WWW.NEW.Z-PDF.RU
БИБЛИОТЕКА  БЕСПЛАТНЫХ  МАТЕРИАЛОВ - Онлайн ресурсы
 

Pages:   || 2 |

«РАЗНОСТНЫХ СХЕМ ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА». ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ МОСКВА 197 3 5f8~ С 17 УДК 517.949.^ Устойчивость ...»

-- [ Страница 1 ] --

А. А. САМ АРСКИЙ, А. В. ГУЛИН

УСТОЙЧИВОСТЬ

РАЗНОСТНЫХ СХЕМ

ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»

. ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

МОСКВА 197 3

5f8~

С 17

УДК 517.949.^

Устойчивость разностных схем. А. А. С а м а р

с к и й, А. В. Г у л и н, Главная редакция физикоматематической литературы изд-ва «Наука», М., 1973 .

В книге излагается теория устойчивости разностных схем, рассматриваемых как операторно-разностные уравнения в гильбертовом пространстве. Получены необходимые и достаточные условия устойчивости двухслойных и трехслойных разностных схем общего вида и рассмотрены многочисленные приложения теории к конкретным разностным схемам, аппроксими­ рующим задачи математической физики .

Книга рассчитана на специалистов в области вычислительной математики, аспирантов и студентов физико-математических факультетов, Библ. 295 названий .

© Издательство «Наука», 1973 .

0 2 2 4 -1 8 3 8 042 (02)-73 d ОГЛАВЛЕНИЕ П р еди сл ов и е

Основные обозначения, принятые вк н и г е

В в еден и е

Глава /. Разностные с х е м ы

§ 1. Примеры разностных аппроксимаций

1. Обозначения (18). 2. Аппроксимация простейших дифференциаль­ ных выражений (19). 3. Аппроксимация краевых задач для уравнения второго порядка (21). 4. Случай цилиндрических и сферических ко­ ординат (24). 5. Краевая задача для уравнения четвертого порядка (26) .



§ 2. Свойства некоторых разностных операторов

1. Линейные операторы в нормированных пространствах (29). 2. Опе­ раторы в гильбертовом пространстве (30). 3. Некоторые разностные тождества и неравенства (34). 4. Оператор второй разностной произ­ водной (37). 5. Третья краевая задача (40). 6. Разностные опера­ торы первого порядка (42). 7. Разностные операторы четвертого порядка (47). 8. Случай комплексных пространств сеточных функ­ ций (51). 9. Функции разностных операторов (53) .

–  –  –

устойчивости разностных схем в действительном гильбертовом про­ странстве (103). 4. Случай несамосопряженных операторов (107) .

5. Метод энергетических неравенств (109). 6. Перестановочные опера­ торы (111). 7. Схема с весами (113). 8. Устойчивость разностных схем в комплексном гильбертовом пространстве (115). 9. Устойчивость раз­ ностных схем с переменными операторами (122) .

§ 3. Примеры исследования устойчивости разностных схем... .

1. Общие замечания (129). 2. Разностные схемы для уравнения тепло­ проводности (130). 3. Уравнение теплопроводности с переменными коэф­ фициентами (138). 4. Уравнение теплопроводности в цилиндрических и сферических координатах (142). 5. Разностные схемы для уравнения переноса. Задача Коши (145). 6. Краевая задача для уравнения пере­ носа (150). 7. Замечания (155) .

Глава I I I. Устойчивость двухслойных разностных схем по правой части § 1. Априорные оценки для двухслойных разностных схем... .

1. Сведение схемы общего вида к явной схеме (158). 2. Метод выделеления стационарных неоднородностей (161). 3. Схемы с весами (164) .

4. Метод энергетических неравенств (169). 5. Примеры исследования сходимости разностных схем (177) .

–  –  –

§ 3. Другие методы исследования устой ч ивости





1. Метод разделения переменных (194). 2. Асимптотическая устойчи­ вость (201). 3. Пример асимптотически устойчивой схемы (205) .

4. Другие априорные оценки (208). 5. Замечания и примеры (214) .

Глава IV. Устойчивость многослойных разностных с х е м

§ 1. Достаточные условия устойчивости и априорные оценки для трехслойных разностных с х е м

1. Пространство Нт (218). 2. Определение устойчивости многослойной разностной схемы (220). 3. Линейные операторы в пространстве Я 2 (221). 4. Исследование устойчивости трехслойных разностных схем методом энергетических неравенств (224). 5. Представление трехслой­ ной схемы в виде двухслойной (227). 6. Достаточные условия устой­ чивости трехслойных разностных схем (230). 7. Устойчивость в более простых нормах (233). 8. Устойчивость по правой части (236). 9. Трех­ слойные схемы с весами (238). 10. Примеры трехслойных разностных схем (241) .

–  –  –

Область применения численных методов в настоящее время стре­ мительно расширяется, охватывая основные разделы физики и тех­ ники. Для описания большинства физических процессов используют­ ся те или иные математические модели, обычно представляющие собой дифференциальные уравнения в частных производных (урав­ нения математической физики) .

Для решения на быстродействующих цифровых вычислитель­ ных машинах уравнений математической физики широко применяет­ ся метод конечных разностей .

Опыт численного решения сложных задач физики и техники сти­ мулировал постановку ряда теоретических проблем, вызвал по­ требность глубокого изучения машинно-ориентированных числен­ ных методов .

От теории разностных схем естественно требовать, чтобы она была достаточно общей (т. е. не зависела от конкретного вида раз­ ностных операторов, а использовала лишь их функциональные свойства) и эффективной, т. е. удобной в применении к конкретным разностным схемам .

Проведение численных экспериментов предъявляет к разност­ ным методам ряд жестких требований, таких, например, как доста­ точная точность, устойчивость схемы, экономичность по числу дей­ ствий. Поэтому от теории разностных схем требуется формулировка простых правил построения схем заданного качества. Чтобы полу­ чить схему требуемого качества, надо задать исходное семейство схем, в котором осуществляется выбор. Прежде всего надо дать опре­ деление объекта исследований, т. е. разностной схемы. От этого понятия зависит выбор средств исследования. Мы определяем раз­ ностную схему либо как семейство операторных уравнений (что яв­ ляется аналогом стационарных задач математической физики), зависящих от параметра («шага» сетки), либо как семейство опера­ тор но-p аз ностных схем, которые являются разностными по t урав­ нениями с операторными коэффициентами. Операторно-разностные схемы являются аналогами нестационарных уравнений матема­ тической физики. Исходное семейство схем задано, если заданы ко­ эффициенты схемы как операторы, действующие в некотором аб­ страктном пространстве .

ПРЕДИСЛОВИЕ 7 Одним из основных вопросов теории разностных схем является устойчивость. Известно, что разностные схемы, соответствующие корректно поставленным задачам математической физики, могут быть неустойчивыми. Поэтому отыскание классов устойчивых схем является важной теоретической проблемой. Эти классы определены, если выполнены достаточные условия устойчивости .

Данная книга посвящена систематическому изложению теории устойчивости разностных схем. Отправным пунктом излагаемой тео­ рии является признание того факта, что устойчивость есть внутрен­ нее свойство схемы, не зависящее от таких свойств, как аппрокси­ мация и сходимость. Поэтому устойчивость можно изучать незави­ симо от сходимости .

В основу настоящей книги положена концепция устойчивости, предложенная в работах А. А. Самарского [12], [17], [18] и разви­ тая в последующих работах А. А. Самарского и А. В. Гулина. Ана­ логичное изложение некоторых принципиальных вопросов теории устойчивости разностных схем имеется также в книге А. А. Самар­ ского [23] .

Основное внимание в книге уделяется изучению устойчивости линейных двухслойных и трехслойных операторно-разностных схем .

Полученные необходимые и достаточные условия устойчивости пред­ ставляют собой линейные операторные неравенства, удобные для проверки в случае разностных схем, порожденных уравнениями в частных производных. Эти условия устойчивости выделяют из ис­ ходного семейства классы устойчивых схем. Поиск схем нужного качества можно вести в классе устойчивых схем. Следствием теории устойчивости является метод регуляризации в классе устойчивых схем для отыскания схем заданного качества .

Существенную роль в теории играет каноническая форма записи схем. Отметим, что в этой же форме записываются итерационные схемы для решения операторных уравнений. Это позволяет строить теорию итерационных методов как раздел теории устойчивости опе­ раторно-разностных схем .

В книге используются лишь элементарные понятия функцио­ нального анализа и линейной алгебры, такие как норма оператора, сопряженный оператор, операторное неравенство и т. п. Так, не используется спектральная теория операторов. Основным инстру­ ментом исследования устойчивости является аппарат операторных неравенств и априорных оценок в гильбертовом пространстве .

В книге уделяется большое внимание примерам применения общей теории устойчивости к многочисленным конкретным схемам;

эти примеры демонстрируют эффективность теории .

Следует отметить, что изучению устойчивости разностных схем посвящено значительное количество работ, в которых предлагаются различные определения устойчивости, используются различные Математические средства и получены многочисленные трудно ПРЕДИСЛОВИЕ сопоставимые результаты. Укажем, например, книги В. С. Рябень­ кого и А. Ф. Филиппова [1], Р. Рихтмайера и К. Мортона [1], С. К. Годунова и В. С. Рябенького [1], в которых рассматриваются вопросы устойчивости и приведена соответствующая литература .

Для чтения данной книги желательно знакомство с элементами теории разностных схем (например, в объеме первых двух глав книги А. А. Самарского [23]). Предполагается также, что читатель знаком с постановками типичных задач математической физики, например, в объеме книги А. Н. Тихонова и А. А. Самарского [5]. Необходи­ мые сведения из функционального анализа можно найти в первых главах книг J1. В. Канторовича и Г. П. Акилова [1] и J1. А. Люстерника и В. И. Соболева [1] .

Авторы выражают благодарность И. В. Фрязинову за обсужде­ ние ряда вопросов, связанных с проблематикой этой книги .

А. А. Самарский, А. В. Гулин

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ, ПРИНЯТЫЕ В КНИГЕ

–  –  –

Q — множество функций, заданных на некоторой сетке щ и обращающихся в нуль на ее границе, Я — гильбертово пространство, Я х ф Я г — прямая сумма пространств Н± и Я 2, Я 2= Я ® Я, (у, v) — скалярное произведение элементов у, v Я, Е — единичный оператор, А: Я х — Н ^— линейный оператор Л, действующий из пространства Н\ • в пространство Я 2, Л*"1— оператор, обратный оператору Л, А* — оператор, сопряженный оператору Л, Л0 = Re А = 0,5 (А-{- А*) — симметрическая составляющая оператора Л, А г = 0,5 (Л — Л*)— кососимметрическая составляющая оператора Л, д _А* Л1= 1 ш Л = — —------- мнимая составляющая оператора Л (в случае ком­

–  –  –

Сделаем некоторые предварительные.замечания^ поясняющие постановку вопроса об устойчивости разностных схем. Пусть в области G изменения переменных х 1г..., х„ требуется найти решение и = и (х ) линейного дифференциального уравнения Lu (^) f (х)t х (^1» ^21 • • •» ^л) С( удовлетворяющее дополнительным (граничным, начальным) усло­ виям 1и(х) = ц(х), * 6 Г, (2) где Г — граница области G, f (х), ц (х) — заданные функции (входные данные задачи ( 1), (2)) .

Чтобы перейти к разностной схеме, прежде всего заменяют область G-j-Г дискретным множеством точек (узлов) соА, которое называется сеткой. Плотность распределения узлов характери­ зуется параметром /гили несколькими параметрами hlt h2,..., hm, так что можно считать h вектором. Чем меньше | / г | 0 — норма вектора h, тем гуще сетка. Производные, входящие в (1), (2), заменяются некоторыми разностными отношениями на сетке соА .

В результате получается система алгебраических (разностных) уравнений М л ( * ) = Фй(*). 1 н (х)=%н (х), x y h, (3) нУ где А— множество внутренних узлов, уЛ— множество граничных о узлов сетки, (oh + y/t = (oh, yh (x), А(х), y h (х)— сеточные функ­ р ции, Lh и /А— разностные операторы. Решение задачи (3) зави­ сит от параметра h (от выбора сетки соА Меняя h, получаем ) .

последовательность решений {yh}. Семейство уравнений (3), за­ висящее от параметра h, называется разностной схемой. С точки зрения вычислительной математики основным является вопрос о точности в зависимости от выбора /г, с которой решение ун (х) задачи, (3) приближает решение и(х) исходной задачи (1), (2) .

Чтобы оценить точность схемы (3), надо сравнить y h с ыАт .

проекцией решения « е и (х ) : задачи ( 1), (2) на пространство функций,, заданных на сетке ыЛ. (для этого, например, можно .

ВВЕДЕНИЕ положить uh (x) = и (х), х g сой, если и (х) — непрерывная функция) .

Обозначим zh = yh— uh погрешность схемы (3).

Подставляя yh==uh Jr zh в (2) и предполагая, что Lh и lh —линейные опера­ торы, получаем для zh следующую задачу:

Lhzh = ^ h, *€сол; lhzh = vh, x y h, (4) где фй и vft—погрешности аппроксимации на решении и (х) раз­ ностной схемой уравнения ( 1) и дополнительного условия (2) соответственно. Для оценки zh, % и vh вводятся нормы ||*||1Л ), II *П ), ||-||(3Л в соответствующих сеточных пространствах, т. е .

(2Л, пространствах сеточных функций, заданных на соЛ, (оЛ и yh соответственно .

