, у кото рого ранг дифференциала в каждой точке не меньше г .
Аналогичное исследование проведено для стабильных пространств, се чений произвольного косого произведения, ассоциированного с касатель ным расслоением Т (М): пространства контактных, симплектических, квазикэлеровых структур на М, пространства римановых метрик с поло жительной или отрицательной кривизной.
В частности, установлено:
На любом открытом квазикомплексном многообразии существует квазикэлерова метрика .
2. Во-вторых, обобщая изложенное в пункте 1, мы рассматриваем глад кое слоение S [см. ( 4 )] на топологическом многообразии А и стабильное пространство отображений А -- N. (В пункте 1 фактически рассмотрен случай однослойного слоения.) Стабильными предполагаются сужения наших отображений на слои слоения S. Стабильным пространством яв ляется, в частности, пространство тех непрерывных отображений А - N, сужения которых на слои слоения S суть гладкие погружения. Характер полученных результатов иллюстрирует следующий пример:
Если на гладком многообразии А гладко действует без неподвижных точек группа i?1, то существует гладкое отображение А -- i?2, сужение ко торого на каждую траекторию есть погружение .
Работа состоит из двух частей и добавления. В §§ 1, 2 приведены опре деления и формулировки, необходимые для дальнейшего. Чтобы не загро мождать основной текст длинными (хотя и тривиальными) проверками, доказательства некоторых предложений § 2 вынесены в добавление (§ 7) .
Основные технические трудности связаны с изучением произвольных (а не однослойных) слоений, рассмотренных в п. 2 этого введения. Для рас смотрения многообразий материал § § 2, 6, 7 несущественен .
ОТОБРАЖЕНИЯ СЛОЕНИЙ В МНОГООБРАЗИЯ
Автор выражает глубокую благодарность профессору В. А. Рохлину за важные обсуждения и постоянный интерес к данной работе и С. П. Нови кову за критический разброс работы и ценные рекомендации по планиров ке статьи .ЧАСТЬ I § 1. Квазитопологические пространства
1.1. Говорят [см. ( 17 )], что множество А снабжено структурой квазито пологии, если для каждого топологического пространства X в множестве Н о т (X, А) всех отображений Х-+А выделено такое подмножество
Тор (X, А) с: Нот (X, А), что выполнены следующие условия:
а) если h е Нот(X, А) — тождественное отображение и h е Тор (X, А), то Л е Тор(X, Л);
б) если /: X -- Y — непрерывное отображение и fe = Top (У, А), то й/еЕТор(Х,Л);
в) если X разложено в объединение X = Xi U Х2 двух открытых (или U г2 замкнутых) множеств Xi с: X, Х2 с X и если для h е Нот (X, Л) выпол нено : hii е= Тор (X, Л), Afe е= Тор (Х2, А), то Л е= Тор (X, Л) .
Если Л, 2? — квазитопологические пространства, то отображение f: А-+Б называется квазинепрерывным, если для любого топологического про странства X отображение Нот.* (/) : Нот (X, А) - ^ Н о т (X, В) переводит подмножество Тор (X, A) cz Horn (Х,А) в подмножество Тор (X, В) а cz Нот (X, В). Ясно, что квазитопологические пространства и квазинепре рывные отображения образуют категорию. В этой категории определены понятия индуктивной системы и индуктивного предела, проективной си стемы — в частности, точной диаграммы (т. е. скрещенного или расслоен ного произведения). В дальнейшем под «морфизмом» будет пониматься квазинепрерывное отображение .
Для категории квазитопологических пространств можно сформулиро вать и доказать многие факты гомотопической теории топологических про странств [см. ( 17 )]. В частности, справедливо (и имеет смысл) следую щее очевидное 1.1.1. П р е д л о ж е н и е. Если в коммутативной диаграмме внутренняя и внешняя диаграмма точны, морфизмы g b g2 суть расслоения Серра, р2, рз, РА — слабые гомотопические эквивалентности, то р\ — сла бая гомотопическая эквивалентность .
710 М. Л. ГРОМОВ 1.1.2. Индуктивную систему (X, я) квазитопологических пространств над направленным множеством К назовем однородной, если существует такое подмножество iV, конфинальное в К, что отображения Щ при а, р ^ е N суть слабые гомотопические эквивалентности. Ясно, что для а е N «проекция» Ха -• Х°° есть слабая гомотопическая эквивалентность .
Описанное выше множество N назовем однородной частью в К .
1.2. Назовем морфизм р: M^N, где М, N — квазитопологические про странства, микрорасслоением, если для любого конечного комплекса К отображения / : К-+М ж деформации g: К X [0, 1] - N отображения pf:
K-+N существует положительное 8 1 и такое отображение gs: К X X [0, 6] -il/, что композиция fge совпадает с сужением g: К X [0, б] -N, а ? в | я х о = /• П р и м е р. Если р: S - Т — расслоение Серра, где S, Т — топологиче ские пространства, М a S и N cz T — открытые подмножества, а образ р(М) содержится в iV, то сужение р: M-+N есть микрорасслоение .
§ 2. Топологические пучки
2.1. Контравариантный функтор Ф из категории открытых множеств топологического пространства X, которое в дальнейшем будет предпола гаться локально компактным и имеющим счетный базис, в категорию топо логических пространств и непрерывных отображений мы будем называть топологическим пучком на X, если Ф является пучком в смысле ( 2 ). Значе ние пучка Ф на открытом множестве U cz X обозначается через 0\(U), значение функтура Ф от включения р: U cz V — через Ф (р), сужение пуч ка Ф на множество U — через Ф[/ .
Если A cz X— произвольное подмножество, то через Ф\{А) мы будем обозначать квазитопологическое пространство, представляющее собой ин дуктивный предел (в категории квазитопологических пространств) про странств Ф ( / А ) ПО всем окрестностям UA = A .
Применительно к открытому множеству U обозначение Ф(С/) приводит к двусмысленности, но из контекста всегда будет ясно, о какой структуре в Ф(17) идет речь .
Всюду далее, если не оговорено противное, под пучком будет понимать ся топологический пучок .
Если г|з: Ф1 -- Фг — гомоморфизм пучков, то через *ф(С/): Ф1 (U) -•
-Ф2(?7), г Д е U а X — любое открытое множество, обозначается непре рывное отображение, определяемое гомоморфизмом ф, а через г | ^ Ф\и~^
-+ф2и — сужение гомоморфизма г|? на пучки Фщ, Ф217 .
Для задания пучка на пространстве X с базисом открытых множеств Vi (i e / ) достаточно задать значения Ф ( 7 г ) и Ф(/?г,г2), где pixi2: Vixci с : Vi2 — включение элементов базиса .
v
2.2. Если Ф — пучок на X, то пара (А, В), где B c i c I, называется Ф-гибкой (Ф-микрогибкой) если морфизм Ф (р) есть расслоение (микро расслоение) Серра .
Очевидные доказательства приводимых далее предложений 2.2.1 — 2.2.3 мы опускаем .
ОТОБРАЖЕНИЯ СЛОЕНИЙ В МНОГООБРАЗИЯ
2.2.1. Если пары (А, В) и (В, С) являются Ф-гибкими (Ф-микрогибкими), то и (А, С) есть Ф-гибкая (Ф-микроеибкая) пара .2.2.2. Если А, В а X — замкнутые множества и пара (А, А Л В) являет ся Ф-гибкой (Ф-микрогибкой), то (А[) В, В) есть Ф-гибкая (Ф-микрогибкая) пара .
Будем говорить, что пара (А, В) аппроксимируема парами (4 г, В{), i e ^ /, если для любых окрестностей U :э Л, V =э В существует такое J G /, ЧТО U = Ai ZD А, V =) Bi =Э В .
2.2.3. Если пара (А, В) аппроксимируема Ф-гибкими (Ф-микрогибкими) парами, то она является Ф-гибкой {Ф-микрогибкой) .
Назовем пучок Ф на X гибким, если любая пара (А, В), где А, В — компакты в X, является Ф-гибкой. Заметим, что сужение Фи гибкого пуч ка Ф на любое открытое U czX есть гибкий пучок .
П р и м е р. Пучок ростков непрерывных функций на X есть гибкий пучок .
Следующее предложение с очевидностью следует из 2.2.1, 2.2.2 .
2.2.4. Если пучок Ф локально гибкий (т. е. каждая точка х е X обладает такой окрестностью U, что сужение Фи является гибким), то Ф есть гибкий пучок .
Подпучок Ф1 пучка Ф на X назовем открытым в Ф, если для каждой _ Р пары открытых множеств U\ ID С/2, такой, что пересечение U\ Л U-2 ком пактно, и произвольного элемента f E 0 i ( P i ) найдется такая окрестность Уф с= Ф{11\), что ее образ при отображении Ф(р): Ф(ЕЛ) -Ф(С/ 2 ) лежит в подпространстве Ф1 (С/2) с: Ф(С/2) .
П р и м е р. Если Ф — пучок ростков гладких отображений многообра зия М в многообразие N, то его подпучок Фг на М, образованный теми отображениями, которые в каждой точке m е М имеют ранг дифферен циала не меньше чем г, открыт в Ф .