Говорят, что схема (3) 1а) аппроксимирует задачу (1), (2) (обладает аппроксимацией), если ||'Фл||(2Л ||vAIk,», — 0 при | А | - * 0;

-0,

16) имеет т-й порядок аппроксимации (на решении), если II “ а 11(3ь = О ( | А I®), Ф || v ft||(3A, = 0 ( | А | “ );

2а) сходится, если || yh— «Й||(1Л—-0 при h —0;

26) имеет т-й порядок точности, или сходится со скоростью О ( \h \m), если 1 - « * 1 ) = 0 ( 1* Г ) .

1л к Из (4) видно, что для оценки zh надо знать характер зави­ симости решения задачи (4) или, что одно и то же, задачи (3) от входных данных .

В математической физике рассматриваются корректно постав­ ленные задачи.

Задача называется поставленной корректно на классе входных данных (начальных и граничных значений, правых частей уравнений), если выполнены два требования:

а) задача однозначно разрешима для любых входных данных,

б) задача устойчива, т. е. решение задачи непрерывно зависит от входных данных .

Аналогично вводится понятие корректности для разностных схем (3) .

Говорят, что схема (3) корректна (разностная задача (3) поставлена корректно), если она при всех достаточно малых |Л|Л0

1) однозначно разрешима для любых входных данных Фй. Х и й

2) р е ш е н и е ^ равномерно по h непрерывно зависит от вход­ ных данных ф* и ХлСвойство непрерывной зависимости yh от А, х* (равномер­ р ной по h) называют устойчивостью схемы (3). Если Lh и /А— ВВЕДЕНИЕ 13

–  –  –

Из неравенства (6) следует утверждение: если схема (3) устой­ чива и аппроксимирует задачу (1), (2), то она сходится, или, как принято говорить, из устойчивости и аппроксимации схемы следует ее сходимость. Порядок точности схемы (3) определяется порядком аппроксимации .

Неравенство вида (5) называют априорной оценкой для схемы (3) .

Получение таких оценок и есть основное содержание теории устойчивости. В общем случае вместо (2) имеем несколько дополнительных условий /0ы = ца, а = 1, 2,..., а 0. Если ( 1) есть уравнение параболического или гиперболического типа, то среди этих условий есть начальные условия, например при t = 0 .

Вопрос об устойчивости для нестационарных уравнений целесо­ образно рассматривать, выделяя предварительно переменное t и вводя сетку (ox = {tn = m, п = 0, 1,... } с шагом т по t. То­ гда сеточная функция yh зависит от х и tn, y h= y h ( x,tn),T A ex~ = (xt,..., хр) € сол—узел сетки в р-мерном пространстве измене­ ния переменных х2,..., хр, h —векторный параметр .

Изложим вкратце содержание настоящей книги. В книге изучается устойчивость разностных аналогов нестационарных задач математической физики. Поскольку устойчивость есть внутреннее свойство схемы, то естественно проводить изучение устойчивости вне связи со сходимостью схемы. Конкретный вид разностных операторов при этом не используется, что позволяет ввести понятие операторно-разностной схемы с операторами, действующими в абстрактном пространстве.

Приближенное ре­ шение трактуется как абстрактная функция yn = yh (tn) дискрет­ ного аргумента tn = m со значениями в линейном пространстве (зависящем от параметра К):

–  –  –

Разностная схема представляет собой разностное пб Н уравнение с операторными коэффициентами. Так, например, двухслойной операторно-разностной схемой называется разностное уравнение ВВЕДЕНИЕ первого порядка с двумя операторными коэффициентами

–  –  –

Важно отметить, что любая двухслойная схема записывается в этом виде. Схема определена, если заданы операторы А и В .

Общие определения устойчивости вводятся для схем с опе­ раторами, заданными в произвольных линейных нормированных пространствах. Однако в данной книге устойчивость разностных схем исследуется, как правило, в гильбертовых нормах. Это объясняется тем, что именно в случае гильбертовых пространств удается сформулировать эффективные условия устойчивости .

Рассмотрим, например, двухслойную схему (7). Ее устойчи­ вость (или неустойчивость) определяется операторами А, В и параметром т. Предположим, что пространство Hh снабжено скалярным произведением (,) и нормой ||«/|| = K(t/, у), а опера­ торы А и В действуют из H h в ЯЛ. Важно выяснить минималь­ ные требования, предъявляемые к операторам А и В, которые гарантируют устойчивость схемы (7). Речь идет об общих свой­ ствах операторов, таких, как самосопряженность и положитель­ ность. Никаких предположений о структуре операторов А и В нет .

Исходное семейство двухслойных схем определяется требова­ ниями:

А * = А О (Л —самосопряженный положительный оператор), В О (В — несамосопряженный положительный оператор) .

Необходимое и достаточное условие устойчивости по началь­ ным данным для схем из исходного семейства имеет вид (гл, II, § 2)

–  –  –

Условие (8) выделяет класс устойчивых схем; оно удобно для практической проверки устойчивости конкретных схем.

Нетрудно сформулировать простые правила исследования конкретной схемы на устойчивость:

1) приведение схемы к каноническому виду (7);

2 ) изучение свойств операторов Л и Б и проверка принадлеж­ ности схемы к исходному семейству;

3) проверка условия устойчивости;

4) если условие (8) выполнено, то можно воспользоваться одной из готовых априорных оценок, полученных для схемы общего вида (7) .

Исследование устойчивости схемы (7) проводится различными методами: методом сведения схемы (7) к явной схеме хп+1 = хп— тСхп + туп и последующей оценки нормы оператора перехода S = E — тС (Е — единичный оператор), методом энергетических неравенств и, наконец, методом разделения переменных. Особое внимание уделяется изучению p-устойчивости схемы (7) в H D при фп = 0, т. е. получению оценок вида || уп Ц д ^ р " ||*/„ 11 гДе р = есо о г, D* = D 0 — линейный оператор, заданный на H h, например D — A или D = B, а с0— постоянная, не зависящая от т и h .

Найдены необходимые и достаточные условия р-устойчивости схемы (7) по начальным данным .

Важнейшей задачей теории является получение для нео^но родного уравнения (7) априорных оценок, выражающих устой­ чивость схемы (7) по правой части. Оказывается, что условия устойчивости по начальным данным достаточны для устойчивости по правой части. Устойчивость по начальным данным не только достаточна, но и необходима для устойчивости по правой части, если нормы решения и правой части согласованы (гл. Ill, § 1) .

При выводе априорных оценок мы стремились получить оценку решения у в максимально сильной норме (например, в НА, HAt и др.) через правую часть ф в возможно более слабой норме .

Примером слабой нормы является негативная норма If ф П( -1 » = II ф I U - * = К( _1ф, ф ) .

л где А = А* 0 — оператор схемы (7) Подобного типа оценки используются при изучении сходимости однородных разностных схем для параболических уравнений с разрывными коэффициен­ тами (см. А. А. Самарский [23], гл. II, III). Если операторы А и В схемы (7) зависят от t, то устойчивость имеет место при том же условии В ^ 0,5 т А, которое должно выполняться для ВВЕДЕНИЕ всех однако, кроме того, требуется, чтобы один из one* раторов А или В удовлетворял условию Липшица по t в неко­ тором интегральном смысле. Изучение устойчивости двухслойной схемы (7) проводится в гл. II, III .

Трехслойные и многослойные схемы (гл. IV) сводятся к двух­ слойным схемам с операторами, действующими в пространствах, представляющих собой прямую сумму двух и большего числа пространств Нн. Пользуясь затем условиями устойчивости двух­ слойных схем в таких пространствах, получаем условия устой­ чивости многослойных схем'в виде операторных неравенств для заданных на Hh операторов многослойных схем. В случае трех­ слойных схем необходимые и достаточные условия устойчивости имеют вид линейных операторных неравенств для трех операто­ ров схемы. При этом устойчивость имеет место в составной норме, т. е. в норме пространства # л0 # й. Некоторое усиление достаточных условий позволяет получить априорные оценки в энергетическом пространстве НА .

Запись схемы в канонической форме позволяет выделить операторы, ответственные за устойчивость и аппроксимацию;

с другой стороны, условие устойчивости, например, вида (8) накладывает слабые ограничения на произвол в выборе опера­ тора В = E -\-rR или оператора R (регуляризатора). Меняя опе­ ратор R и оставаясь в классе устойчивых схем, можно получить схему нужного качества. Этот метод регуляризации оказывается весьма эффективным при построении экономичных схем для многомерных задач математической физики. Такие схемы при­ надлежат классу факторизованных схем, у которых оператор при функции уп+1 на верхнем слое представляет собой произ­ ведение конечного числа операторов. В случае двухслойной экономичной факторизованной схемы В = В 1 2- - - 5 /), где р не Б зависит от ft и т, a B v..., Вр— экономичные операторы (т. е .

для решения уравнения B aw = F, а = 1, 2,..., р, требуется 0 ( l/h ) действий. Если Ba = E-{-xRa, R a попарно перестановочны, R* = R a 0 и схема (7) с оператором B = E + tR, R = R 1-\а + • • • + RP. устойчива, то и факторизованная схема с опе­ ратором В = В 1В2- • -Вр также устойчива. Примеры применения факторизованных экономичных схем даны в гл. V .

Эффективность доказанных в гл. II—IV критериев устойчи­ вости демонстрируется в книге на большом числе разностных схем для уравнений и систем уравнений параболического и гиперболического типов.. Чтобы уделить основное внимание прин­ ципиальным моментам исследования, не отвлекаясь на чисто технические детали, мы выбрали простейшие типичные схемы, как правило, одномерные и для краевых условий первого рода .

Усложнение уравнений; и краевых условий приводит к более громоздким формулам, не вызывая каких-либо трудностей прин­ ВВЕДЕНИЕ ципиального характера. При переходе к многомерным эконо­ мичным схемам появляются некоторые новые обстоятельства .

Имеется два типа экономичных схем. Первый из них—фактори­ зованные схемы, устойчивость которых следует из общей теории для (7) (см. гл. V, § 1). Помимо классических схем вида (7) рассматривается новый тип экономичных схем—аддитивные схемы, для которых переход со слоя tn на слой tn+1 осуществляется при помощи матрицы-оператора (В^) (вместо оператора В для (7)), а погрешность аппроксимации понимается в суммарном смысле .

Чтобы использовать это понятие, понадобились априорные оценки нового типа (см. гл... V, § 1). Для получения оценок в равно­ мерной метрике в некоторых случаях используется принцип максимума, изложенный вместе С примерами в гл. V, § 2 .

В конце книги дан обзор литературы по устойчивости раз­ ностных схем .

Глава /

РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ

В этой главе дается необходимый предварительный запас сведений, отно­ сящихся к аппроксимации дифференциальных выражений разностными, построению и исследованию разностных краевых задач. Основные во­ просы теории разностных схем иллюстрируются на простых примерах, ч для которых проводится детальное теоретическое исследование. В § 1 рассматриваются примеры разностных аппроксимаций, в § 2 исследуются свойства возникающих при этом стационарных разностных операторов, и в § 3 доказывается устойчивость соответствующих нестационарных задач .

–  –  –

“~. - - i ( He r 2- s z ? r1) - 7 Часто мы будем пользоваться безиндексными обозначениями, т. е. опускать индекс t, полагая x = x it u = u t, и - = и- t и т. п .

2. Аппроксимация простейших дифференциальных выражений .

Чтобы выяснить порядок погрешности аппроксимации того или иного разностного выражения, надо провести разложение по формуле Тейлора функций, входящих в это выражение .

Приведем сводку простейших разностных аппроксимаций на равномерной сетке соЛ:

–  –  –

« ^ = “? + -Ж « 1 ) + 0 (А4), 4 (5" ') где Я,—любое число .

На неравномерной сетке порядок погрешности аппрокси­ оА мации, вообще говоря, понижается.

Имеют место следующие разложения:

–  –  –

Задача (51) представляет собой систему N — 3 линейных алге­ браических уравнений относительно неизвестных у2, у 3.........yN_2 .

Ее можно записать в матричном виде (19), где

–  –  –

(57) (58) Ясно, что эти краевые условия имеют второй порядок аппро­ ксимации. Исключая из (56)— (58) значения у _ г и yN+1, при­ ходим к системе уравнений

–  –  –

матрица которой симметрична .

§ 2. СВОЙСТВА НЕКОТОРЫХ РАЗНОСТНЫХ ОПЁРАТОРОВ

§ 2. Свойства некоторых разностных операторов

1. Линейные операторы в нормированных пространствах. Из примеров, приведенных в предыдущем параграфе, видно, что разностную схему можно рассматривать как операторное урав­ нение с операторами, действующими в некотором функциональ­ ном пространстве, а именно в пространстве сеточных функций .

Под пространством сеточных функций понимается множество функций, заданных на некоторой сетке ил и удовлетворяющих определенным разностным граничным условиям. Разумеется, крае­ вые условия должны быть выбраны таким образом, чтобы соот­ ветствующее множество сеточных функций являлось линейным пространством. Как правило, размерность пространства сеточных функций конечна при каждом фиксированном шаге h, но стре­ мится к бесконечности при h-+ 0. Различные пространства се­ точных функций могут отличаться одно от другого выбором сетки юй, способом задания краевых условий, нормировкой .

В пп. 1, 2 настоящего параграфа даны необходимые сведения из теории линейных операторов, а в остальных пунктах рассмат­ риваются свойства разностных операторов, действующих в раз­ личных пространствах сеточных функций .

Будем рассматривать к о н е ч н о м е р н о е линейное простран­ ство Н над полем К действительных или комплексных чисел. Го­ ворят, что на множестве задан оператор А, если каждо­ му элементу х g S) ставится в соответствие некоторый элемент Ах&. Множество & называется в этом случае областью оп­ ределения оператора А (обозначается S) (Л)), а множество элемен­ тов вида у — А х — множеством значений оператора Л (обозначает­ ся 5(Л)). Отображение, задаваемое оператором Л, будем обо­ значать Л: SD (Л) 31 (Л). Через 0 обозначается нулевой опера­ тор и через Е — единичный .

Пусть оператор Л отображает S) (Л) на 9i (Л) взаимно одно­ значно. Тогда можно определить оператор Л -1, действующий из Э1 (Л) в ® (Л ), такой, что А~*у = х, если Ах = у. Такой опе­ ратор называется обратным оператору Л, а сам оператор Л называется в этом случае невырожденным .

Будем говорить, что оператор Л действует в пространстве Я, если ёЬ(А) = Н, 91(А)=Н (обозначаем Л:

Оператор Л называется линейным, если Л (ах ру) = а Ах -f fiAy для всех х, у@ )(А ) и а, В дальнейшем мы рассматриваем только линейные операторы, действующие в Н .

Л е м м а 1. Пусть А — линейный оператор, действующий в конечномерном линейном пространстве Н .

Оператор Л -1 с [2 ГЛ. I. РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ областью определения !3)(А~1) = Н существует тогда и только тогда, когда уравнение Ах = 0 имеет единственное решение л; = 0 .

Доказательство этой леммы см., например, Б. 3. Вулих [1] .

Для любых невырожденных операторов А и В справедливо тождество Л - i — В- i - Л " 1 (В — Л) В-i. (1) Пусть в пространстве Н введена норма ||-||. Оператор А на­ зывается ограниченным, если существует постоянная УИ О такая, что || А х || 1|х || для всех х Н. Точная нижняя грань всех таких постоянных называется нормой оператора А и обозначается || А ||.

Эквивалентным этому определению является следующее определение нормы оператора:

–  –  –

Операторы А 0 и A t являются самосопряженными. Заметим, что при любом х Н справедливы тождества Re(Ax х) = (А0х 9 х), 1т (Ах, х) = (Агх, х) .

Оператор А, действующий в гильбертовом пространстве Я, называется положительным ( Л 0 ), если (Ах, х ) 0 для всех х Н, кроме х = 0. В случае комплексного пространства Н опре­ деление положительности вводится только для самосопряжен­ ных операторов, так как из положительности оператора Л уже следует его самосопряженность. Если Н —действительное гиль­ бертово пространство, то положительным может оказаться и несамосопряженный оператор. В этом случае положительность 2] § 2. СВОЙСТВА НЕКОТОРЫХ РАЗНОСТНЫХ ОПЕРАТОРОВ 33 оператора А эквивалентна положительности его симметрической составляющей Л0 = 0, 5 ( Л + Л*), так как (Ах, х) = (х, А*х) = (А*х, х) = 0,5 ((А -\-А*) х, х) = (Л0х, х) .

Аналогично вводится определение неотрицательности опера­ тора А ((Ах, х) ^ 0 для всех х Н ) и положительной опреде­ ленности ((Ах, х ) 6 || х || 2 для всех х Я, б 0 ). Неравенство А ^ В для двух операторов А, В: Я — означает, что А — В ^ 0 .

Я Л е м м а 3. Пусть А —положительный оператор, действую­ щий в конечномерном действительном пространстве Я .

Тогда су­ ществует операт ор'А'1 .

Действительно, если А 0, то уравнение А х = 0 имеет единственное реше­ ние х = 0 (в противном случае получилось бы (Ах, х) = 0 для ненулевого ре­ шения х уравнения А х —0). Поэтому в силу леммы 1 оператор А " 1 сущест­ вует .

Аналогично доказывается, что для существования оператора Л -1, обратного оператору Л, действующему*в комплексном ко­ нечномерном пространстве, достаточно положительности его дей­ ствительной составляющей Л0 = (Л -f Л*)/2 или положительности его мнимой составляющей Л1= -^т-(Л — Л*) .

Л е м м а 4. Если А — положительно определенный оператор, А ^ &Е, то существует обратный оператор А ' 1 и || Л _1|| ^ 1/6 .

Доказательство следует из неравенств

–  –  –

что и требовалось .

Напомним еще одно понятие, неоднократно используемое в дальнейшем .

Квадратным корнем из оператора А называется такой опе­ ратор В, для которого В2 = А (обозначается В — А 1/г). Известно (см., например, Л. А. Люстерник и В. И. Соболев [1]), что для любого самосопряженного неотрицательного оператора А суще­ ствует единственный неотрицательный самосопряженный квад­ ратный корень АЧ*. Оператор А 1!*' перестановочен со всяким оператором, с которым перестановочен А .

3. Некоторые разностные тождества и неравенства. Будем предполагать сначала, что все рассматриваемые функции—ве­ щественные. Примеры комплексных пространств сеточных функ­ ций приведены в п. 8 .

Введем обозначения, необходимые для дальнейшего изложе­ ния. Для сеток а л и coft и разностных отношений остаются обозначения, введенные в § 1, п. 1.

Скалярные произведения и нормы, заданные на равномерной сетке юл, будем обозначать следующим образом:

–  –  –

означающее положительную определенность оператора А. Оценка (50) более точна, чем оценка (45) (заметим, что неравенство (45) доказано для произвольной неравномерной сетки, тогда как (50)—только для равномерной). Из (49) следует и оценка (43) сверху для скалярного произведения (Ау, у). Итак, при любом у для оператора (44) справедливы неравенства

–  –  –

(см. (8) из § 1). Его самосопряженность следует из второй разностнойЗформулы Грина (31), которая в данном случае прини­ мает вид (У* («!?)*) = ( К г )*.»)•

–  –  –

На неравномерной сетке соА вместо оператора (64) исполь­ зуется оператор (76) а скалярное произведение и норма определяются формулами

–  –  –

где fti = 0,S(hl + hi+1) при i = 1, 2,..., N — 1, fio= 0,5hlt riN = 0,bhN. Тогда тождества (67), (69) и оценка (72) сохраняют силу, а неравенство (75) заменяется неравенством [Ау, у]

6. Разностные операторы первого порядка. Примерами нес мосопряженных разностных операторов являются операторы пер­ вой разностной производной ух и у -. Рассмотрим пространство HN+1 функций, заданных на равномерной сетке сод. Скалярное произведение и норму в HN+1 определим, в отличие от (65) и (66), следующим образом:

–  –  –

О О... 0 —12/ С аналогичной матрицей мы встречались в п. 4 при исследо­ вании оператора А второй разностной производной в простран­ стве & (см. также (21) из § 1). Матрица (86) отличается от матрицы (21) из § 1 лишь множителем 0,5h и порядком. Поэтому по аналогии с п. 4 можно выписать в явном виде собственные о 2 функции и собственные значения оператора А = - ^ А 0\

–  –  –

7. Разностные операторы четвертого порядка. В § 1, п. 5 был приведено несколько примеров аппроксимации на сетке оА краевой задачи (50) из § 1 для уравнения четвертого порядка .

Исследование самосопряженности и положительности возникаю^ щих при этом разностных операторов осуществляется так же, как и для разностных операторов, аппроксимирующих уравнение второго порядка .

Наряду с (18)— (20) введем обозначение

–  –  –

Это тождество, аналогичное первой разностной формуле Грина (30), можно использовать для доказательства самосопряженности и положительности оператора (av^x)-x с различными краевыми условиями .

Рассмотрим несколько примеров. Мы видели в § 1, п. 5, что разностная схема (59) из § 1 имеет второй порядок аппроксима­ ции. Задача для ошибки 2,- — у г— и (х{), соответствующая схеме (59) из § 1, имеет вид

–  –  –

который следует рассматривать в пространстве функций й, за­ данных на (оА и равных нулю при i = О и i = N. Скалярное произведение в й определяется согласно (18) .

Покажем, что оператор (115) является самосопряженным и положительно определенным в Й. Для этого вычислим скалярное произведение (у, A v ) = h ( y 1(Av)1+ y N_1(Av)N_ 1) + ((y, Av)) .

Для функций y, v $ C l имеем согласно (113) ((У, Av)) = (у-х, гь ) — у - N (А о-~+ о--)Л+ у Ж0 (—hvxxx+ v xx)0.(116) Учтем, далее, что при v €& можно записать

–  –  –

Ы '+ ± М.* + « 1 „ ) ? \\У ]Г - (121) Отметим,что неравенство (121) справедливо для любых функ­ ций y it заданных на юА, а не только для y Q. Прибавляя к (121) выражение (г/|, 0-f у - N)/h и учитывая (119), получаем оценку

–  –  –

ричной матрицей. Такое исключение эквивалентно тому, что мы положим в (125) гх — 0, zN_ t = 0 и изменим соответствующим образом правые части. Таким образом, задачу (125) мржно пред­ ставить в виде

–  –  –

Покажем, что оператор (128) является самосопряженным и положительно определенным в У'. Используя разностную фор­ мулу Грина (30), нетрудно установить тождество

–  –  –

8. Случай комплексных пространств сеточных функций. Есл функции у(х) и v (х), заданные на сетке юд, могут принимать комплексные значения, то необходимо вводить комплексное гиль­ бертово пространство ЯЛ, скалярное произведение в котором определяется формулой

–  –  –

Все результаты, относящиеся к задаче на собственные зна­ чения (46), остаются справедливыми и в комплексном случае .

В частности, верны оценки для собственных значений (49) .

Поэтому из (141) следует положительная определенность опера­ тора (140):

(Ау, У ) ^ с 1\\у \\\ у$й. (142)

–  –  –

Оператор (145) можно представить в виде суммы А = А 0+

-\-iAx, где Л0 = 0,5(Л + Л*), Лх = —0, 5 / ( Л— А*). Операторы Л0 и А г являются самосопряженными и определяются соответственно формулами (83) и

–  –  –

° 2 Д ля операторов Л0 и А — - ^ А й справедливы те же оценки, что и в действительном случае. В частности, неравенства (94) и (95) остаются справедливыми в комплексном пространстве HN+l:

^ 1М1, 11^]1* + | ( | У о 1 Н 1 Ы, ) ^ 1 М - (148) ; *

9. Функции разностных операторов. Выше были приведен примеры разностных операторов, возникающих при аппроксима­ ции тех или иных краевых задач, и были изучены свойства их самосопряженности и положительности. В дальнейшем, в теории устойчивости разностных схем, нам придется иметь дело с не­ которыми «вспомогательными» операторами, связанными какимлибо образом с этими «основными» операторами. Так, если Л— «основной» оператор, то в процессе промежуточных выкладок мы можем пользоваться, например, операторами Л -1, Л1/г, Л*Л, Л2, Л0 = 0,5(Л-}-Л*) и др. Не все эти операторы являются раз­ ностными в том смысле, что они аппроксимируют какое-либо дифференциальное выражение. Однако они, как и основной опе­ ратор Л, определены в пространстве сеточных функций. Отметим, впрочем, что при изложении теории устойчивости (гл. II) мы и основной оператор Л не предполагаем разностным, это требо­ вание реализуется лишь в примерах .

В некоторых случаях вспомогательные операторы Л -1, Л1'*, А*А можно построить в явном виде. В настоящем пункте при­ водятся примеры таких построений .

Будем рассматривать сетку (oh = {xi — ih, i = 0, 1,..., N, h — l / N} \w f J .

rl и множество Я функций, заданных на этой сетке. Никаких гра­ ничных условий на сеточные функции пока не налагаем. Скаляр­ ное произведение также будет введено позже (и для различных операторов по-разному) .

В п.6 рассматривался оператор левой разностной производной (Ау)о = у Л (Ay)i = y - l, = 1, 2, (149)

–  –  –

Л - 1 =А 1 1 1 0 (152)... .

,1 1 1 1.. .

Оператор (151) является сеточным аналогом интегрального опе­ ратора

–  –  –

где i|) = / — А и — погрешность аппроксимации на решении и(х) .

Предположим, что задача (1) устойчива, например, в смысле выполнения оценки (6). Тогда для решения задачи (7) справед­ лива оценка II г II II4-II .

–  –  –

Поэтому для решения задачи [Лг = г|) справедлива оценка (6), 1] § 3. ПРИЕМЫ ИССЛЕДОВАНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ 63 которую в данном случае можно записать в виде

–  –  –

Из этой оценки следует сходимость в сеточной норме Ь2 реше­ ния разностной задачи (18) из § 1 к решению задачи (17) из § 1 со скоростью О (ft2), так как Ц'фЦ = 0(ft2) .

Нетрудно установить также сходимость в норме С.

Для~этого преобразуем тождество (А г, г) = (я|, г) следующим образом:

(a, z‘ ] (Az, г) = (ч, г ) | [ ^ || || г || .

–  –  –

и аппроксимируем его на неравномерной сетке юЛ разностным уравнением y - : = — f ( x ), x = x i ^(o/l, i = l, 2,..., N — 1, у 0—yN = 0. (20) Д ля погрешности г1= y t — и ( х {) получаем задачу

–  –  –

№ М (1 Ы М « ). М = /(1+/ /4 ), т. е. J|z ||c = 0 (|j/i|[2), поскольку ц = 0 ( й 2), t|* = 0(A*) .

3. Разностные схемы для уравнения переноса. В предыдущи пунктах было приведено несколько примеров разностных схем, аппроксимирующих стационарные задачи, и были получены оценки решений этих разностных схем через правые части. Эти оценки выражают устойчивость разностной схемы относительно возмущения правой части (устойчивость по правой части). При изучении устойчивости любой разностной схемы, аппроксими­ рующей нестационарное уравнение, прежде всего возникает вопрос, устойчива ли эта схема по начальным данным. Как мы увидим далее (см. гл. II), в большинстве случаев разностная схема, устойчивая по начальным данным, является устойчивой и по правой части. В пп. 3—7 будет дано несколько примеров исследования устойчивости разностных схем по начальным дан­ ным, иллюстрирующих основные приемы исследования устойчиз* ГЛ. I. РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ 68 [3 вости: принцип максимума, метод гармоник, метод разделения переменных и метод энергетических неравенств .