Укажем без доказательства следующий очевидный факт:
2.2.5 Если подпучок Ф\ открыт в Ф и компактная пара (А, В) являет ся Ф-микрогибкой, то она является Ф\-микр о гибкой .
2.3. Если Фь Фг — пучки на X, то гомоморфизм г|з: Ф1 —• Фг назовем ^-эквивалентностью, если для любого открытого U cz X непрерывное отображение ^(С/): Ф{(11) —- Фг(С/) есть слабая гомотопическая эквива лентность .
Формулируемое далее утверждение доказано в добавлении .
2.3.1. П р е д л о ж е н и е. Если гомоморфизм г|): Ф^-^Фг гибких пучков Фь Фг на X локально является w-эквивалентностъю (т. е. каждая точка X G X обладает такой окрестностью U, что сужение \fr/ есть w-эквивалентностъ), то г|) есть w-эквивалентностъ .
2.4. Если X, Y — топологические пространства (локально компактные со счетной базой), то через Ф г обозначим пучок на X X У, определенный следующими условиями:
1) для любых открытых множеств С/ с: X и V cz Y пространство Ф Г (С/ X V) есть пространство (Ф(и))у (т. е. пространство непрерывных отображений V -+• Ф (U));
712 М. Л. ГРОМОВ
пу С°°-диффеоморфизмов пространства Д п, т. е. множество пар (С/,/), где U с: Rn — открытое множество, а / — элемент (обычным образом топологизированного) пространства тех гладких отображений U-*Rn, ко торые отображают U диффеоморфно на Uf cz Rn .
Если Ф — пучок на Rn, то действием d псевдогруппы 3)п на пучке Ф назовем соответствие, относящее каждому элементу (С/, /) е 3)п и откры тому V с i? n, содержащему образ f(U), отображение d((/,/), У): Ф(У)-Ф(17), причем выполнены следующие условия:
а) если / есть включение U cz У, то d( (С/, / ), У) = Ф(/);
h)d{{U,f),V)-d{{V,g),W) = d((U,gf),W);
с) (d((U,f)1U/))-^ = d((U\f-^),U) .
Отметим, что приведенное определение имеет смысл для любого (необя зательно топологического) пучка на Rn. Действие псевдогруппы 3)п на пучке Ф можно интерпретировать как распространение пучка Ф с обыч ной топологии в Rn на топологию (в смысле Гротендика), определяемую псевдогруппой 3)п .
Действие d на топологическом пучке Ф назовем непрерывным, если для любых открытых U, У cz Rn отображение d: SDuv X Ф(У) -Ф(Е/), где подмножество 3)yV cz 3)п образовано диффеоморфизмами, переводя щими U и V, определенное формулой: d(f, ф) = d((U,f), У) (ф) (/ е 2)цу, ф Е ф ( 7 ) ), непрерывно .
Пучок Ф на Rn вместе с непрерывным действием на нем псевдогруппы п
3) назовем d-пучком .
3.1.1с П р и м е р. Пучок ростков непрерывных отображений Rn в любое топологическое пространство есть d-пучок; более общо, пучок ростков се чений косого произведения, ассоциированного с касательным расслоением T{Rn), есть d-пучок .
Пучок ростков гладких сечений гладкого косого произведения, ассо циированного с T(Rn), есть d-пучок .
ОТОБРАЖЕНИЯ СЛОЕНИЙ В МНОГООБРАЗИЯ
3.2. Зафиксируем для каждого Rn и натурального i ^.п единичный шар D cz i? n, граничную сферу D1 которого обозначим через 5* -1. Пучок Ф на l Rn назовем ^-гибким, если пары (D\ S1-1) являются Ф-гибкими при i = = 1, 2,..., р .
Пучки, описанные в примере предыдущего пункта, суть тг-гибкие пучки .
3.2.1. Если d-пучок Ф на Rn является п-гибким, то он гибкий пучок .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Из 2.2.2 следует, что любая пара {К [] D, К), где К — произвольный компакт в Rn, D — гладкий шар в Rn и D f| К = = Ь, является Ф-гибкой. Парами такого вида можно аппроксимировать любую пару (А, А), где А — прямолинейный симплекс в Rn, и, следова тельно (см. 2.2.3), пара (., А) является Ф-гибкой. Применяя 2.2.1, 2.2.2 (или стандартную индукцию по остовам), получаем, что каждая пара (К, L), где К — прямолинейный комплекс в Д п, a L — его подкомплекс, является Ф-гибкой. Но парами вида (if, L) можно аппроксимировать лю бую компактную пару в Rn, так что ввиду 2.2.3 наше предложение дока зано .
Пучок Ф на Rn назовем jo-микрогибким, если пары (/', iS^-1) являют ся Ф-микрогибкими при i= 1,2,...,/? .
единичной сферой Б1~1 и концентрической сферой радиуса 1 — а .
Через AV обозначим j-мерное шаровое кольцо ширины а, ограниченное 3.2.2. Если Ф есть р^-микрогибкий пучок на Rn, то пары (i, К*)* О ^ а ^ 1, являются Ф-микрогибкими .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Гладко протриангулируем пару (ifS, Ка) .
Дальнейшее рассуждение аналогично доказательству предыдущего пред ложения 3.2.1 .
3.2.3. П р е д л о ж е н и е. Если d-пучок Ф на Rn является р-микрогибким и если р п, то Ф есть р-гибкий пучок .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Зафиксируем числа п, р, где п р. Через Da обозначим /?-мерный шар радиуса 1 — а; стандартный шар DP = DQ обозначим через D. Через Sa, S обозначим граничные сферы шаров Da, D, через Ка — шаровое кольцо (D \ Da) \] Sa; заметим, что К0 = S, К\ = = D .
Через Gap обозначим включение Sa zz K$t через a a — включение Sa cz cz Da, через xap — включение Ka cz K$, через a — включение Da cz D .
Укажем теперь то единственное (и очевидное) свойство псевдогруппы Ж п, которое используется в доказательстве .
Для любых t0, a, 8, где 0 8 а 1 и О ^ о ^ 1, и любой окрестно сти U кольца Ка существует такая диффеотопия d&ato: U X [0, t0] -• С/, что:
1) диффеоморфизм deaU: U X 0 -- U тождественен;
2) диффеотопия d8a/o неподвижна в некоторых окрестностях сфер S и SE;
3) диффеоморфизм d&ato: U X t0-+ U отображает сферу Se/2 на сфе ру Sa .
714 М. Л. ГРОМОВ Далее мы будем предполагать, что для каждой окрестности U ZD Ka такая диффеотопия выбрана, фиксирована и обозначена через deato .
Заметим, что условие р п в доказательстве больше использоваться не будет .
Далее будем пользоваться таким выражением: если f\\ L-+(&(Da), / 2 : Ь-^Ф(Ка) (L — конечный комплекс) — такие (квазинепрерывные) отображения, что сужения их на сферу Sa совпадают (т. е. Ф(а а ) */i = = Ф(оаа)-/2), то отображение / = /i X /2: L-*~b(D) мы будем называть склеенным из отображений /i, /2 по сфере Sa .
Если задано отображение g: L X [а, Ь] - Л/ и а ^ х ^ у ^ 6, то через g[X,y] будем обозначать сужение g: L X [х,у] -^ М, а через [*] — отображение g[X, x] .
Перейдем непосредственно к доказательству .
Пусть /: Р-+Ф(В) —произвольное отображение, где Р — конечный комплекс, и g: Р X [0,1] -Ф(5) — такая деформация, что Ф(счн) •/ = = g[o]. Из определения квазитопологии в Ф (S) следует, что существует а 0 и такое отображение g'\ Р X [0, 1] —^Ф(-Ка), что g = Ф(ао а ) •'• В силу 3.2.2, пара (Ка, S [} Sa) является Ф-микрогибкой и, следова тельно, найдется такое б 0, что для любого неотрицательного to ^ 1 — б (можно полагать б ^ 1) существует деформация \хи6: Р X [to, t0 + б] -•Ф (Ка) такая, что а деформация Ф (а а а ) • JLI*°6 неподвижна, т. е .
при ^о ^ t ^ о + б .
Ясно, что для построения искомой накрывающей деформации g:
Р X [0, 1] -+Ф(0) достаточно установить такой факт:
А. По любой деформации g'0: Р X [0, t0] - - Ф ф ), где 0 ^ t0 ^ ^ 1 — б, накрывающей деформацию g[o,t0] (т. е. gfa = f и Ф\(Го1)Г*° = = g[o,t0]), можно построить деформацию f'°+6: Р X [0, t0 + б] -+Ф(0), накрывающую деформацию g[o, *0+б] .
Докажем А для to = 0. В этом случае деформацию | б можно склеить по сфере Sa из деформации jut06 и из постоянной деформации отображения Рассмотрим случай to 0. Ясно, что существует такое е 0, что Ф(х«)?'«=Ф(х 1в ) [ ;.и .