Рассмотрим задачу Коши для уравнения первого порядка (31)

–  –  –

Схема (66) отличается от явной схемы yt=y-xx наличием слагаемого ~^УИ в левой части уравнения. Это ухуд­ шает аппроксимацию (которая в данном случае является величиной 0 (т -}-/г2) О ^-^-)). но, как будет показано далее (см. гл. II, §3), сказывается положительно на устойчивости. В частности, схема (66) безусловно устойчива при с с ^ 1. Таким образом, здесь мы стал­ киваемся с явлением, когда устойчивость имеет место при любых т и h, а аппроксимация—лишь при выполнении некоторых соотно­ шений между шагами т и h (условная аппроксимация). Так, если считать, что а не зависит от т и h, а шаг т есть величина по­ рядка /г2, то получим аппроксимацию 0(h). Отметим еще, что счет по схеме (66) может быть осуществлен явным образом: от левой границы к правой. Вместо (66) можно использовать схему CLТ Уг— {{Уи= УХХ7 ® 0, (67) также безусловно устойчивую при а ^ 1 и имеющую порядок аппроксимации 0 ( t - f / i 2) + 0 ^ ^ j. Можно, наконец, чередовать схемы (66) и (67): на четном слое (п = 0, 2, 4,... ) считать по схеме (66), а на нечетном ( я = 1, 3,... ) — по схеме (67) или на­ оборот .

5. Метод энергетических неравенств. Рассмотрим задачу

–  –  –

при условии (82), будем иметь J n+i e {Mi+c‘+2/T)TJnПоследовательно применяя это неравенство, получим оценку J n+i M 2J 0, Af, =*"*+*• т+\ (90) выражающую устойчивость схемы (86) в норме V J„= =У (а (х, tn), y l(x, *„)]. Отметим, что при о = 1 константа М ± в оценке (90) равна нулю .

в. Примеры трехслойных разностных схем. Все рассмотрен­ ные нами до сих пор схемы для нестационарных уравнений были двухслойными, т. е. содержали значения неизвестных толь­ ко на двух временных слоях: при t = tn и t = tn+1. Введение трехслойных схем, т. е. разностных схем, содержащих значения неизвестной сеточной функции при t — tn- v t = tn и t = tn+1, неизбежно при аппроксимации уравнений, содержащих вторую производную по времени, но используется иногда и для пара­ болических уравнений (например, для повышения порядка аппроксимации). В этом пункте мы рассмотрим примеры трех­ слойных разностных схем для уравнений с постоянными коэффи­ циентами и исследуем их устойчивость энергетическим ме­ тодом .

Будем пользоваться обозначениями (32) и

–  –  –

где у = у п есть вектор у = {у1, y l......... у%- }, а оператор А за­ дан тождествами (115) из § 2 и действует в пространстве У се­ точных функций, равных нулю при i = 0 и i = N .

Уравнение (106) задает рекуррентную формулу для опреде­ ления вектора уп+1 по векторам у п и у п~х. Начальные векторы у 0 и у 1 находятся по формулам (105) .

Устойчивость схемы (103)—(105) будем исследовать методом энергетических неравенств. Умножим уравнение (103), (104) или (106) скалярно на у у .

(У-tv У \) + (А У’ У1) = ® и учтем тождество (113) из~§ 2, а также граничные условия (104) .

Тогда получим следующее тождество:

–  –  –

то (111) будет выполнено при условии ( » 2)

–  –  –

где у = у п = {у", yl,..., у м - 2, yh ) и Л — оператор (128) из §2, дей­ ствующий в пространстве Й' функций, заданных при 0 i ^ N и равных нулю при t = l и i = N — 1 .

Определим в У скалярное произведение согласно (127) из §2 .

Умножая уравнение (116) скалярно на y°t, получим тождество

–  –  –

Отсюда, учитывая тождество (130) из § 2 и неравенство (133) из § 2, заключаем, что величина (t„) неотрицательна при усло­ g вии (112). Таким образом, если выполнено неравенство (112) .

то схема (113)—(115) устойчива по начальным данным в норме ||# ||* = К (*„). где S{tn) задано формулой (117) .

8. Нестационарное уравнение Шредингера. Рассмотрим нест ционарное уравнение Шредингера

–  –  –

(118) неустойчива при любых фиксированных у = х/№. Мнимая составляющая параметра с не оказывает никакого влияния на устойчивость. В отличие от разностных схем для уравнения теплопроводности, среди схем (119) с y=T/ ft 2 = const нет условно устойчивых схем: все схемы с о0^ 0, 5 устойчивы, и все схемы с сг0 0,5 неустойчивы. Схема повышенного порядка точности (а = 0,5 — ih2/( 12т)) устойчива .

Если в выражении для \q k \2 положить т = 0(Л4), то при о0 0,5 получим | qk |2 1 + 2Мт, М — const 0, | qk К 1 + Мт, и, следовательно, II у п+1 К (1 + Мх) II у" II... eMtn+г || уО ||, tn+1 = (я + 1) т .

Таким образом, схема (119) с сг0 0,5 устойчива на ограни­ ченном отрезке времени (tn^. T ) при условии т = 0(Л4) .

Глава 11

УСТОЙЧИВОСТЬ ДВУХСЛОЙНЫХ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ

В § 1, [который носит вводный характер, обсуждается понятие устой­ чивости разностной схемы, определяемой как операторно-разностное урав­ нение в линейном нормированном пространстве. Дается общее определе­ ние устойчивости и выясняется связь между устойчивостью по начальным данным и устойчивостью по правой части. В § 2 получены необходимые и достаточные условия устойчивости по начальным данным двухслойных разностных схем с операторами в гильбертовом пространстве. Теоремы этого параграфа являются основным результатом книги и широко ис­ пользуются в последующем изложении. В § 3 на примерах разностных схем для типичных задач математической физики иллюстрируется при­ менение теории устойчивости, изложенной в § 2 .

§ 1 Устойчивость по начальным данным, и по правой части

1. Общие понятия. В предыдущей главе рассматривали свойства разностных операторов, действующих в гильбертовом пространстве Я, и были получены оценки решений некоторых разностных задач. При аппроксимации задач математической фи­ зики получается семейство операторных уравнений, зависящее от некоторого параметра h, характеризующего плотность распре­ деления узлов сетки. Д ля формального описания разностной схемы естественно ввести семейство линейных пространств Я А (пространств сеточных функций), где h — векторный параметр, снабженный нормой | h\ 0 .

Будем считать, что Я й— конечномерное пространство, раз­ мерность которого зависит от ft и может стремиться к бесконеч­ ности при | Л | — Назовем разностной схемой семейство опера­ 0 .

торных уравнений АпУп^ Фа, (1) где yh и срА— элементы пространства Н н, А н— линейный опера­ тор, область определения которого @) (A h) совпадает с Я Л, а множество значений 9i (A h) лежит в Hh, 91 (ЛЛ s Я д. Ясно, ) что это определение включает все разностные схемы, аппрокси­ мирующие стационарные задачи математической физики .

88 ГЛ. II. УСТОЙЧИВОСТЬ ДВУХСЛОЙНЫХ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ [1

–  –  –

При изучении разностных схем, аппроксимирующих неста­ ционарные уравнения математической физики (уравнения пара­ болического и гиперболического типов), когда переменное t (вре­ мя) выделяется особо, более удобно пользоваться понятием опе­ раторно-разностной схемы (разностной по аргументу t и опера­ торной по другим аргументам) .

Пусть Ю = {^„, п — 0, 1,..., п 0, to = 0, tn0= T } — произвольная т сетка на отрезке О ^ ^ г ^ Т с шагами тn = tn— tn_ v Будем рас­ сматривать функции y = y ( t„ ) дискретного аргумента /п€(от. При каждом фиксированном значении t = tn функция y(t„) является элементом пространства H h, y ( t n) € Hh. В этом случае говорят, что y ( t n) является абстрактной функцией аргумента tn (x со значениями в Н н. Рассматриваемые ниже абстрактные функции, вообще говоря, зависят от параметра h и от выбора сетки сох, так что y ( t n) = y hx(tn) (зависимость от сетки юх указываем индексом т).

Линейные операторы А, В, С, действующие в H h, также могут зависеть от h, от сетки и от переменного tn:

A = A hx(tn), B = B hx(tn),.. .

Операторы, зависящие от tn, называют переменными операто­ рами. Если, например, оператор А не зависит от tn, п — 0, 1,..., п0, то он называется постоянным оператором .

Назовем (т + 1)-слойной операторно-разностной схемой разно­ стное (по п или tn) уравнение т-го порядка с операторными коэффициентами:

Bmyn+m + Вт-1Уп+т- - ---- + i # n+i + Ф„, г\ В0уп= п = 0,1,2,..., т — 1,2,3,...,

–  –  –

причем у 0, у и..., ут- г могут быть произвольными векторами из H h .

По существу (т-\- 1)-слойная схема представляет собой семей­ ство уравнений (2), зависящее от всевозможных допустимых параметров h и {тА Поэтому решением задачи (2), (3) является } .

семейство функций y hT{tn), зависящее от параметров h и {тй} .

Для упрощения записи индексы h и т будем, как правило, опускать в тех случаях, когда это не вызовет недоразумений .

При т = 1 из (2), (3) получаем двухслойную операторно-раз­ ностную схему, которую для краткости будем называть двухслой­ ной разностной схемой или двухслойной схемой:

B^n+ i + ЯоУп = фв. п = 0, 1,..., задан у0 g Hh.

(4) Она представляет собой разностное (по п) уравнение первого порядка с двумя операторными коэффициентами В0 и B v Трехслойная разностная схема (т = 2) является разностным (по п) уравнением второго порядка с тремя операторными коэф­ фициентами В0, В 1 и В2:

В2Уп+1 + В 1Уп+ В0 п_х= ф„, у п = 1, 2,..., заданы у0, у х Я А. (5)

–  –  –

в предположении, что сетка по t является равномерной сеткой с шагом т. Здесь линейные операторы 5 = Ах(/„), Я = /?лЛ*в), A = A hx(tn): H h—yH h связаны с операторами Bv B v Bq следующим образом (индексы 3] § 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ПО НАЧАЛЬНЫМ ДАЙНЫМ И ПО ПРАВОЙ ЧАСТИ 91

–  –  –

Предположим, что Я Л— нормированное пространство или, точнее, что в Hh определены некоторые нормы \\у„ ||in), ||ф„||(2я), в которых оцениваются соответственно решение и правая часть уравнения (7). Эти нормы могут зависеть от t = tn, h, {тй} .

Рассмотрим (ra-j- 1)-мерный вектор y n+ i(tn) = {y(Q) y{ti), •••, У( / „) }€Я 2+1, координатами которого являются начальное значение у ( 0) и решение y k = y ( t k) H h задачи (7) при k — \,2,..., п .

Пусть J [F„+1] — любая норма в пространстве Щ +1; она может зависеть от параметров h и {тА и от номера га.

Обозначим через } вектор правой части уравнения (7):

Ф « ( ^ - 1) = {ф(0), Ф&), 4(tn- i ) } € H t, а через Q [Ф„(/„_х)] — норму вектора Ф„ в пространстве ЩПримем следующее определение устойчивости разностной схемы .

Двухслойная схема (7) устойчива, если существуют положи­ тельные постоянные т0, h0, и М2, не зависящие от сетки ют, от h, у0, Ф„, такие, что при всех достаточно малых \h\ и К } ( | / г | / 1 max т * т 0) и любых у0 € Hh, Ф n H h решение 0, ! /г задачи (7) для всех га = 1, 2,... удовлетворяет неравенству J [Ya+1 (#„)] М г || у0 ||(1о, + M 2Q [Ф„ (/„_,)] • (11) З а м е ч а н и е. Для схем, аппроксимирующих дифференциальные урав­ нения, в формулировку определения устойчивости можно внести уточнение, а именно требовать, чтобы константы М г и М 2 не были очень большими .

Естественно также требовать, чтобы М г и М 2 были близки к соответствую­ щим константам в оценках для дифференциальных уравнений .

–  –  –

Здесь II ||(lft), II • II • |Ц ), II • Ц^*) — нормы в пространстве Hh (нормы на слое). Все четыре типа функционалов J и Q будут встречаться в дальнейшем .

Д ля оценки решения уп задачи (7) чаще всего используется норма на слое J [У„+1] = ||#„||(in)- В этом случае устойчивость схемы (7) означает выполнение оценки II Уп lid») М г]\ у 0 ||(1о) + M 2Qn [Ф„ (*„_,)]. (18) Схема называется условно устойчивой, если она устойчива при дополнительном условии, связывающем \h\ и параметры {тА } .

Если схема (7) устойчива при любых допустимых h и {тй}, то она называется абсолютно устойчивой .

4. Устойчивость по начальным данным и по правой части Решение разностной задачи (7) можно представить в виде суммы У(1)—У (0 + У (0 гДе У ( 0 — решение однородного уравнения (7а), а у (t) — решение неоднородного уравнения с однородным началь­ ным условием (76) .

Схему (7) называют устойчивой по начальным данным, если для решения задачи (7а) верна оценка (11) при ф = 0, т. е .

оценка ' [ n +i ( O K M i l l y o l k ). (19) \

–  –  –

откуда, учитывая (32), снова получаем оценку (30) .

Справедливо ли обратное утверждение: из устойчивости по правой части следует устойчивость по начальным данным?

Рассмотрим сначала случай равномерной сетки сот, тА= т, k = 1,2,..., п0, и постоянного оператора перехода со слоя на слой Sk = E —тBk 1Ak = S .

Т е о р е м а 2. Равномерная устойчивость (23) по начальным данным двухслойной схемы (7) необходима и достаточна для ее устойчивости (30) по правой части, если шаг т и оператор перехода S k = E —тВк 1А к = S постоянны .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточность следует из теоремы 1 .

Докажем необходимость. По условию для решения задачи (76) 5] § 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ПО НАЧАЛЬНЫМ ДАННЫМ И ПО ПРАВОЙ ЧАСТИ 97 при тл = т имеем оценку

–  –  –

В дальнейшем в этой главе основное внимание уделяется нахождению условий, обеспечивающих устойчивость двухслойной схемы (7), и построению соответствующих априорных оценок. "

–  –  –

1. Операторные неравенства. При исследовании устойчивост операторно-разностных схем будет широко использоваться аппарат операторных неравенств. В этом пункте излагаются правила действий с операторными неравенствами и, в частности, устанавливаются некоторые предложения относительно их экви­ валентности .

Пусть Н — гильбертово пространство (действительное или комплексное), А и В —линейные операторы, действующие в этом пространстве. По определению неравенство А ^ В означает, что (Ах, х ) ^ ( В х, х) для всех х Н. Для операторных неравенств справедливы многие свойства обычных числовых неравенств .

Так, если А ^ В и В ~ ^С, то Л ^ С ; из условий А ^ В, C ^ D следует Л - f C ^ B-\-D и т. д .

Одно из основных свойств операторных неравенств устанав­ ливает следующая почти очевидная Л е м м а 1. Пусть L и Q— операторы, действующие в Н, причем, оператор L -1 существует. Тогда эквивалентны оператор­ ные неравенства о, (1) Q L *Q L 0. (2)

–  –  –

которое, согласно лемме 1, эквивалентно неравенству (4) .

В случае несамосопряженных операторов переход внеравен­ ствах к обратным операторам не эквивалентен. Имеетместо Л е м м а 3. Пусть С — оператор, действующий в гильбертовом пространстве Н и такой, что С0 = 0,5 (С + С*) а Е, а 0.(7 Тогда справедливо операторное неравенство

–  –  –

причем р " М 1 для всех п т 7 \ где М х 0 — постоянная, не зависящая от h, п, т .

Приведенное определение устойчивости соответствует так на­ зываемой равномерной устойчивости схемы (40) по начальным данным, т. е. устойчивости относительно возмущений, вносимых на каждом слое, а не только на нулевом. Устойчивость в смысле этого определения означает ограниченность (константой р) неко­ торой нормы оператора перехода S схемы (41). Так как то из (42) следует оценка II Уп || у0 Цд .

Связь между равномерной устойчивостью по начальным дан­ ным и просто устойчивостью по начальным данным обсуждалась в § 1, п. 4 .

Заметим, что схема, не являющаяся устойчивой в H D, может оказаться устойчивой в какой-либо другой норме. Следовательно, если получены какие-то необходимые и достаточные условия устойчивости в HD с постоянной р, то их невыполнение вовсе не означает, что схема (40) неустойчива и в любой другой нор­ ме D или с другой постоянной р .

Чаще всего мы не будем конкретизировать вид постоянной р, но иногда будем использовать постоянные p = ew, Р = 1, р = 1+ уг,

–  –  –

Е сли "р 0 —любое, то дляГ устойчивости в Н А необходимо и достаточно выполнение операторных неравенств (44)

–  –  –

т. е. схема (40) устойчива в Н л с постоянной р .

Обратно, если при любых у п Н выполняется оценка (49) или, что то же самое, оценка (48), то справедливо неравенство (47) .

Таким образом, выполнение оценки (47) необходимо'и достаточно для устойчивости схемы (40) в Н А с постоянной р .

Следующим шагом в доказательстве теоремы является пере­ ход от неравенства (47) для нормы оператора S к неравенетвам (43) и (44) между операторами исходной схемы (40). Так как С = Л,/2В""1Л ‘/2— самосопряженный оператор, то (47) эквивалентно операторным неравенствам (см. лемму 5) —p E ^. S ^. p E, или (5 0 Умножая каждое из неравенств (50) с обеих сторон на опе­ ратор Л _,/* (см, лемму 1), получим эквивалентные неравенства

–  –  –

вится лишним и для устойчивости необходимо и достаточно выполнение неравенства (43). Теорема доказана .

З а м е ч а н и е. Из теоремы следует, что условие положительности опера­ тора В необходимо для устойчивости схемы (40) в Ид .

Следующая теорема дает необходимые и достаточные условия устойчивости в Н в .

Т е о р е м а 2. Пусть в схеме (40) операторы А и В являются самосопряженными, не зависят от п и, кроме того, В — положи­ тельный оператор .

Тогда условия (44) необходимы и достаточны для устойчивости схемы (40) в Н в с любой постоянной р 0. Если р ^ 1 « Л 0, то условие (43) необходимо и достаточно для устойчивости схемы (40) в Н в .

Доказательство этой теоремы почти ничем не отличается от доказательства теоремы 1, поэтому только наметим его. В усло­ виях теоремы 2 схема (40) эквивалентна явной схеме (45) с х = В'/*у, С= В-1Г*АВ-Чш, а выполнение оценки (48) означает устойчивость в пространстве Н в. Оценка (47) нормы оператора перехода приводит к опера­ торным неравенствам (43) или (44) .

4. Случай несамосопряженных операторов. Рассмотрим тепер вопрос об устойчивости схемы (40) с несамосопряженным опера­ тором В. Для перехода от оценки нормы оператора S = E — тС к операторным неравенствам нам потребуется Л е м м а 8. Пусть С: Н —+ Н — положительный (несамосопря­ женный, вообще говоря) оператор, S — E —тС и р 0 — число .

Тогда условие С- Т 51

–  –  –

II S y II2 ^ II у II2+ (р2— 1) II у II2—Р2II */ II2, т. е. || 5 1 ^ р, что и требовалось .

| Учитывая лемму 8, нетрудно показать, что справедлива Т е о р е м а 3. Пусть в схеме (40) операторы А и В не зави­ сят от п, оператор А является самосопряженным и положительНЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ устойчивости 109 I ным, Тогда, если р ^ 1, то условие (43) достаточно для устойчи­ вости схемы (40) в Н А. Если 1, то это условие необходимо для устойчивости в НА. Условие В^0,5хА (55) необходимо и достаточно для устойчивости с постоянной р = 1 схемы (40) в НА .

Как и для теоремы 1, доказательство устойчивости схемы (40) в Н А сводится к получению оценки (47) нормы оператора S = E — тС, где С = A t/*B~1A t/* .

В отличие от ранее рассмотренного случая, оператор С не является теперь самосопряженным, и поэтому надо восполь­ зоваться леммой 8, которая и приводит к неравенству (55) .

Заметим, что совпадающие необходимые и достаточные усло­ вия устойчивости здесь удается получить только при р = 1 .

Сформулируем без доказательства следующую теорему .

Т е о р е м а 4. Пусть в схеме (40) операторы А и В не зави­ сят от п, = В * 0, оператор Л -1 существует .

Тогда условие

–  –  –

(см. замечание к лемме 4). Примеры использования условия (57) для проверки устойчивости конкретных разностных схем даны в § 3, п. 6 .

5. Метод энергетических неравенств. В случае р = 1 устойчи вость разностной схемы (40) весьма просто устанавливается с помощью метода энергетических неравенств. Примеры иссле­ дования устойчивости разностных схем методом энергетических неравенств уже приводились в гл. I, § 3, п. 5 .

Относительно схемы (40) предположим только, что Л = Л*— самосопряженный оператор, не зависящий от п. Остальные пред­ положения будут сформулированы позже .

НО гл. ii. устоЙчйбоСтЬ двухслоЙнкх }АЗнЬстнь1 dtEit Х [Ь

–  –  –

6. Перестановочные операторы. До сих пор мы нигде не тре бовали перестановочности операторов Л и Б. В случае переста­ новочных операторов можно исследовать устойчивость в более широком классе норм. Установим аналоги теорем 1—4 в предпо­ ложении перестановочности операторов А и В. Будем предпола­ гать, как всегда, что существует оператор Т е о р е м а 6. Пусть в схеме (40) операторы А и В —само­ сопряженные и постоянные, хотя бы один из операторов А или В положителен и, кроме того, А и В перестановочны, А В = ВА .

Пусть задан также любой самосопряженный положительный oneратор Д перестановочный с А и В. Тогда при р 0 условие

–  –  –

которые совпадают с (44). При р ^ 1 и Л 0 можно ограни­ читься неравенством (43). j Пусть теперь А 0, а оператор В не обязательно положи­ тельный (но В -1 существует). Тогда С — В ' 1А = A i/*B~1A th, оценка (47) эквивалентна неравенствам — рА - 1 А ~ 1— хВ~1 р Л " \ откуда, переходя к обратным операторам (см. лемму 2), полу­ чаем (44). При Л 0 и р ^ 1 первое из неравенств (44) всегда выполнено, и "его можно отбросить .

Итак, неравенства (44) необходимы и достаточны для того, чтобы решение задачи (46) удовлетворяло оценке (48). Но, по­ скольку xn = D1'*yn, оценка (48) означает устойчивость схемы (40) в HD. Теорема доказана .

Необходимо подчеркнуть, что в данном случае условие устой­ чивости не зависит от нормы, в которой имеет место устойчи­ вость. В частности, если выполнено условие (55), то схема (40) устойчива в любой норме H D, а если (55) не выполнено, то схема (40) неустойчива в любой из норм HD. В этом отличие от схем с неперестановочными операторами, где условие устойчи­ вости зависит от нормы H D .

В приложениях интересен случай, когда D есть степень оператора Л, т. е. D — A 1, 1= 0, 1, 2,... Если Л —самосопря­ женный положительный оператор, перестановочный с операто­ ром В, то теорема 6 дает оценку I! Уп+1 IU* ^ р || Уп ||л11= 0, 1,2,..., * (65) где 1М|л = К ( Л Ч ^)В случае несамосопряженного оператора В имеет место Т е о р е м а 7. Пусть операторы А и В не зависят от п и перестановочны, Л = Л * 0. Пусть задан самосопряженный поло­ жительный оператор D, перестановочный с А и В. Тогда, если р ^ 1, то условие (43), т. е .

–  –  –

Последнее неравенство эквивалентно, согласно лемме 1, условию (43), что и требовалось. Необходимость условия (43), а также необходимость и достаточность условия (55) доказываются ана­ логично .

Т е о р е м а 8. Пусть операторы А и В не зависят от п, перестановочны, В = В* 0 .

Пусть задан самосопряженный поло­ жительный оператор D, перестановочный с А и В. Тогда, если р ^ 1, то условие (56), т.е .

А - ^ - г ^ — В - 1, 1+ р

–  –  –

Устойчивость схемы (66) эквивалентна выполнению операторного неравенства S * S E y означающего, что норма оператора 5 не превосходит единицы. Нера­ венство S * S z E имеет в данном случае вид (Е-\-охА*)~1А* А (Е -\-охА)~1' ^ х (Е -\-gxA * ) * 1 А* А (Е + о х А ) - 1 и эквивалентно операторному неравенству А* (E-\-gxA)-\-(E-\-oxA*) А А*А, которое совпадает с (73) .

–  –  –

ного гильбертова пространства Hh. Необходимость в таком ис­ следовании возникает при изучении разностных схем для урав­ нений с комплексными коэффициентами, например для уравнений шредингеровского типа *d7 + = 0»

–  –  –

11^11ТТ?И& 1 и при р ^ 1 из (87) получим неравенство (83), эквивалентное (82). Лемма доказана .

Сформулируем теперь теоремы об устойчивости схемы (77) в комплексном гильбертовом пространстве Н (из которых следуют, в частности, и теоремы 3, 4 об устойчивости в действительном пространстве) .

Т е о р е м а 9. Пусть Н —комплексное гильбертово простран­ ство, А, В: Н -* Я —операторы схемы (77) .

Предположим, что А и В не зависят от п, оператор А является самосопряженным и положительным. Тогда условие

–  –  –

необходимо и достаточно для устойчивости схемы (77) в Нв с постоянной р = 1 .

Доказательство теорем 9 и 10 ничем не отличается от дока­ зательства аналогичных теорем в действительном случае. Схему (77) можно представить в виде явной схемы (78), где х = АЧ»у, С = А 1!‘В~1АЧг в условиях теоремы 9 и х = В '/'у, С = В - ‘М В - '/ .

в условиях теоремы 10. Следовательно, оценка (80) необходима и достаточна для устойчивости схемы (77) в НА, если выполнены условия теоремы'9, и необходима и достаточна для устойчивости в # в, если выполнены условия теоремы 10 .

Далее, используя лемму 9, получим, что если р ^ 1, то оценка (80) выполнена при условии (82), которое эквивалентно (88), если С = A it*B~1A il*, и эквивалентно (89), если С = В-,/гЛВ_,/« .

Подобным же образом доказывается и необходимость .

Аналогом теоремы 5 является Т е о р е м а 11. Пусть в схеме (77) оператор А не зависит от п и является самосопряженным. Тогда, если выполнено условие (81), то для решения задачи (77) справедливо неравенство (Ayn+ Уп+ i ) (,Ауп, уп), i п 0,1,... (91) Обратно, если при любых у п€.Н для решения задачи (77) выпол­ нено неравенство (91) и, кроме того, операторы А ' 1 и В~г су­ ществуют, то справедливо операторное неравенство (81) .