W Рассмотрим теперь ту окрестность U =э Ка, для которой определены ото бражения: gf\ Р X [0, 1] -+Ф(и), ixto6: Р X [t0, t0+ 6] -+Ф(и), задающие деформации g' и \ito6 (т. е. g' = Ф(и?)g', \xto6 = Ф(м) -pi06). Обозначим че рез A&ccto: Ф(и) X [0, о]-^Ф(#) действие диффеотопии deato в P(t/)(A$° = tf((/, dffi,U)) .
ОТОБРАЖЕНИЯ СЛОЕНИЙ В МНОГООБРАЗИЯ
Построим деформацию g': Р X [О, t0] -- Ф(К а ) по формуле:
= Ф ( х ± )ФИ-Айсв-|1^ .
^
Из деформации Г'° и постоянной деформации отображения Ф( / 2 )-|°.:
P—?Dz/2 склеим по е /2 деформацию g 5 : J°X [0, t0 + 6] ~Ф (Z).
Но из построения Т**° и f5 ясно, что f | °, = Щ^у так что кожно определить |р°+ 8 по формуле:
^о+5 ( /, t) = J #'° при г 0, f5 при tоПредложение доказано .
С л е д с т в и е. Открытый подпучок р-гибкого d-пучка на Д п, инва риантный относительно действия 2D71, при р Сп является р-гибким .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Поскольку р-гибкий пучок является р-микрогибким, то в силу 2.2.5 следствие доказано .
3.3. Пусть даны d-пучок Ф на Rn и d-пучок Ф1 на Rn~k cz Rn. Будем говорить, что пучок Ф мажорирует пучок Ф ь если существует гомомор физм 1|э: Ф—-Ф! (т. е. набор естественным образом согласованных непре рывных отображений яр (U) : Ф (U) -+• Ф(U f] Rn~h), где U a Rn — все возможные открытые множества), обладающий следующими свойствами:
1) для компакта К cz Rn~k, который есть либо шар Z)\ либо сфера iS*-1, i = 1, 2,..., п — &, морфизм г|э (К) : Ф (К) - Ф] (К) есть расслоение Серра;
2) если К — шар, то г|э (К) — отображение «на» .
П р и м е р. Пучок ростков иммерсий Rn -*- М (М — гладкое много образие) мажорирует пучок ростков иммерсий Rn~k -- М .
Отметим следующий очевидный факт .
3.3.1. Если ^-гибкий пучок Ф на Rn мажорирует пучок Ф1 на Rn~k и р ^ п — к,тоФ\ — тоже ^-гибкий пучок .
3.4. Если G — подпсевдогруппа псевдогруппы Нп всех гомеоморфизмов n в R, а М — топологическое многообразие, снабженное (5-структурой [см. ( 9 )], то по любому G-пучку Ф на Rn (т. е. по пучку Ф, снабженному действием на нем псевдогруппы G) каноническим образом строится пучок на М (локально пучок из Rn переносится на М посредством структурных локальных гомеоморфизмов Ui -- Rn, Ui cz M), который обозначим через АМ(Ф). Соответствие Ф^АМ(Ф) есть ковариантный функтор из кате гории G-пучков на Rn в категорию пучков на М .
Обозначим через D% подпсевдогруппу псевдогруппы Hn+k гомеомор физмов в R п X Rk, образованную теми гомеоморфизмами, которые пере водят д-мерные слои (любое открытое U cz Rn X Rk естественно разбито 716 М. Л. ГРОМОВ на такие слои) снова в такие слои, причем на каждом слое гомеоморфизм есть диффеоморфизм, непрерывно зависящий от слоя .
Топологическое многообразие М, снабженное iZ)-структурой, назы вается гладким гг-мерным слоением коразмерности к или (п, к) -слоением;
если к = 0,— то гладким ^-многообразием .
Если дан d-пучок Ф на Rn, то через Аъ.(Ф) обозначим пучок ФКк7 снабженный естественным действием псевдогруппы 2D. Если М есть (п, к) -слоение, то через А (Ф) обозначим пучок Ам (Аъ. (Ф)) .
Ковариантный функтор Ajf, сопоставляющий d-пучку Ф на Rn пучок
А^(Ф) на М, обладает следующими свойствами:
3.4.1. П р е д л о ж е н и е : а) Если пучок Ф является п-гибким, то А^(Ф) есть гибкий пучок;
б) Если гомоморфизм ф: Ф1—^Ф2, где Фь Ф г ~ гибкие пучки на Rnr есть w-эквивалентность, то А^ (if) есть w-эквивалентность;
в) Если М есть гладкое п-многообразие, обладающее функцией Морса, которая не имеет критических точек индекса больше чем р, и если
-ф: Ф,1 -Ф2, где Фь Фг суть р-гибкие пучки на Rn,— такой гомоморфизм, что i|)(i?n) есть слабая гомотопическая эквивалентность, то отображение А^ (г|)) (М) есть слабая гомотопическая эквивалентность .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пункты а) и б) непосредственно следуют из 3.2.1, 2.2.4, 2.4.1 и из 2.3.1, 2.4.2, соответственно .
Докажем в) индукцией по р. Для р = 0 утверждение очевидно. Пусть /: M-+R1 — такая функция Морса, что критические точки индекса, мень шего чем р, лежат в многообразии f~i(—оо,—е), а значения функции / в критических точках индекса р равно + е. Обозначим через Dp объедине ние /ьмерных шаров, которые приклеиваются к ikf0 = /~ 1 (—00,0] при переходе через + е .
Обозначим через К\, К2, K3l К 4 направленные множества всех окрест ностей подмножеств Dp U М0, Л/0, Dp, M0f]Dpcz M. Обозначим через Ni a Ki, i = 1, 2, 3, 4, подмножества, образованные окрестностями сле дующего вида: окрестности из N\ — это такие открытые множества, для которых существует диффеотопия в М, переводящая их на прообраз /-*(—оо, + 2 е ) ; окрестности из N2 таковы, что их можно перевести неко торой диффеотопией на f~l{—00, 0 ] ; окрестности из 7V3, N4 — это трубча тые окрестности подмногообразий Dp, Dp (] М0 .
Пространства х\ = А™ (ф,) (Dp [) М 0 ), Х\ = А^ (Фг) (АГ0), Х\ =А^ X X (Фг) (Dp)4 Х\ = А^ (Фг) (М0 П Dv),i = 1, 2, являются индуктивными пределами систем Аом (Фг) (Ukj), где i = 1, 2, kj e Kj, 7 = 1, 2, 3, 4. Ясно, что эти индуктивные системы однородны, причем подмножества Nj с: Kj являются однородными частями в Kj .
Поскольку a|)(i?n) есть слабая гомотопическая эквивалентность и ввиду 1.1.2 морфизм 4^(-ф) (Dp) : А^ (Фг) (DP)~A™ (02)(DP) есть слабая гомото пическая эквивалентность. Применяя индуктивное предположение и 1.1.2, получаем, что и морфизмы Af (ЩМ0): А^ {Фх) (М0) - А% (Ф2) (М0) и A?№)(M0[)Dp):A?(O1)(M0r\Dp)-A? (Ф2)(М0(]ВР) суть слабые гомо"топические эквивалентности .
ОТОБРАЖЕНИЯ СЛОЕНИЙ В МНОГООБРАЗИЯ 717
Из р-гибкости пучка Ф следует, что пара (Dp, Dp f| M0) является А^(Фг) -гибкой, i = 1,2; применяя 1.1.1, получаем, что морфизм А^Ьр) (MO (J Dp) есть слабая гомотопическая эквивалентность, а следова тельно (см. 1.1.2), и отображение A^(ty) (M0) есть слабая гомотопическая эквивалентность .ЧАСТЬ II § 4. Открытые многообразия
4.1. Если X — гладкое (класса С°°) расслоение, то через ГТ(Х) будем обозначать пространство г-гладких сечений этого расслоения .
Рассмотрим гладкое (без края) связное ^-многообразие М и гладкое RL(n) -многообразие F, т. е. многообразие F, в котором задано гладкое действие группы RL(n). Обозначим через [М, F] косое произведение со слоем F, ассоциированное с касательным расслоением Т(М). Рассмотрим пространство Jr([M,F]) r-струй гладких сечений расслоения [М,F] и естественную проекцию Jr([M,F]) -+М. Возникшее таким образом рас слоение обозначим через [Л/, F]r. Рассмотрим эвклидово пространство Rn и группу D ^ нулевых ростков (т. е. ростков в начале координат) его диф феоморфизмов, оставляющих неподвижным начало координат.
Так как для любого открытого множества U с: Rn расслоение [С/, F] ассоциирова но с касательным расслоением T(U), то каждому диффеоморфизму /:
U -- U соответствует накрывающий его автоморфизм (дифференциал) dfi [U, F] -- [С/, F]. Следовательно, определено действие группы D^ в слое ([F]^ )о над точкой 0 расслоения [Rn,F]r. Слой ([JF])O МОЖНО отож дествить со стандартным слоем [F] расслоения [М, F]„, где М — любое тг-мерное многообразие, а группу D„ можно считать структурной группой расслоения [М, F]r. Действие группы D„ в [F] неэффективно, так что можно произвести соответствующую факторизацию, характер которой, во обще говоря, зависит от RL(n) -многообразия F. Во всяком случае в каче стве структурной группы можно взять Gn-rpynny (г + 1)-струй (в начале координат) диффеоморфизмов из D°n. Заметим, что G^n = RL(n)\ Пусть Н cz [F]гп— произвольное множество, инвариантное относитель но действия группы Grn\ рассмотрим расслоение [М, [Н]] со слоем Я, ассоциированное с [М, F]r. Ясно, что [Л/, [Н]] есть подрасслоение рас слоения [М, F]г, так что определено включение Г° ([М, [Н] ]) cz с=Г°([М, FY). Рассмотрим дифференциал dr: Г°°([М, F])-*T°{[M, F]r) .