Для доказательства достаточно взять действительную часть тождества (58):

(В0 Ух) + Яе( Ау, yt) = 0, Уи и заметить, что Re (Ay, yt) = 0,5 [(Ау, у ) — (Ау, у)]/т— 0,5х(Ауи y t) (92) для любого самосопряженного оператора А. После этого повто­ ряются те же рассуждения, что и при доказательстве теоремы 5 .

В комплексном пространстве сохраняют свою силу и теоремы 6 — 8 об устойчивости разностных схем с перестановочными опе­ раторами. При этом теорема 6 остается без^каких-либо измене­ ний, а в теоремах 7 и 8 надо пользоваться условиями (88) и, соответственно, (89) .

Рассмотрим еще схему с весами ayt + oAyn+1 + ( l — o ) A y n = 0, (93) Г.це А —-лрнецный оператор, действующий в комплексном гиль?

120 [8

II. УСТОЙЧИВОСТЬ ДВУХСЛОЙНЫХ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ

i'J l .

бертовом пространстве Н и a = a 0-{-ia1, а = о0+ *о1— числовые параметры, a 0 = R e a, a0 = R eo, a, = I m a, a 1= I m a. Схема (93) имеет канонический вид (77) с В — а Е -\-т А, так что операторы А и В являются перестановочными .

Пусть А — самосопряженный положительный оператор. По­ скольку а и о — комплексные числа, то оператор В, вообще говоря, является несамосопряженным и условие устойчивости (81) имеет вид а 0Е-{-(а0— 0, 5 ) т Л ^ 0. (94)

–  –  –

Если условие (95) выполнено, то для задачи (93) имеют место, например, оценки (68) .

В случае несамосопряженного оператора А запишем схему (93) в виде Byt А у = О,

–  –  –

где Vj— число, комплексно сопряженное Vj .

Схема (98) есть частный случай схемы (93) при a = i и А у —.—у-хх. Поскольку А — самосопряженный в H h оператор, то можно воспользоваться условием устойчивости (94), которое при­ водит к неравенству а 0 ^ 0,5. Мы снова пришли к тому же ре­ зультату, который получили в гл. I, § 3, п. 8: все схемы (98) с а 0 ^ 0, 5 безусловно устойчивы (с постоянной р = 1), и все схемы (98) с с 0 0,5 неустойчивы. В отличие от гл. I, теперь можно говорить не только об устойчивости схемы (98) в среднем, но и об устойчивости, например, в энергетической норме

–  –  –

Действительно, из условия Л + Л * ^ 0 получаем А - i (Л + Л * ) ^ * ) - 1^ О, т. е .

(Л-1)0- 0,5 (Л- i + (Л-i)*) 0 .

Следовательно, D ( A ~ 1)0D ^ 0, (а0—0, 5 ) x D ^ 0 и условие (101) выполнено .

С л е д с т в и е 2. Пусть выполнены условия теоремы 12. Если А — самосопряженный оператор, то необходимым и достаточным условием устойчивости в H D является условие D + (o0— 0,5 ) т Л 0.

(102) Д л я доказательства умножим неравенство (101) с обеих сто­ рон на jD_1:

4 -» + (о0— 0,5) 0, и перейдем к обратным операторам (см. лемму 2). Тогда получим неравенство (102), эквивалентное (101) .

9. Устойчивость разностных схем с переменными операторами .

До сих пор предполагалось, что операторы Л и Б схемы (40) являются постоянными, т. е. не зависят от t — tn. Рассмотрим теперь двухслойную разностную схему B ( t ) y t + A ( t ) y = 0, t = tn €i)x, у(0) = у0 (103) с переменными операторами A( t), B(t): Я -* -Я, действующими в гильбертовом пространстве Я (действительном или комплексном) .

Будем обозначать A n = A ( t n), Bn = B ( t n) .

В этом пункте мы покажем, что если операторы Л„ и Вп удовлетворяют определенным условиям гладкости по t, то необ­ ходимые и достаточные условия устойчивости схем с постоянными операторами, полученные в пп. 3 — 8, обеспечивают также устой­ чивость схем с переменными операторами .

В п. 3 устойчивость разностной схемы (40) в пространстве HD с постоянной р определялась как выполнение оценки ФУн+v Уп+х) Р 2 (Dyn, Уп)» (104) где D — самосопряженный положительный оператор, константа р 0 такова, что величина р" ограничена при всех т, h, п .

Переходя к схеме с переменными операторами, естественно предположить, что и оператор нормы D зависит от t n, т. е .

D = Dn = D ( t n). Напомним, что такие нормы встречались при исследовании методом энергетических неравенств разностных схем для уравнений с переменными коэффициентами (например, в гл. I, § 3, п. 5 использовалась норма ||у Цд (tn) =

§ 2. НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ УСТОЙЧИВОСТИ

9] 123 В этом пункте будут установлены достаточные условия выпол­ нения оценок ( ^ n + ll/n + U Уп + 1) р2 №пУп Уп) (Ю 5) где Dn— самосопряженный положительный оператор. Как пра­ вило, будем брать Dn = Bn или Dn — А п, где А п и В п— опера­ торы схемы (103) .

Условие гладкости, которое используется в дальнейшем,— это условие липшиц-непрерывности операторов по t. Точнее, примем следующее определение .

Оператор D — Dn = D(t„) 0 удовлетворяет условию Липшица по t (липшиц-непрерывен по t), если существует постоянная с3 0, не зависящая от т, ft, п и такая, что при всех п = 1, 2,... и при каждом х Н выполняется неравенство | ((D (t „ ) - D (/„_,)) х, х) | с 3 (D (/„_,) х, х) .

т (106) Очевидно, что условие (106) эквивалентно операторным нера­ венствам (1 _ с,т) D (/„_,) D (tn) (1 + с 3т) D (/„_,). (107)

–  –  –

Для исследования устойчивости разностной схемы (103) с пе­ ременными операторами Л и В можно использовать тот же метод сведения к явной схеме, который применялся в п. 3 .

Предположим, что в схеме (103) оператор А самосопряжен­ ный и положительный и оператор В -1 существует. Применяя к (103) оператор А Ч *В ~ Х, получим уравнение A 4.y t + С (А '/гу) = 0, С = А Ч *В~1А 1»,

–  –  –

Т е о р е м а 14. Предположим, что оператор В в схеме (103) является самосопряженным, положительным и удовлетворяет усло­ вию Липшица (107). Тогда условие

–  –  –

что и требовалось .

В случае самосопряженного оператора А условия (112) и (114) эквивалентны (см. лемму 2), так что справедливо и второ*" утверждение теоремы .

З а м е ч а н и е. Теорема 14 не налагает никаких условий гладкоси на оператор А (/„) .

–  –  –

Заметим еще, что в теоремах 13 и 14 использовалось не все условие Липшица (107), а только неравенство (108) .

Рассмотрим теперь случай перестановочных операторов А и В, когда в схеме (103) А пВп = ВпА п, n = 0, 1,... (116) Напомним (см. п. 6), что если А и В не зависят от п, то при выполнении соответствующих условий устойчивости схема (103) устойчива в пространстве HD, где D — любой самосопря­ женный положительный оператор, перестановочный с А и В .

Аналогичная ситуация имеет место и в случае переменных опе­ раторов .

Т е о р е м а 15. Пусть в схеме (103) операторы А„ и Вп пере­ становочны при каждом п, оператор А самосопряженный и положительный.

Пусть задан самосопряженный положительный оператор Dn, удовлетворяющий условию Липшица (107) и пере­ становочный при каждом п с операторами А п и Вп:

DnAn = A nDn, BnDn — DnBn. (117) Тогда, если выполнено условие (112), то для решения задачи (103) справедлива оценка (D„yn+i, уп+1) р2 Ф„-гУп, Уп), п = 1,2,..., (118)

–  –  –

§ 3. Примеры исследования устойчивости разностных схем

1. Общие замечания. В этом параграфе на ряде несложны примеров будет показано, как применить изложенную выше общую теорию устойчивости к исследованию конкретных раз­ ностных схем .

Методика исследования устойчивости стандартна. Для задан­ ной разностной схемы вводится пространство Hh и выделяются операторы Л и В, т. е. схема приводится к каноническому виду 1) ( B y t + Ay = 0, у(0) = у0 .

После этого выясняется принадлежность схемы к тому йли иному семейству разностных схем (т. е. фактически проверяется выполнение условий одной из теорем 1— 12 § 2), а затем про­ веряется выполнение операторных неравенств, дающих необхо­ димые и достаточнее условия устойчивости. Если эти неравенства выполняются (при тех или иных условиях на шаги сетки и дру­ гие параметры схемы), то данная схема устойчива и для нее имеет место соответствующая априорная оценка .

Таким образом, исследование устойчивости разделяется на два основных этапа. Первый— исследование свойств самосопря­ женности и положительности «стационарных» разностных опера­ торов Л и В и второй— проверка выполнения операторных неравенств типа неравенства В ^ 0,5 т Л. Заметим, что введение сеточного пространства H h и выделение оператора Л проводятся по аналогии с исходной дифференциальной задачей. Обычно 5 Д. А. Самарский, А. В. Гулин 130 ГЛ. И. УСТОЙЧИВОСТЬ ДВУХСЛОЙНЫХ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ [2 оператор А является разностной аппроксимацией дифференци­ ального оператора Lx задачи

–  –  –

Индекс х означает, что оператор L действует лишь по прост­ ранственным переменным .

Оператор В определяет такие свойства разностной схемы, не связанные непосредственно со свойствами исходной задачи (2), как устойчивость и аппроксимация. При этом часто оператор В можно изменить, не нарушая устойчивости и аппроксимации разностной схемы, т. е. существует определенная свобода в вы­ боре оператора В .

В настоящем параграфе мы пользуемся определением устой­ чивости, сформулированным в гл. II, § 2, п. 3. При этом для простоты изложения рассматриваем лишь случай устойчивости с постоянной р = 1 .

Приведем таблицу (см. табл. 1), в которой суммированы результаты гл. II относительно устойчивости в действительном пространстве Я схемы (1) с постоянными операторами А, В и схемы с весами y t - \ - o A y + ( \ — o ) A y = 0, у(0) = у 0. (3) Эти условия необходимы и достаточны для устойчивости схем с постоянными операторами. Если же операторы зависят от t — tn, то для устойчивости достаточно выполнения этих условий при каждом t — t„ и условия липшиц-непрерывности оператора нормы .

2. Разностные схемы для уравнения теплопроводности. В ка~ честве первого примера рассмотрим уже знакомую нам схему с весами для уравнения теплопроводности (см. гл. I, § 3, п. 4) y t = aA yn+1 + ( l — a ) A y n, Ayi = y-X l, 1 » Л 7 — 1, \ $ = uo(x i) УФ tn) = y { l, t„) = 0, n = 0, 1,... (Nh=l). J Пространство Hh определяется здесь как множество сеточных функций y —yh(Xi), заданных на сетке соА и равных нулю при i = 0, i = N. Скалярное произведение и норма в Hh задаются формулами

–  –  –

что соответствует схеме с весами (4) лри а = 1 — 1/(2у). Сравни­ вая с (9), видим, что схема (10) устойчива при условии y ^ 0, 5 .

Это довольно необычное условие устойчивости, так как чаще всего встречаются схемы, устойчивые при условии ограничен­ ности величины у сверху (например, явная схема устойчива при у ^ 0, 5 ) .

2] § S. ПРИМЕРЫ иссЛедованйя устойчивости 133 Приведем примеры неустойчивых неявных схем для уравне­ ния теплопроводности. Рассмотрим схему (см. А. Ф. Клементьев [ 1])

–  –  –

т. е. А у = —у-х, В = Е — ~ ^А. Следовательно, схема (12)— частный случай схемы с весами (4), когда о = — 1/(4-у) .

Необходимым и достаточным условием положительности опе­ ратора В является, очевидно, условие (13)

–  –  –

Следовательно, при любом фиксированном (т. е. не зависящем от т и К) параметре 7 схема ( 12) неустойчива, так как при всех достаточно малых h будет выполняться неравенство, обратное (14) .

Исходя из (14), нетрудно получить и достаточное условие устойчивости схемы (12). Так как п р и О ^ ж ^ я / 2 справедливо неравенство t g x ^ 2 x / n, то

–  –  –

убеждаемся в том, что она аппроксимирует уравнение теплопро­ водности только в том случае, если у —*-0 при т —0, h- -0 .

Схема (17) имеет канонический вид (1) с

–  –  –

которое не выполняется при всех достаточно малых h (точнее, неравенство (19) выполнено только при h = 0,5, т. е. когда име­ ется только один внутренний узел сетки). Следовательно, схема (17) не является устойчивой ни при каких значениях параметра у .

В.

К- Саульев [1] привел следующий пример абсолютно неустойчивой схемы, аппроксимирующей уравнение теплопро­ водности:

–  –  –

Мы видим, что при всех достаточно малых h это неравенство не выполняется, и, следовательно, схема (20) неустойчива .

Абсолютно неустойчивой при любом фиксированном y = x/h2 является следующая явная схема для уравнения теплопровод­ ности (см.

Вильямсон [1]):

–  –  –

Условие устойчивости (18) принимает вид 0,5т + х ) М | а Ш 2 и выполняется только в том случае, когда шаги т и h связаны неравенством (14). Таким образом, неявная схема (12) и явная схема (21) имеют одно и то же условие устойчивости (15) .