Обозначим через В(М; F, Н) полный прообраз {dr)~i (Г°([^, [ # ] ] ) ) и через дм'- В(М; F, Н) - Г°([М, [Н]]) — сужение отображения dr на B(M;F,H) .
Пространство В (М; F, Н) и отображение дм являются основными объ ектами наших рассмотрений. Основной результат, касающийся отображе ния дм для открытого М, содержится в следующей теореме .
4.1.1. ТЕОРЕМА, Если М — открытое многообразие, т. е. у М нет связ ных компонент, являющихся замкнутыми многообразиями, и Н cz [F] п — открытое Сгп-инвариантное множество, то отображение дм'- B(M;F,H) -+•
-^Г°([М, [Я]]) есть слабая гомотопическая эквивалентность .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим сначала частный случай, когда М 718 М. Л. ГРОМОВ есть эвклидово пространство Rn. Обозначим через Но слой расслоения Шп, [Щ] в точке 0. Рассмотрим сужение р: Г°([ДП, [H]]) -*•Н0. Ясно, что р есть слабая гомотопическая эквивалентность. Ясно также, что ком позиция pdRn\ B(Rn; F, Н) -^Но есть расслоение Серра, причем любой компакт, лежащий в слое этого расслоения, стягиваем (в этом слое) в точку. Следовательно, отображение pdRn есть слабая гомотопическая экви валентность, а поэтому и dRn есть слабая гомотопическая эквивалентность .
Поскольку на любом открытом многообразии М существует функция Морса, не имеющая критических точек индекса, большего п — 1, то, ввиду пункта в) предложения 3.4.1 PI доказанного ниже предложения 4.1.2, об щий случай теоремы 4.1.1 сводится к уже рассмотренному случаю эвкли дова пространства .
4.1.2. Обозначим через Ф[М, F], Ф[М, [Я]], Ф[М;Р, Н] топологиче ские пучки на М, относящие открытому U а М пространства T°°([U, F])r
T°([U, [H]]),B(U;F,H) соответственно. Тогда:
а) пучки Ф[Нп,Р], Ф[Нп, [Я]], 0[7? n ;F,#] являются (п—^-гиб кими d-пучкамщ
б) если через А: Ф)[7?п; F, Н) -+- Ф[й п, [Н]] обозначить гомомор физм, определенный формулой: A(U) = ди для всех U czRn, то для лю бого гладкого многообразия М выполнено: дм = ^(А) (М) (обозначения смотри в 3.4) .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Единственное нетривиальное утверждение в 4.1.2 состоит в том, что пучок Ф[Нп; F, Н] является (п — 1)-гибким. Но этот пучок является открытым (потому что Н открыто в [F] гп) и инва риантным относительно действия псевдогруппы SDn подпучком пучка Ф[Л П, F], а пучок Ф\[Нп, F], очевидно, является (п— 1)-гибким (и даже ^г-гибким). Применяя следствие предложения 3.2.2, мы доказываем 4.1-2 .
4.2. Назовем й-иммерсией гладкое отображение /: M-+N, у которого размерность ядра дифференциала в каждой точке m e M не больше к .
Если к = 0, то А-иммерсия есть просто иммерсия .
4.2.1. ТЕОРЕМА. Если М — открытое многообразие, то отображение д: Immk(M,N)-+Ik(T(M)T(N)), относящее гладкому /: М-+N его диф ференциал df: T(M)-^T(N), есть слабая гомотопическая эквивалент ность .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Теорема 4.2.1 есть частный случай теоремы 4.1.1. Действительно, нужно в качестве RL(ri) -многообразия F взять мно гообразие N с тривиальным действием в нем группы RL(n), а в качестве Н — множество линейных отображений Rn -- T(N), у которых ядро имеет размерность, не большую чем к .
ОТОБРАЖЕНИЯ СЛОЕНИЙ В МНОГООБРАЗИЯ
Формулируемое ниже предложение 4.2.2 с очевидностью вытекает из 4.2.1 .4.2.2. Пусть на многообразии М существует г векторных полей, кото рые порождают в каждой точке m ^ M линейное пространство размерно сти, не меньшей чем s. Тогда:
а) если М — открытое многообразие, то существует (п — s)-иммерсия M-+Rr;
б) если М — произвольное гладкое многообразие, то существуют rH r (п — з)-иммерсия M-+R u (n — s + 1)-иммерсия М-+-R .
Рассмотрим теперь погружения M-+RN, у которых не вырождаются высшие соприкасающиеся пространства .
Гладкое отображение М -- RN называется невырожденным до поряд ка г, если в каждой точке m ^ M линейное пространство, порожденное векторами всех частных производных порядков 1, 2,..., г, имеет макси мальную возможную размерность, а именно, размерность В частности, отображение, невырожденное до порядка 1,— это погруже ние; невырожденное до порядка 2 — это погружение, невырожденное по Уитни [см. (13) ] ; погружение R1 -- R3 невырожденно до порядка 3, если кривизна и кручение в каждой точке у полученной кривой отличны от нуля .
Обозначим через Sm*(T(M)) i-ую симметрическую степень касатель ного расслоения Т(М) и докажем теорему существования для невырож денных погружений в RN .
4.2.3. Для того чтобы существовало невырожденное до порядка г ото бражение в RN открытого многообразия М, необходимо и достаточно, что бы существовало такое векторное расслоение а на М, для которого dim а = N — sr(n) и сумма Уитни e...0Smr(r(M)) 0Sm r (r(Af)) а®Т{М) тривиальна .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Сформулированное предположение сведется к теореме 4.1.1, если заметить, что расслоение [Af,7?1]7" (действие RL(n) в R1 тривиально) изоморфно расслоению Sm°(T(M)) © Т(М) 0 Sm2(T(M)) 0... 0 Smr (T(M)) .
4.3. Антиинволюцию / : Т(М)-*Т(М) в касательном пучке многооб разия М размерности п = 2к называют квазикомплексной структурой в М .
Эрмитову форму на М, мнимая часть которой есть (кососимметрическая) замкнутая 2-форма, называют квазикэлеровой структурой .
Кососимметрическую 2-форму яр на М называют невырожденной, если ее внешняя степень (\|;)fe отлична от нуля в каждой точке m e M. Изве стно ( и ), что существование невырожденной 2-формы на М равносильно 720 М. Л. ГРОМОВ существованию квазикомплексной структуры в М; существование симплектической структуры в М, т. е. замкнутой невырожденной 2-формы, равно сильно существованию квазикэлеровой структуры в М .
Обобщенной квазикомплексной структурой в многообразии М размер ности п = 2к + 1 называют разложение касательного пучка в сумму Т (М) = Т' © Z, в которой Тг — комплексный векторный пучок, а I — три виальный одномерный. Контактной структурой в М называют такую 1-форму ц на М, что форма т] Д (dj\)k отлична от нуля в каждой точке (подробности см. в ( и ) ) .
4.3.1. Для того чтобы на открытом четномерном многообразии М су ществовала симплектическая структура, необходимо и достаточно, чтобы на М существовала невырожденная 2-форма .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость очевидна. Для доказательства до статочности рассмотрим кокасательный пучок Т* (М) и положим [М, F] = = Т* (М). В качестве множества Я возьмем множество 1-струй (в нача ле координат пространства Rn) тех 1-форм, дифференциалы которых невырожденны .
Существование невырожденной 2-формы на М с очевидностью влечет существование сечения в расслоении [М, [ Я ] ], а ввиду 4.1.1 — существо вание сечения в [М, F], принадлежащего подпространству В (М; F, Я ) .
Такое сечение — 1-форма т], дифференциал которой невырожден. Форма dv) задает искомую симплектическую структуру в М .
Сопоставляя 4.3.1 с приведенными ранее критериями существования квазикомплексных и квазикэлеровых структур с очевидностью получаем следующее утверждение:
4.3.2. Для существования на открытом многообразии квазикэлеровой структуры необходимо и достаточно, чтобы существовала квазикомплекс ная структура .
Формулируемое далее предложение доказывается так же, как и 4.3.1 .
4.3.3. Для того чтобы на открытом ориентируемом нечетномерном мно гообразии существовала контактная структура, необходимо и достаточно, чтобы в М существовала обобщенная квазикомплексная структура .
4.4. Поле касательных //-плоскостей на гладком многообразии назы вается /ьмерным распределением на М; иными словами, распределение § на М — это ^-мерный подпучок I касательного пучка Т (М). Если М мо жет быть разложено в объединение непересекающихся связных подмного образий (в широком смысле) таким образом, что распределение каса тельно к этим подмногообразиям, то | называется интегрируемым или инволютивным распределением. Для гладкого инволютивного распределения | такое разложение на (интегральные) многообразия-слои единственно и называется слоением, определяемым распределением \ .