Рассмотрим двухпараметрическое семейство схем

–  –  –

где = - р - sin2|— ( = 1,2,..., N — 1)— собственные значения оператора (5). Неравенство (31) выполнено при условии 7= -^, (33)

–  –  –

3. Уравнение теплопроводности с переменными коэффициен тами. Нетрудно применить теорему 1 из § 2 к исследованию устойчивости разностных схем, аппроксимирующих уравнение теплопроводности с переменными коэффициентами

–  –  –

то схема (36) устойчива в НА при условии 4 0 В частности, все схемы с 0,5 абсолютно устойчивы .

Рассмотрим теперь уравнение теплопроводности специального вида:

–  –  –

Для этого уравнения удается построить явную схему, устой­ чивую при том же условии т ^ 0,5 /г 2, что и для уравнения с постоянными коэффициентами ц (х) = 1 .

По коэффициенту р (х) построим разностный коэффициент теплопроводности af, неотрицательный и удовлетворяющий усло­ вию второго порядка аппроксимации (см. гл. I, § 1, п. 2) а,- — -f-О (/i2), (42) Исходной задаче (41) сопоставим разностную схему

–  –  –

Из условий (42) и (44) следует, что р,-==ц, -)-0(/12), и поэтому схема (43) имеет порядок аппроксимации 0 ( r - \- h 2) .

Исследуем устойчивость схемы (43). Эта схема имеет кано­ нический вид (1) с операторами (45) Уже неоднократно было показано, что А — самосопряженный и неотрицательный оператор (если ai ' ^ c l 0, то А — положи­ тельно определенный оператор). Условие устойчивости (18) при­ нимает вид (р, у2) —0,5т(а, У \\ 0. (46) Докажем оценку

–  –  –

которое в нашем случае (р; —0,5 (a,--f а,-+1)) выполнено при 0,5ft2, что и требовалось доказать. Устойчивость имеет место в норме пространства Н А, т. е. в норме

–  –  –

Эту схему можно записать в каноническом виде (1), если ввести операторы (68)

–  –  –

Следовательно, неравенство (70) будет выполнено, если потре­ бовать 7 1

–  –  –

и никогда не выполняется .

Отметим, что выполнение неравенства (74) из § 2 необходимо и достаточно для устойчивости с постоянной р = 1. Если оно не выполнено, то схема может оказаться устойчивой с другой постоянной. Покажем, например, что схема (87) устойчива с по­ стоянной р = е0,5с« при условии т

–  –  –

Так как второй сомножитель в (95) неотрицателен при любых У € H h, то необходимым и достаточным условием устойчивости схемы (90) является условие v2^ 1, т. е .

–  –  –

т. е. условие В ^ 0, 5 т Л ^ 0 выполнено при любых т и h, в то время как схема устойчива лишь при т | а | ^ А .

Рассмотрим еще явную схему второго порядка аппроксимации п о т и Л (см. гл. I, § 3, п.

3):

–  –  –

(101) где 7 = та/ft. Условие устойчивости (93) принимает вид (1 —Y2) 11^7*11*^0 и выполняется при | у | ^ 1. Таким образом, схемы (90) и (98) устойчивы при одном и том же условии (97) .

6. Краевая задача для уравнения переноса. Рассмотрим кра вую задачу

–  –  –

имеющая аппроксимацию О (т2-f- /га), является частным случаем схемы (104) при с = 0,5(1 — 1/у). Из условия (108) видно, что схема (110) абсолютно устойчива .

Наконец, схеме (104) эквивалентно двухпараметрическое се­ мейство схем

–  –  –

Таким образом, Л0— неотрицательный оператор, (Л0г/, г/] = = 0,5 г /^ ^ 0. Заметим еще, что оператор Л -1 существует (в этом можно убедиться непосредственно, решив уравнение A y = v) .

Переходя к оператору В, перепишем выражения (117) в виде

–  –  –

т. е. D — положительно определенный оператор .

Поскольку имеет место представление (120), где D — самосо­ пряженный положительный оператор, и Ло^ 0, то, согласно теореме 12 из § 2, схема (115) устойчива при любых т и ft и для ее решения справедлива оценка нг - 1] ил, где ||if‘\\ = V(Dy", у"), выражение для (Dy1, у*] определяется согласно (122) .

Рассмотрим еще одну разностную схему:

–  –  –

Умножая (127) на тh и суммируя по i от 1 до N, по п от 0 до ti0— 1, получим оценку, выражающую устойчивость схемы (125) по начальным и гра­ ничным данным:

–  –  –

где А — симметричная положительно определенная матрица .

Следующее замечание относится к исследованию устойчивости разностных схем с переменными коэффициентами и на неравномерных сетках. Будем для простоты изложения рассматривать задачу Коши

–  –  –

с шагами Л/ = лг/— л:/— и определим Яд как множество функций, заданных

- х на сод и равных нулю при достаточно больших | t |. .

Уравнение (130) аппроксимируем разностной схемой

–  –  –

УСТОЙЧИВОСТЬ ДВУХСЛОЙНЫХ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ

ПО ПРАВОЙ ЧАСТИ

В настоящей главе получены априорные оценки, выражающие устой­ чивость (в различных нормах) двухслойных разностных схем по пра­ вой части. Полученные в § 1 оценки справедливы при тех же условиях на операторы разностной схемы, которые необходимы и достаточны для устойчивости по начальным данным. В § 2 получены достаточные усло­ вия устойчивости и априорные оценки для разностных схем с несамосо­ пряженными операторами. В § 3 устойчивость разностных схем по пра­ вой части исследуется методом разделения переменных. Кроме того, в этом параграфе изучается асимптотическая устойчивость разностных схем по начальным данным .

§ 1. Априорные оценки для двухслойных разностных схем

1. Сведение схемы общего вида к явной схеме. Будем ра сматривать двухслойную разностную схему Byt + Ay = q, у0 задан, (1) где А = A (tn), B = B(t„)— операторы, действующие в гильбер­ товом пространстве Нн, ф = ф„ = ф ( 0 — заданная функция ди­ скретного аргумента t = tn со значениями в Нн .

Определение устойчивости разностной схемы (1) по правой части и некоторые утверждения общего характера относительно связи между устойчивостью по начальным данным и устойчиво­ стью по правой части были изложены в гл. II, § 1. Однако поскольку там рассматривалось произвольное нормированное пространство, то не было сформулировано достаточно простых критериев устойчивости. Теперь, предполагая, что H h— конечно­ мерное гильбертово пространство, мы получим условия устойчи­ вости по правой части, им'еющие тот же вид, что и необходимые и достаточные условия устойчивости по начальным данным (см .

гл. II, § 2). Существенно, что все полученные в этом пункте и в пункте 2 оценки не налагают дополнительных ограничений на операторы разностной схемы и имеют место при тех же ус­ ловиях, которые необходимы и достаточны для устойчивости по начальным данным .

В дальнейшем будет часто использоваться 1] 1. 159

§ АПРИОРНЫЕ ОЦЕНКИ ДЛЯ ДВУХСЛОЙНЫХ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ

–  –  –

т. e. неравенство (3) выполнено и при п = р + 1 .

Оценки решения задачи (1) через начальные данные и правую часть можно получить тем же способом сведения к явной схеме, который использовался в гл. II, § 2, п. 9.

Предположим, что оператор A = A(t„) в схеме (1) является самосопряженным, по­ ложительным и удовлетворяет условию Липшица по t:

( ( A i t J — A i t ^ y, y ) ^ x c a( A ( t n. 1)y, у), п=1,2,..., (4) ИЛИ

–  –  –

По аналогии с теоремой 1 доказывается следующая теорема об устойчивости в Н в .

Т е о р е м а 2. Пусть в схеме (1) оператор B ( t n) является само­ сопряженным, положительным и удовлетворяет условию Липшица (4) .

Тогда, если выполнено условие устойчивости (12) с постоянной р = е0, со^ 0, то для решения задачи (1) справедлива оценка ^

II Уп+1 I k P"+1 II Уо l k + 2 fP " “ * IIФ* IIbj-i, (13)

где p = ec°r, c0= c0-j-c3/2, co^ 0, c3— постоянная"* из (4). Если и оператор A (t ) является самосопряженным, т о'для?оценки (13) достаточно выполнения условия (8) .

2. Метод выделения стационарных неоднородностей. Недоста ком оценки (11) является сложность нормы правой части. Сейчас, предполагая, что выполнены условия теоремы 1, получим оценку, в которую вместо нормы (ЛВ-1ф, B ~ ‘q входит более простая )tf* норма (Л -1ф, р),/2 и такая же норма производной j = (р„— Ф„_1)/т p Для этого будет использован метод выделения стационарных не­ однородностей (см. А. А. Самарский, И. В. Фрязинов [1], А. А. Самарский [1]) .

Предположим сначала, что оператор Л не зависит от t .

Представим решение задачи (1) в виде суммы yn+i = vn+1+ w n+1, п = 0,1,..., (14)

–  –  –

Наконец, используя неравенство треугольника, из (14) полу­ чаем следующую оценку решения задачи (1):

II Уп+1 IU Pn+1 II Уо IU + Pn+1 II Фо I U - + 1| ф„ ||л-« +

–  –  –

Т е о р е м а 3. Пусть в схеме (1) оператор A( t) удовлетворяет условию Липшица (5), является самосопряженным и положитель ньт .

Тогда, если выполнено условие устойчивости (8) с постоянной р = ес°Т, с0^ 0, то для решения задачи (1) справедлива оценка

–  –  –

где р = ес°т, с0 = с0 + с3/2, с3— постоянная из условия Липшица (5) .

Доказательство этой теоремы почти такое же, как и для посто­ янных операторов, но содержит новый момент, связанный с исполь­ зованием леммы 2 .

Ищем решение задачи (1) в виде (14), где wn+1 есть решение уравнения Aj0n+i = fn п = 0,1,..., = (21)

–  –  –

Выражение, стоящее в неравенстве (27) под знаком суммы, можно несколько упростить, налагая дополнительные условия на параметр а. Так, если с ^ О, то Е -\-axAk ~^ Е и, следова­ тельно, (Е + охАк)~1^. Е. Поэтому норма оператора (Е + а х А ^ 1 не превосходит единицы, и мы имеем ||( + охАк) - г ф А | k = ||( + axAk)" М * /г ф* || || ф А ||л * .

Итак, если выполнено условие (26) и, кроме того, о ^ О, то справедлива оценка

–  –  –

при любых у Н с константой Д(0 не зависящей от т и h .

В частности, если A ( t ) — самосопряженный положительный опе­ ратор, то неравенство (46) выполняется при Д (t) = || Л (t) || .

Пусть параметр а удовлетворяет условию

–  –  –

Из (49) и (50) и следует оценка (48) .

4. Метод энергетических неравенств. Ряд новых априорны оценок для неоднородного уравнения (1) может быть получен методом энергетических неравенств, применение которого к ис­ следованию устойчивости по начальным данным мы рассматри­ вали в гл. II, § 2, п. 5. Представим решение задачи (I) в виде суммы y ( t) = у ( / ) + y(t), где y ( t ) — решение однородного урав­ нения Byt + A y = 0, 0 г = *„€сох, У(0) = У0, (51а)

–  –  –

Дальнейшее изложение проведем в предположении, что А — постоянный (не зависящий от t = t^) самосопряженный положи­ тельный оператор, Л = Л * 0. Так как для самосопряженного оператора (А (у + у), у — у) = (Ау, у ) — (Ау, у), то получаем энергетическое тождество

–  –  –

(67) .

Тем самым доказана Т е о р е м а 5. Если выполнено условие + 8 0,

–  –  –

Выбирая е = 1/(2/„) из условия минимума коэффициента е2е«/е, получим неравенство (69). Оценка (69) грубее оценки (20), най­ денной методом стационарных неоднородностей .

Перейдем теперь к оценкам решения в Нв. Нам понадобится новое энергетическое тождество. Перепишем уравнение (516) в виде (В—xA)yt + Ay = (p и умножим его скалярно на 2ту. Если В и А — самосопряженные постоянные операторы, то 2т((В— х А ) у и у) = т ( ( В —тА)у, y)t - ^ t2((B—rA )y t, yt)

–  –  –

5. Примеры исследования сходимости разностных схем. Пол ченные в настоящем параграфе оценки решения разностной задачи через ее правую часть позволяют провести исследование сходимости разностных схем .

Проиллюстрируем это на ряде примеров, в которых для оценки погрешности аппроксимации г|) используются нормы || ар ||,

–  –  –

убеждаемся в равномерной сходимости схемы (77) со скоростью 0(тт°-\-Н2) при условии (90) .

З а м е ч а н и е. Сходимость схемы (77) в С при о = 0 и т :0,5 Д 2 м ож н о доказать с помощью принципа максимума. Запишем систему уравнений (79) в виде

–  –  –

Д ля уравнения теплопроводности рассмотрим задачу о сосре­ доточенном источнике тепла. Пусть во внутренней точке | отрезка O ^ x ^ l помещен источник тепла мощности q, а при х = 0 и х = 1 заданы краевые условия первого рода. Уравнение имеет вид 9 1 )

–  –  –

то [ w ],. s = °Введем неравномерную сетку (оЛ и поместим узел х = х п в точку х =. Рассмотрим, например, неявную схему с о = 1 .

Во всех узлах, кроме i = n, имеем однородное уравнение

–  –  –

В силу леммы 4 из § 1 отсюда следует неравенство если выбрать е0 = 1 п 0 .

Пользуясь неравенством треугольника, получим из (7) и (8) искомую оценку (5) .

З а м е ч а н и е. Случай переменного оператора Л0 — Л 0 (t) исследуется аналогично в предположении липшиц-непрерывности Л0 по t .