Если г\ — распределение на F и р: М -- F — гладкое отображение, то через Dn: T(M)-^T(F) / ц обозначим композицию дифференциала 4.4.1. Для существования трансверсалъного к ц отображения р: M-+F назовем трансверсальным к т), если гомоморфизм D эпиморфен на каж дом слое расслоения Т(М), или, короче, D — эпиморфизм .
ОТОБРАЖЕНИЯ СЛОЕНИЙ В МНОГООБРАЗИЯ
4.4.1 Для существования трансверсального к г\ отображения q: M-^F необходимо и достаточно в случае открытого М, чтобы существовал эпи морфизм Т(М) - T(F) /ц .Д о к а з а т е л ь с т в о. 4.4.1 сводится к 4.1.1, если в качестве [М, F] взять прямое произведение М X F, а в качестве множества Н — множе ство тех линейных отображений Rn-*T(F), для которых композиция Rn -+T(F)-+ T(F) I ц эпиморфна .
З а м е ч а н и е. Если dim ц = О, то предложение 4.4.1 сводится к тео реме Филлипса [см. ( 14 )] .
Основная проблема существования для слоений ставится следующим образом: когда для данного распределения существует гомотопное ему инволютивное распределение '? Если такое | ' существует, то назовем гомотопным слоению .
4.4.2. ТЕОРЕМА. Для того чтобы распределение на открытом много образии М было гомотопно слоению, достаточно, чтобы структурная груп па факторпучка Т (М) / допускала редукцию к конечной группе .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Известно (5), что в тотальном пространстве Y косого произведения с конечной структурной группой существует инволю тивное распределение, ортогональное (относительно некоторой римановой метрики в У) к слоям, на которые разбито Y как тотальное пространство косого произведения. В частности, такое распределение ц существует в тотальном пространстве Y пучка Т{М) /. Из 4.4.1 следует (существова ние эпиморфизма T(M)-+T(Y) /ц очевидно), что существует трансверсальное к ц отображение /: M-+Y. Ясно, что распределение KerZ)™ яв ляется искомым .
Укажем два следствия .
4.4.3. Распределение размерности п — 1 на открытом п-многообразии гомотопно слоению .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Факторпучок Т(М) /g одномерен и поэтому его структурная группа редуцируется к Z2 .
4.4.4. На открытом п-многообразии М, у которого группа к\(М) ко нечна, а группа П2(М) тривиальна, любое (п — 2)-мерное распределение гомотопно слоению .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточно показать, что структурная группа любого 2-пучка на М редуцируется к конечной группе. Не нарушая общ ности, предположим, что — ориентированный пучок. Редукция структур ной группы этого пучка к группе П = п\(М) равносильна тому, что ассо циированное с ним главное косое произведение со слоем 5 1, т. е. элемент группы Hi(M1Si)1 принадлежит образу естественного гомоморфизма г: Нот (И, Sl) -^H^M.S1). Так как П2(М) = 0, то i является изомор физмом .
4.5. Риманово многообразие называется многообразием положительной (отрицательной) кривизны, если кривизны по всем двумерным направле ниям положительны (отрицательны) .
4.5.1. ТЕОРЕМА. На открытом п-многообразии М(п 1) существует риманова метрика как положительной, так и отрицательной кривизны .
2 Известия АН СССР, серия математическая, № 4 722 М. Л. ГРОМОВ Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим точку 0 в пространстве Rn я в ней пространство 7° положительно определенных симметрических тензоров,, пространства 1-струй Р и 2-струй Р таких тензоров. Рассмотрим есте ственные проекции р\\ Р-+Р и р2- Р-+-Р. Каждая из этих проекций есть векторное расслоение. Рассмотрим пространство J+czP(J-CiP) 2-струй тензоров с положительной (отрицательной) кривизной. Сужение я + : Д_^/1(п 2 ~;/^_-71) проекции р2 есть расслоение, каждый слой ко торого есть выпуклое множество (выпуклое подмножество соответствую щего слоя расслоения р*' Р-^ Р) • Поскольку 7° — стягиваемое (выпуклое) пространство, то пространство /+(/-) также стягиваемо; поэтому расслоение [М, [Н]] = [Л/, [J% ([Л/, [Н]] = [М, [Л]]) обладает сечением и, ввиду 4.1.1, существует над лежащее сечение в [М, F] = [М, /°] — метрический тензор положитель ной (отрицательной) кривизны .
Заметим, что не на всяком даже открытом многообразии существует полная риманова метрика положительной (отрицательной) кривизны. На против, хорошо известно (12), что универсальное накрывающее полного многообразия отрицательной кривизны диффеоморфно пространству Rn„ Что же касается случая положительной кривизны, то [см. (10)] любое дву мерное многообразие положительной кривизны диффеоморфно либо сфе ре AS2, либо проективной плоскости P2R, либо плоскости R2 .
§ 5. Слоения
5.1. Пусть S — гладкое (п, к) -слоение на топологическом многообразии М (определение см. в 3.4) .
Если U cz М — открытое множество, то через SLT обозначим сужение»
на U слоения S .
Так же, как для индивидуального ^-многообразия для (тг, к) -слоения S определен /г-мерный пучок Т (S) с базой М — касательный пучок слое ния S .
Пусть ^ — гладкое многообразие. Обозначим через T°°(S, F) простран-;
ство послойно гладких отображений M-*~F, т. е. пространство тех непре рывных отображений M-F, у которых существуют и непрерывны на М производные всех порядков, взятые вдоль слоев слоения S. Обозначим че рез Г°([, F]1) пространство гомоморфизмов T(S)-+T(F) и через d1: Г°°(, F) -Г°([5 Г, F]1) — отображение, относящее.каждому е р е Г°° (S, F) его дифференциал йф. Рассмотрим произвольное подпростран ство Г с Г°([, F]1), полный прообраз 2? = ( # ) - * (Г) и сужение дм' В-^Т отображения d1. Наша ближайшая цель — указать достаточ ное условие для того, чтобы отображение дм было слабой гомотопической эквивалентностью. Для открытых многообразий (т. е. для специальных однослойных слоений) такие условия были указаны в п. 4.1 .
ОТОБРАЖЕНИЯ СЛОЕНИЙ В МНОГООБРАЗИЯ 723
Пространство Г°([, F]1) можно отождествлять с пространством сече ний косого произведения [S.F]1 с базой Л/, слоем [F]х и структурной груп пой RL(n). Слой [F] п образован всеми линейными отображениями про странства Rn в слои расслоения T(F)\ группа RL(ri) действует в [F] естественным образом и расслоение [5, F]l ассоциировано (относительно этого действия) с расслоением T(S) .Rn cz Rn+i Включению соответствует отображение p:[F]n+i-+[F]n* Рассмотрим произвольное подмножество Н cz [F] ^ и обозначим через 2 (Н) максимальное подмножество в р~1(Н), инвариантное относительно действия группы RL (п + 1). Рассмотрим сужение р: 2 (Н) -- Н .
Назовем открытое инвариантное относительно действия RL(n) подмно жество Н cz [F] * инъективным, если отображение р: 2 (И) -- Н есть:
а) расслоение Серра, б) отображение «на» .
Так же, как и в пункте 4.1, через [S, [Н]] обозначим подрасслоение со слоем Н расслоения [S,F]\ а через Г°([5, [Я]]) cz Г 0 ([5, F] 1 ) —про странство непрерывных сечений расслоения [S, [Н]]. Через B(S;F1H) (й 1 )- 1 (Г 0 ([5, [Я]])), обозначим полный прообраз а через дм' B(S; F,H) -*T°([S, [Я]]) —сужение на него отображения d1. Если Д с [F] ^—инъективное подмножество, то пространство B(S; F, Я) на зовем инъективным .
5.1.1. ТЕОРЕМА. Если пространство B(S;F,H) инъективно, то ото бражение дм' В (S; F, Н) -• Г° ([S, [Я] ]) есть слабая гомотопическая эквивалентность .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим сначала тот случай, когда слоение S — эвклидово пространство Rn. Рассмотрим пучки Ф[Я П, [Я]], П Ф[Я, F, Н] (обозначения см. в 4.1.2). Так как й с [F]* — инъективное подмножество, то пучок Ф[Я П+1, F, 2 (Я)] мажорирует (см. 3.3) пучок 0 [ i ? n, F, # ]. Но пучок b[Rn+\F, 2 (Я)] является тг-гибким (см. 4.1.2), следовательно (см. 3.2.1), и пучок Ф[Д П, F, Н] является дг-гибким, а поэто му (см. 3.2.1) гибким пучком. Из 4.1.1 следует, что гомоморфизм А: Ф [ Я П ^, Н] -^Ф[Я П, [Н]] есть ^-эквивалентность .
Обращаясь к произвольному (тг, к) -слоению S на Ж, мы видим, что дм = А%*(А) (М), а из 3.4.1 следует, что Л^(А) есть до-эквивалентность (гибкость пучка Ф[Я П, [Н]] очевидна); тем самым теорема доказана .
Фактически доказано следующее более сильное предложение .
5.1.2. Пучок Ф[5,F, Я ], относящий открытому множеству U cz M про странство B(Su; F,H), является гибким. Гомоморфизм А: Ф[; F, Н] -•
-*• Ф [ ^ [Щ] определенный формулой A(U) = ди'- B(Su\F,-H)-+Г 0 ([5[/[Я]]), есть w-эквивалентностъ .
Обозначим через C°(M,F) пространство непрерывных отображений M-+F и через пм' Г°([5, [Я]]) -С°(Д/, F) — естественно определенную проекцию .
Отображение (р е С0 (М, F) назовем ультрапредельным для множества В a C°(M,F), если для любой, согласованной с топологией в F метрики р на F и любой положительной непрерывной функции а: М - Я1 сущестМ. Л. ГРОМОВ вуьт такое отображение ф ' е Б, что р(ф(т), о/(т)) а (га) для каждой точки т ~ Д/.
Если многообразие М компактно, то ультрапредельные для В отображения — это просто пределы в равномерной топологии отображе ний из В, Иногда термин «ультрапредельный» будем заменять словами:
«Ф допускает аппроксимацию отображениями из В» .
Укажем теперь аппроксимационную теорему для инъективных про странству доказательство которой очевидно следует из 5.1.2 .
5.1.3. ТЕОРЕМА. Если пространство B(S;F,H) инъективно, то каж дое отображение ф е С ° ( М, ^ ), принадлежащее образу отображения л.м* Г°(1«Ь, 1 # ] | ) -+C°(M,F), является ультрапредельным для подмноже ства B(S; F, Н) с: С°(М, F) .
Укажем очевидное следствие .
5.1.-4. Если отображение ям'. Г°([, [Н]]) -* C°(M,F) есть расслоение Серра, P(S;F,H)—инъективное пространство, то отображение ф еС°(А?, F) тогда и только тогда является улътрапределъным для B(S; F, /7), когда ф гомотопно некоторому элементу g ^B(S; F, H) .
5.2. Пусть — распределение па гладком многообразии F, т. е. под пучок g касательного пучка T(F). Если S — гладкое (п, к)-слоение на Ж, то послойно гладкое отображение ф: М - F назовем трансверсальным относительно S,, если композиция T(S) -- T{F) -- T(F) /g мономорфна на каждом слое расслоения Т (S) .
В частном случае, когда dim | = 0, условие трансверсальности обозна чает, что сужения отображения ф на слои слоения S суть погружения .
Такие отображения мы будем далее называть 5-погружениями .
Если S — многообразие (однослойное слоение), то трансверсальное от носительно S, отображение М -• F мы будем для к] аткости называть g-трансверсальным .
Обозначим через I(S, ) пространство отображений M-+F, трансверсальных относительно S, .
Если а, р — векторные расслоения, то через г (а, р) обозначим про странство гомоморфизмов а - р, мономорфных на каждом слое расслое ния а .
Полагая D(q) = pd^ получаем отображение D: /(S, ) ~ i(T(S)t T(F)/l) .
5.2.1. ТЕОРЕМА. Если п = dimS dimF — dim g, то D есть слабая гомотопическая эквивалентность .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Обозначим через Н пространство тех линейных отображений Rn-+T(F), для которых композиция Rn -- Т (F) -- Т (F) / мономорфна. Ясно, что B(S; F, Н) = I(S, ). Кроме того, естественно опре делена проекция р: T°([S, [Н]]) — *(Г(),Г(^) / ), которая есть елаА бая гомотопическая эквивалентность, причем D = рдм, где дм: В (S; F, Н) - Г° ([S, [Н] ] ). Очевидно, что при п dim F — dim | пространство В (S; F, Н) инъективно, так что теорема 5.2.1 следует из 5.1.1 .
ОТОБРАЖЕНИЯ СЛОЕНИЙ В МНОГООБРАЗИЯ
Аналогичным образом, применяя теорему 5.1.3, устанавливаем следую щий факт .5.2.2. ТЕОРЕМА. Если dim S dim F — dim g, то непрерывное отображение р: M-^F допускает аппроксимацию отображениями, трансверсалъными относительно S, | тогда и только тогда, когда ф гомотопно неко торому отображению g e / (, ) .
Если dim = 0, codim S = 0, то теорема 5.1.3 превращается в теорему Хирша (7) об аппроксимации непрерывного отображения погружениями .
Сформулированные далее предложения 5.2.3—5.2.7 с очевидностью вы текают из теорем 5.2.1, 5.2.2 .
5.2.3. Для существования S-погружения ф: M-+F, гомотопного дан ному непрерывному отображению g: M-^F, при dim S dim F необхо димо и достаточно, чтобы существовало такое векторное расслоение а на М, 4Toa®T(S) =g\T(F)) .
5.2.4. Пусть на гладком многообразии М гладко действует без непо движных точек группа R1. Тогда существует гладкое отображение ф: M-^R2, сужение которого на каждую траекторию есть погружение .
5.2.5. Для любого (п, к)-слоения S на стягиваемом многообразии М существует S-погружение М -• Дп+4 .
5.2.6. Если существует хотя бы одно S-погружение g: М -Дя, т0 при dim S q любое непрерывное отображение ф: M-^R^ можно аппрокси мировать S-погружением .
5.2.7. Пусть М, F — гладкие многообразия, | — распределение на F, а — такое векторное расслоение р: X — F, что сумма Уитни а © | — тривиальное расслоение. Пусть к = dim |, I = dim а и dim М dim F — &, Z dimilf. Если ф: М-^Х— погружение, то для того чтобы отображение рхр: М -- F было гомотопно \-трансверсальному отображению, необходимо и достаточно, чтобы в нормальном пучке многообразия М czX существо вало (к + I) -реперное поле .
Пусть — распределение на компактном ориентированном тг-мерном многообразии F. Назовем класс гомологии х е Hi (F) допускающим
-трансверсальную реализацию, если существуют гладкое ориентированное г-мерное многообразие X и g-трансверсальное отображение /: X-+F, пе реводящее фундаментальный класс многообразия X в х .
Если а — векторное расслоение на многообразии F, то обозначим через Fa пространство Тома этого расслоения; если х е Hi (F), то через ха обо значим класс когомологий из группы Hn~i+dima(Fcc, Z), полученный из класса х применением двойственности Пуанкаре и изоморфизма Тома .
Из 5.2.7 с очевидностью вытекает 5.2.8. ТЕОРЕМА. Для того чтобы класс х е Hi (F) допускал %-трансверсалъную реализацию, необходимо и достаточно при п — i k = dim, чтобы для векторного расслоения а размерности, большей чем i, такого, что сумма Уитни а Ф тривиальна, класс когомологий ха был реализуем (в смысле Тома (18)) относительно группы SO(n — k — i) .
С л е д с т в и е. Для любого х ^ Hi (F) при к п — i существует такое 726 М. Л. ГРОМОВ натуральное ш, зависящее только от dim F, что класс тпх допускает \-трансверсальную реализацию .
Частный случай теоремы 5.2.8 для dim = О (т. е. для погружений) был установлен в (19) .
Если распределение на F инволютивно и, следовательно, определяет некоторое слоение Т на F, то введенное понятие трансверсальности ото бражений M-+F относительно S, можно распространить на непре рывные (не обязательно гладкие вдоль слоев слоения S) отображения M-+F .
Пусть S, Т — слоения на многообразиях М и N. Отображение / : M-+N называется топологически трансверсальным относительно S, Т, если для любых двух слоев s cz М и t cz N и любых двух точек jn e s и v. G i найдутся такие их окрестности U^czs и UvCit, что пересечение /~1(C/V) П Up. состоит не более, чем из одной точки .
5.2.9. ТЕОРЕМА. Если слоение Т задается распределением \на М и — dim М codim Т — dim, то отображение /: M-+N, топологически трансверсальное относительно S, Т, допускает аппроксимацию отображе нием, трансверсальным относительно S, .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Обозначим через (Г()) 2, (Г(7У)/) 2 пучки сфер, соответствующие расслоениям Т (S), Т (TV) / g. Из существования отображения /: M-*~N, топологически трансверсального относительно S, Т, следует существование послойного симметрического отображения (T(S))*-+(T(N) /I)*. Но поскольку - ^ d i m M dim (T(N) /I) — — dim T (S), то [см. (6) ] существует (послойно линейный) гомоморфизм Т (S) -*T (N) I g, так что для доказательства 5.2.9 остается применить 5.2.1, 5.2.2 .
Для погружений это рассуждение принадлежит Хиршу — Хефлигеру и содержится в ( 6 ) .
Докажем теперь для гладкого слоения S, определяемого распределе нием т] на гладком многообразии М, и распределения \ на F аналог пунк та б) предложения 4.2.2 .
5.2.10. Если существует гомоморфизм 6: r\-+T(F) 1\ (заметим, что ц = T(S)), размерность ядра которого в каждой точке m e M равна р, то:
а) при р dim S — dim(T(F) /g) существует гладкое отображение f: M-+F, у которого гомоморфизм Df\ T(S) -*T(F) /g имеет в каждой точке тп е М размерность ядра, не большую чем р;
б) при р = dim S — dim (T(F) / g) существует гладкое отображение /: M-+F, у которого гомоморфизм Df имеет в каждой точке размерность ядра, не большую чем р + 1 .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Если а — распределение на многообразии Л, в котором введена риманова метрика, то через а обозначим распределе ние размерности dim A — dim а, образованное плоскостями, ортогональны ми плоскостям распределения а. Если а и р — распределения на много образиях А и В соответственно, то через а + р обозначим распределение
ОТОБРАЖЕНИЯ СЛОЕНИЙ В МНОГООБРАЗИЯ
па прямом произведении А X 5, представляющее собой внешнюю сумму Уитни распределений а и р .Перейдем непосредственно к доказательству. Будем предполагать, что в М введена какая-нибудь риманова метрика. Обозначим через у распре деление (размерности р) на М, являющееся ядром гоморфизма 6. Рас смотрим распределение сс = \ + 5 н а М Х ^ \ Обозначим через зт: ц -+•
-*- Т (М) I у композицию включения т] -- Т (М) и проекции Т (М) -Г (Ж) / Y- Рассмотрим гомоморфизм h = б X я : т]-- ^(F) + + Г(М) / 1 + Y = r ( F ХМ) / а. Ясно, что hezi(r\,T(F ХМ) / а ) .
Рассмотрим случай а). Неравенство р dimS — dim (^(F) /5) влечет неравенство dim и dim ( r ( F X M) / а ), так что, применяя 5.2.1, видим, что существует послойно гладкое отображение f :М-+М X F, трансверсальное относительно S, а. Аппроксимируем это отображение гладким отображением /": М -+ М X F, трансверсальным относительно S, а, и рас смотрим композицию отображения /" и проекции р: М X F -+F. Получен ное гладкое отображение / = р/": M-+F является искомым .
Для доказательства пункта б) нужно предварительно умножить мно гообразие М X F на прямую Rx и провести рассуждения, аналогичные предыдущему .
5.3. Пусть F — квазикомплексное многообразие комплексной размерно сти m со структурной антиинволюцией /; T(F)-+T(F). Гладкое погру жение ф: M-+F назовем вещественным погружением, если для любого слоя То^Т(М) выполнено dim (йф(Го) []1(^(То))) = 0. Обозначая че рез Нп множество тех мономорфизмов \х: Rn-+T(F) (п = dimM), для которых dim (Im (u.) iHiXIra (м,))) = 0 ? ВИДИМ (обозначения см. в 5.1), что пространство вещественных погружений M-+F совпадает с простран ством В (М; F, Нп) .
Замечая, что Hn+i = 2(Я П ) и что при m n проекция Нп+1-+Нп, «отвечающая включению Rn-*Rn+i, есть отображение «на», заключаем, что пространство вещественных погружений M-^F при п т инъективно.
Таким образом, применяя 5.1.1, немедленно получаем следующее утверждение:
5.3.1. Пространство вещественных погружений M-+F при п m слаSo гомотопически эквивалентно пространству вещественных гомоморфиз мов T(M)-*T(F), т. е. пространству непрерывных сечений расслоения [М, [ # п ] ]. {Разумеется, предложение остается в силе для любого п-мерного слоения.) 5.3.2. С л е д с т в и е. Если тп и на многообразии M{Aim.M=n) существует такой комплексный (пг — п)-мерный пучок а, что его сумма Уитни с комплексификацией СТ(М) пучка Т(М) тривиальна, то любое непрерывное отображение М-^СШ можно аппроксимировать веществен ным погружением .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Существование пучка а с указанным свойством равносильно существованию (комплексного) гомоморфизма г: СТ(М) Т (Ст). Сужение г на Г (М) есть вещественный гомоморфизм Т (М) Т(Ст), так что 5.3.2 следует из 5.3.1 и 5.1.4 .
728 М. Л. ГРОМОВ
Последовательность Xi -- Х2 -• Х3 топологических пространств и непрерывных отображений назовем /-последовательностью (расслоенной последовательностью), если для любой деформационной пары (К,Ь) и любых непрерывных отображений g1: L-^Xh g2: K-^Хч таких, что Ф!^ =gL(gb— сужение g на L), существует такое (накрывающее) отображение gi:K-^X\, что gLl = g1, Фгф^1 = фг^2 .
П р и м е р. Если одно из отображений ф1? ф2ф1 есть расслоение Серрау Ф1 Ф2 Г
назовем точной, если для каждой пары таких непрерывных отображений hi: K-+-Yi, Ьг\ K-*Xi+i, что tM&i = j^+i/ta, существует и единственно такое непрерывное отображение h = h\ X h2: K-^Xi, что pih = h2, p{h = h± .
Диаграмму D= [(Xi, p*), pu (Yu 4г)] назовем точной, если каждая, ее поддиаграмма вида (*) точна .
Очевидные доказательства приводимых далее предложений 6.2.1—6.2.5 мы опускаем .
6.2.1. Если в точной диаграмме D = Р: S -- Т строка Т есть ^последо вательность, то и строка S есть ^-последовательность .
6.2.2. Если в пространствах, составляющих точную диаграмму D = Р:
S-^T отмечено по точке, то диаграмма QD = QP: QS-+QT является точной .
6.2.3. Рассмотрим непрерывное отображение /: X-+Y. Пусть в каждой компоненте линейной связности пространства X отмечено по точке #ь Х2,..., Xk,.... Набор гомоморфизмов / Д : tti(X, хи) -%(У, f(xk)) обозначим через/i*. Будем говорить, что /1# эпиморфно (мономорфно), если все гомоморфизмы fuk эпиморфны (мономорфны) .
6.2.4. Если заданы непрерывное отображение /: Х- У, точки х±,Х2 ^ Е Х И пусть ЦУ*У2 в пространстве У, соединяющий точки у\ = f(x\) и г/2 = == /(#2), то назовем путь П*1*2 в X параллельным пути П*^2, если пути /(П*1*2) и ПУМ ГОМОТОПНЫ В У .
Если отображение /о*: По(Х) -^яо(У) взаимно однозначно, а /и эпи морфно, то для любого пути П^2 в Y(y± =* /(#i), уг = /(#г)) существует параллельный ему путь в X .
Назовем /-диаграммой fc-го порядка (к ^ 3 — натуральное число) точ ную диаграмму [(Хи рг), ph (У*, ypi)], i = 1,..., &, строки которой суть /-последовательности .
6.2.5. Рассмотрим комплекс К, подкомплекс La К, /-диаграмму [ (Хг-, ф;), р^ (Уг, tyi) ], два непрерывных отображения А4: К -- У,-, /гг: X—-Хг(1 ^ / г) и такую гомотопию Г*: 7-- У*, неподвижную на L, что Го = я|) г -1.. :^jhh Ti = pilm. Пусть Г* — такая (накрывающая) гомотопия в Yj, неподвижная на L, что Го = h± и ф г + 1...tyj(Tt) = я|)*+1Гг (существование такой гомотопии следует из определения /-последователь ности). Обозначим через Ti(hi) X h^: K-^Xj отображение, определенное формулой;
Ti(hi)xht = r1 * *,A, .
л г+1 6.2.6. Пусть дана f-диаграмма [(Х{,рг-),pi/(Yi,tyi)], г = 1, 2, 3, две точки х1, х2^Х\ и такие пути И\: [О, 1]--У1, П2: [О, 1]-Х 2, соеди няющие точки Pt(xl), piix2) и точки ^i(xi),(fi(x2) соответственно, чтопути ^\Л\ и р2^2 гомотопны в Уг. Тогда точки х1, х2 соединимы путем вХ± .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Путь П = Г 1 (П1)ХП 2 (см. 6.2.4.), где Г*— деформация, соединяющая пути ^ Щ и ^Пг, является искомым .
730 М. Л. ГРОМОВ
6.2.7. Пусть задан такой морфизм
(Д g{) : [(Хг, ф0, А, (Уг, %)] - [(Хг', ФО, р г (У г, *;] f-диаграмм, что отображения f^ gj# взаимно однозначны, /* м '*ф эпиморфны, a gj* мономорфно (см. 6.2.3). Тогда /J* —взаимнооднознач ное отображение .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть ж1, я 2 е Х4 — точки, образы которых в X соединимы путем П. Рассмотрим пути lit в Y± и Пг в Хг, параллельные путям рА(П) и Ф1(П) соответственно. Ясно, что к П± и П2 применимо (6.2.6). Доказательство закончено .
6.2.8. Пусть задан такой морфизм (A g*): [(X,, ф 1 ), А, (У ь ^ ) ] — [(Х,\ Ф1), А \ (У{, Ч*)1 f-диаграмм 4-го порядка, что отображения f* gj# — отображения «на», a -|* (см. 1.2.3.) эпиморфно. Тогда ц — отображение «на» .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть хгЕЕXi — произвольная точка. Ясно, что существуют такие точки х2 ЕЕ Х 2, 2/i 6= Ух, что точки ф^ (я'х), / 2 (#2) соедини мы путем П2 в Х2, а точки gx(y\), Pi(#i) — путем Пх в У^. Проведем в У2 путь Г, параллельный произведению я^ (Пх)©р2(П2). Рассмотрим (одното чечный) образ Xi отображения Г 4 (|у ± |) X | # 2 | ), где через \у\\, \хг\ обозначены включения «стандартной точки» в пространства Ft, Хг. Для завершения доказательства нужно проверить, что точки Р(х\) и х'г соеди нимы путем. Это легко установить, применив (6.2.6) к диаграмме
6.2.9. П р е д л о ж е н и е. Если заданы f-диаграммы D, D' 4-го порядка и такой морфизм (f{g{) : / - / /, что отображения Р, g1, g2 суть слабые го мотопические эквивалентности, то и /* есть слабая гомотопическая эквива лентность .
Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу (6.1.1) и (6.2.2) достаточно показать, что отображение /J* взаимно однозначно и «на», но это немедленно следует из (6.2.7) и (6.2.8) .
6.2.10. Для любой /-диаграммы [(Хг, ф г ), ри (Yu я|)г)] 4-го порядка су ществуют естественные (относительно морфизмов диаграмм) гомоморфиз мы dj: ПДУг) -- Uj-\(X\), обладающие следующими свойствами (обоб щающими свойства точности гомотопической последовательности для рас слоений) :
Im dj = Кег (ф0 # П Кег Q?i)„
ОТОБРАЖЕНИЯ СЛОЕНИЙ В МНОГООБРАЗИЯ 731
где & — фиксированная точка, грг, ^з — тождественные отображения). По о скольку эти свойства /-диаграмм в дальнейшем использоваться не будут, то доказательство (совершенно тривиальное) мы опускаем .
6.3. Если дана последовательность S = (Х{, фг), то через S мы будем обозначать проективный предел lim Xi, через ср*: S -~Xi+\ — проективный предел отображений фг, фг-ь Если задан морфизм Р = (р^ : - Т, то через Р : S - Г обозначаем проективный предел отображений р* .
Очевиден следующий факт:
Ф1 Фг 6.3.1.
Пусть дана /-последовательность Х^-^Хъ-ь-Х^ путь И\:
| 0, 1\-+Х\ и параллельный ему путь Пг : [0, 1]-Хг. Тогда существует такой путь III: [0, 1] —*Х\, гомотопный пути Пь что Ф2Ф1П1 = фгПг .
6.3.2. Пусть дана диаграмма [ (Хг-, фг), Ри (Yh *фг) ], i = 1, 2, 3, где стро ки суть /-последовательности, отображение {р\)о* взаимно однозначно, (р\)и эпиморфно, (р2)\* мономорфно. Пусть в пространствах Х{, Y{ согла сованным образом выбрано по паре точек х\, х\ e l i, г/г-, y\ e Yim Если III: [0, 1] -*• Fi, П2: [О, 1] -Хг — такие пути, соединяющие выбранные точки, что путь Пг параллелен ty\Hi, то существует такой путь Ш :
[О, 1] — ~ \ параллельный Пь что Ф2Ф1П1 = Ф2П2 .
* Х, Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим произвольный путь И[ : [0, 1] -•Х\, параллельный пути Пь Ясно, что он параллелен также пути Пг и, приме няя к П[ утверждение (6.2.4), мы строим искомый путь Пь 6.3.3. Пусть дана диаграмма [(Xi, фг), pi, [Y{, % ) ], i = 1, 2, 3, 4, где (pi)o* — отображение «на», (р2)о* взаимно однозначно, (^2)1* эпиморфно .
Пусть Х2 е Х2 гг г/i е Yi — такие точки, что точки tyi{yi) ^ ^2(^2) соедини мы путем Пг в У2. Тогда существует такая точка х\ e l j, чго ф1ф2(^0 = = ф2(^2), и точки Р\(х\), у\ соединимы таким путем Пь что г ^ з ^ П ! = = г|)2^1П2 .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть Х[ЕЕХХ — такая точка, что точки Pi{x'i)r Ух соединимы путем П1# Соединим точки qi{x'i), х2 путем П?
параллельным произведению ^ ( П ^ - Щ. Построим путь П^: [0, 1]—Xlf выходящий из х{ и накрывающий путь Щ. Легко видеть (применяя ФгФх Фз 6.2.4 к последовательности Ух Y^-Y^), что второй конец хг^ Хг лути П2 является искомой точкой .
732 М. Л. ГРОМОВ 6.3.4. П р е д л о ж е н и е. Если задан такой морфизм Р= (р^ :S-^Tf где S, Т суть f-последователъности, что все отображения р^ — слабые гомо топические эквивалентности, то и отображение Р: 3 ~ Г есть слабая гомо топическая эквивалентность .
Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу (6.1.1) и очевидного равенства Q(S) — = Q(3), достаточно показать, что отображение (Р)о* взаимно однозначно и «на» .
Покажем, что (Р)о# взаимно однозначно. Пусть s, s i G J - такие точки, что точки P(s), P(s\) соединимы путем П в Г. Из (6.3.2) следует, что су ществует такая последовательность путей Пг: [0, 1] -А~_г-, соединяющих точки tjLtf-i(s), $__i_i(si), что ф-г(Пг) = ф-гф-г-1 (Пг+i). По определению проективного предела, такая последовательность путей определяет путь 3,, соединяющий s и s\ .
Доказательство того, что (*)о* есть отображение «на», проводится ана логично с использованием (6.3.3) .
пара. Но парами такого вида можно аппроксимировать любую компактную пару в ! Х /, и ввиду 2.2.3 предложение доказано .
Д о к а з а т е л ь с т в о п р е д л о ж е н и я 2.4.2. Ввиду 2.3.1, 2.4.1, до статочно рассмотреть лишь тот случай, когда Y есть интервал / = [О, 1] .
Ясно, что если подмножество U a Y X I имеет вид U = V X Г, где V — открытое множество в X, а Г — открытый в / интервал, то отображение ty1 (U) есть слабая гомотопическая эквивалентность. Применяя 2.4.1 и 7.2.2, мы получаем, что if)1 есть с-эквивалентность, а следовательно, и до-эквива лентность .
Предложение 2.4.2 можно уточнить. Поскольку соответствующее ут верждение не используется, приведем его без доказательства .
7.2.3. Если гомоморфизм г|) есть с-эквивалентностъ, a Y есть топологи ческое многообразие, то \|)Y есть с-эквивалентность .
Поступило
8.VII.1968 ЛИТЕРАТУРА C h e r n S. S., K u i p e. r N. Н., Some theorems on the isometric imbedding of compact Riemann manifolds in euclidean space, Ann. Moth., 56 (1952), 422—437 .
Г о д е м а н Р., Алгебраическая топология и теория пучков, М., ИЛ, 1959 .
G r a y S. W., Some global properties of contact structures, Ann. Math., 69 (1959), .
512-540 .
H a e f l i g e r A., Structures feuillietees et cohomologie a valeur dans un fauscean de groupoides, Comm. Math. Helv., 32 (1958), 248—329 .
H a e f l i g e r A., H i r s c h M., Immension in the stable range, Ann. Math., v. 75,, № 2 (1962), 231—241 .
H a e f l i n g e r A., Varietes, feuilletes, Ann. Ec. Norm., S. Pisa, Ser. 3, 16, № 4 (1962), 367-397 .
H i r s c h M., Immersions of manifolds, Trans. Am. Math. Soc, 93 (1959), 242—276 .
H i r s c h M., On embedding differentiable manifolds in Euclidean space, Ann. Math., .
73 (1961), 566—571 .
K o b a y a s h i S., N o m i z u K., Foundations of differental geometry, Wiley (Interscience), New York, vol. 1, 1963 .
К о н - Ф о с с е н С. Э., Некоторые вопросы дифференциальной геометрии в це лом, М., Физматгиз, 1959 .
Л и х н е р о в и ч Л., Теория связностей в целом и группы голономий, М., ИЛ, 1960 .
М и л н о р Дж., Теория Морса, М., «Мир», 1965 .
N a s h J., Imbedding of Riemannian manifolds, Ann. Math., v. 63, № 1 (1956), 20—63 .
P h i l l i p s A., Submersions of open manifolds, Topologie, v. 6, № 2 (1967), 170— 206 .
P o e n a r u V., Sur la theorie des immersions, Topologie, 1 (1962), 81—100 .
S m a l e S., The classification of immersions of spheres in Euclidean spaces, Ann .
Math., 69 (1959), 327-344 .
С п а н и е р В., У а й т х е д Дж., Теория носителей и ^-теория, «Математика», 3 : 1 (1959), 27-56 .
Т о м Р., Некоторые свойства в целом дифференцируемых многообразий, сб. переводов «Расслоенные пространства», М., ИЛ, 1958 .
W e l l s R o b e r t, Cobordism groups of immersions, Topologie, 5, № 3 (1966), 281-294 .
W h i t e h e a d J., Simple homotopy types, Amer. J. Math., 72 (1950), 1—57 .
W h i t n e y H., On regular cloissed curves in the plane, Composite Math., vol. 4*