–  –  –

После подстановки сюда x k = B l*ук, фА= 5 _,/*фк убеждаемся в том, что верна Т е о р е м а 4. Пусть оператор В — В* у 0 не зависит от t .

Если a V 2, то схема (18) с кососимметричным оператором А 1 устойчива и для нее верна оценка

–  –  –

Выберем сг из условия минимума функции (с,) = сЦ(с1—с») при с * 0. Этот минимум имеет место при сг = 2с* и равен 4с» .

Если же с* = О, то сг 0 произвольно и его можно положить равным 8, сх= е. К неравенству

–  –  –

Положим x = t k и учтем, что (Сх, х) = (Clk, l k) = K (lk, l k) =Kk, так как | | | ft||2= l. В результате получим (12) .

2) Пусть выполнено условие (12). Возьмем произвольный вектор х Н, разложим его по собственным векторам опера­ тора С:

–  –  –

Перейдем теперь к выводу априорных оценок, содержащих негативные нормы (нормы в Н а - 0 правой части Ф и ее произ­ водной по t .

Т е о р е м а 2. Пусть С* = С 0 и выполнено условие (13) .

Тогда для схемы (2) имеет место априорная оценка

–  –  –

р-устойчивости 1 Ы |0 Р " 1 Ы Ь двухслойной схемы (26) с самосопряженными операторами А я В (.D = A или D = B). Так как р = ес°т, то функция pn-=ec°fл огра­ ничена при tn —+oo лишь при с0^ 0 .

Известно, что решение уравнения теплопроводности асимпто­ тически устойчиво при t —*оо. Рассмотрим, например, первую краевую задачу

–  –  –

Ясно, что при написании разностных схем должно соблю­ даться требование близости функциональных свойств разностного и соответствующего дифференциального операторов. Такими свой­ ствами являются, например, самосопряженность и знакоопреде­ ленность. Если речь идет о нестационарном уравнении, то есте­ ственно требовать, чтобы выполнялись разностные аналоги ти­ пичных априорных оценок для дифференциального уравнения .

Так, например, для схем, соответствующих уравнению тепло­ проводности, естественно требовать выполнения оценки

–  –  –

если выбрать x = x0 = h/]/r8A ta h /л. Для схемы с ст=1 имеем = 0 (т -f-ft2). Схема сильно искажает решение уравнения тепло­ проводности при больших t„. Чтобы повысить точность, надо уменьшать шаг т с ростом tn (все оценки верны при переменном шаге т = т„), что лишает схему ее достоинств .

В качестве характеристики асимптотической точности схем введем отношение qn = pnle~Xiin = e tr&. (36)

–  –  –

Покажем, что F ((г *) F (ц^) при О ^ ц ^ г^|х, ц. = |/ 2, т. е .

Т (|л) = со2 (р), принимает наибольшее значение при (x = fx1. Для этого достаточно показать положительность разности

–  –  –

Построим сначала априорную оценку для (46), предполагая, что С: Н —уН, С * = С 0, Н — конечномерное пространство со скалярным произведением (и, о) и нормой | | и | | = К ( «, «)• Оператор С имеет конечное число собственных значений Хк, k = \, 2........... N, которым соответствуют ортонормированные собственные функции (lk, U = k, т = 1,2......... N .

Решение задачи (46) имеет вид N

–  –  –

Увеличение М 1^ 0, 5 означает ухудшение точности схемы, кото­ рое сказывается тем сильнее, чем больше промежуток времени (О, t„ = nx). Тесная связь устойчивости и точности была показана в пп.2, 3 на примерах асимптотической устойчивости .

Найдем условия, при которых для рассмотренных ранее схем выполняется оценка (60). Пусть \ik = x \k, Xk—собственное значе­ ние оператора А, со*—собственное значение оператора перехода рассматриваемой схемы. Тогда оценка (60) выполняется при условии &« (м) = Ц r S ? (1 - ® 2 ") Mt .

–  –  –

УСТОЙЧИВОСТЬ МНОГОСЛОЙНЫХ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ

В главе IV получены необходимые и достаточные условия устойчивости по начальным данным трехслойных разностных схем общего вида и не­ которых классов четырехслойных и пятислойных разностных схем .

Исследование устойчивости проводится путем сведения многослойной схемы к эквивалентной двухслойной схеме, определенной в некотором вспомогательном пространстве. В §§ 1, 2 изучаются трехслойные разно­ стные схемы, в § 1 получены достаточные условия устойчивости по начальным данным и по правой части, в § 2 -—необходимые и достаточ­ ные условия устойчивости по начальным данным. В § 3 исследуется устойчивость четырехслойных и пятислойных разностных схем. В § 4 на основе общей теории выясняются условия устойчивости некоторых трех­ слойных разностных схем, аппроксимирующих дифференциальные урав­ нения и системы уравнений .

§ 1. Достаточные условия устойчивости и априорные оценки для трехслойных разностных схем

1. Пространство Н т. При исследовании устойчивости мно слойных разностных схем удобно ввести в рассмотрение понятие прямой суммы нескольких пространств .

Пространство Н т= Н @ Н ®... 0 # (прямая сумма т экзем­ пляров пространства Н ) определяется как множество векторов вида х = {х1, х 2,..., хт\, х а Н, а = 1, 2,..., т,

–  –  –

2. Определение устойчивости многослойной разностной схемы .

В предыдущей главе мы определяли двухслойную разностную схему [как операторно-разностное уравнение первого порядка с операторами, действующими в некотором линейном простран­ стве Hh. Аналогично, будем называть ( т + 1)-слойной разностной схемой семейство операторно-разностных уравнений т-го порядка

–  –  –

Таким образом, каждую m-слойную схему можно трактовать как некоторую двухслойную схему с операторами, действующими в пространстве Н т. В соответствии с этим устойчивость т-слойной схемы (9) определяется как устойчивость эквивалентной ей двухслойной схемы (10) (см. гл. II, § 1, п. 3) .

Назовем разностную схему (9) устойчивой, если для ее реше­ ния уп = {у", у п+1,..., у п+т~1} при любых начальных данных Уо~{У° У1 •••Ут~1 и любых правых частях фп Н выпол­ ’ ) няется оценка II У п ||(1п M i II У о lid») + M *Qn [ ф ], (12) где ||г/*||(1к)— какая-либо норма в пространстве Н т, Qn [ф = ] — Qn [ф°, ф1, •••, ф"-1] — функционал от ф= {ф, ф1,..., ф" ~ 1}, ° обладающий свойствами нормы, 0, М 2 0 — постоянные, не зависящие от т и h .

Так же, как и в случае двухслойной схемы, можно разли­ чать устойчивость многослойной схемы (9) по начальным данным и по правой части (см. гл. II, § 1, п. 1) .

Априорные оценки вида (12) установлены для трехслойных схем (т = 2) в §§ 1, 2, а для четырехслойных и пятислойных схем — в § 3. В этих оценках норма ||-||(iB порождена некоторым ) самосопряженным положительным оператором SDn\ Н т-+Н'п .

3. Линейные операторы в пространстве Н 2. В п. 1 бы получены условия самосопряженности операторов, действующих в пространстве Н т. Более сложной является задача нахождения условий неотрицательности (или положительности) самосопря­ женного оператора ^? = (^?„р): Н т -+ Н т. Эта задача аналогична задаче о получении необходимых и достаточных условий поло­ жительной определенности симметричной матрицы, что решается, как известно, с помощью критерия Сильвестра (см., например, Ф. Р. Гантмахер [1]). В операторном случае элементы матрицы = ) неперестановочны, а это существенно усложняет иссле­ дование. Более близко наша задача примыкает к задаче о выяс­ нении положительной определенности блочных матриц .

Ниже мы рассматриваем несколько частных случаев (доста­ точных, впрочем, для дальнейшего изложения), в которых удается найти критерии неотрицательности самосопряженного оператора 222 ГЛ. IV. УСТОЙЧИВОСТЬ МНОГОСЛОЙНЫХ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ [3

–  –  –

Вернемся к разностной схеме (8), предполагая по-прежнему, что р = 1. Обозначим через сп (со) и GA (а») преобразования Фурье x функции уп (л:) и оператора соответственно. Применяя к урав­ нению (8) преобразование Фурье, получим уравнение cn+i(o) = GAx(G))c„(c0), (20) которое называется преобразованием Фурье схемы (8). Уравне­ ние (20) имеет существенно более простую структуру по срав­ нению с (8): оно не содержит пространственных ^ разностных операторов, матрица Ghx (о) является числовой матрицей.

Учи­ тывая ( 9 ) и ( 1 7 ), видим, что матрица G Ai: ( co) получается из опе­ ратора Sfa заменой операторов Т 1 на их преобразования Фурье:

–  –  –

Доказательство этой теоремы можно найти, например, в кни­ ге Р. Рихтмайера и К- Мортона [1]. Условия устойчивости, при­ веденные в теореме Крейса, трудно проверить непосредственно для заданной конкретной схемы, однако эта теорема оказы­ вается полезной в некоторых теоретических рассмотрениях .

Уточнения, новые доказательства и обобщения некоторых ут­ верждений теоремы Крейса содержатся в работах Мортона [1], Мортона и Шехтера [1], Миллера и Стрэнга [1]. Близкие воп­ росы рассматривались в работах Като [1], Таусски [2], Баченана и Парлета [1]. Другие необходимые и достаточные условия ограниченности степеней матриц получены в работе Баченана [1] .

Имеются обобщения методики, изложенной в п. 2, на случай переменных коэффициентов, когда оператор перехода задается формулой (Sv)(x) = ^ a l ( x ) T i v(x). (27) i Так как коэффициенты at зависят от х, то преобразование Фурье к схеме (8) применить нельзя. Вместо этого рассматривают ма­ трицу б Лт(со, x) = '2jdl (x)ei ((i)'hil' +---+(0i'hplp\ (28) i называемую символом оператора S и совпадающую в случае по­ стоянных коэффициентов с его преобразованием^Фурье. Условия

ОБ ЗО Р РАБОТ ПО УСТОЙЧИВОСТИ РАЗНОСТНЫ Х СХЕМ

4] § 3. 373

–  –  –

4. Гиперболические системы уравнений. Весьма обширная л тература посвящена изучению разностных схем, аппроксими­ рующих задачу Коши для гиперболических систем уравнений первого порядка. Будем рассматривать системы уравнений вида

–  –  –

где A Я.J,,2, Хт — действительные числа. Часто в определение гиперболичности включается требование при Задача Коши для гиперболической системы уравнений кор­ ректна в Ь2 .

Отдельные разностные схемы для гиперболических уравнений были предложены и изучены в работах О. А. Ладыженской [1], [2], Куранта, Изаксона и Риза [1], Фридрихса [1], Лакса [1], [2], С. К- Годунова [1]—[3], Вендрофа [1], В. С. Рябенького [1] .

Фридрихе [1] рассматривал уравнение (29) с симметричными матрицами А а (х ) и явные разностные схемы для него, имеющие вид Уп+Лх) = ' а 1(х)уп {х + Ш), (31) / где уп {х) — вектор размерности т, аг (х)— матрицы т х т. Он установил, что схема (31) является устойчивой в L2 по началь­ ным данным, если выполнены следующие условия (критерий Фридрихса): все матрицы аг (х) симметричны, положительны и липшиц-непрерывны по х, а их сумма равна единичной матрице, т. е. ^ a t (x)^=E .

–  –  –

и Т. В. Шишовой [1] построены нелинейные монотонные схемы второго порядка точности для уравнения переноса .

Крейс [5] поставил задачу получения таких достаточных условий устойчивости схемы (31), аппроксимирующей систему (29), которые формулировались бы в виде ограничений только на соб­ ственные значения Xk (G (о, х)) матрицы перехода. Им было по­ казано, что если разностная схема (31) аппроксимирует исходную систему уравнений с порядком 2г — 1, г = 1, 2........ и имеет дис­ сипацию порядка 2г, т. е .

| ( G(со, * ) ) | 1— 6 1со|2Г, k = 1,2,..., т, |со| я, (33) где б 0 не зависит от х и ю, то разностная схема устойчива в L2:

II Уп II М\\ у 01| .

При этом предполагалось, что матрицы А а (х) и а{ (х) эрмитовы и липшиц-непрерывны по х. Парлет [1] дал другое доказатель­ ство этой теоремы и рассмотрел случай аппроксимаций четного порядка .

Разностные схемы третьего порядка аппроксимации для ли­ нейных и нелинейных гиперболических уравнений первого по­ рядка рассматривал В. В. Русанов [1] .

Разностные схемы высокого порядка точности для гиперболи­ ческих систем уравнений изучались в работах Стрэнга [2], [3], Робертса и Вейса [1] .

В работах Ю. И. Шокина и Н. И. Яненко [1], Н. И. Яненко и Ю. И. Шокина [1] введено понятие первого дифференциального приближения разностной схемы .

Для построения первого дифференциального приближения надо разложить разностные операторы, входящие в схему, по параметрам h и т и отбросить слагаемые, имеющие второй и выше порядок малости. Например, для схемы 3 4 имеем

–  –  –

уравнение (35) принимает вид (36) Уравнение (36) корректно, если -^-— 1 ^ 0, т. е. т А, что совпадает с усло­ вием устойчивости схемы (34). В цитируемых работах показано, что в опре­ деленных случаях устойчивость разностных схем, аппроксимирующих гипер­ болические системы уравнений первого порядка, эквивалентна корректности их первых дифференциальных приближений .

5. Другие способы исследования устойчивости разностной з цачи Коши. В ряде работ устойчивость разностных схем для задачи Коши исследуется с помощью построения асимптотики фундаментальных решений разностной задачи .

В работах С. И. Сердюковой [1] — [4] получены необходимые и достаточные условия устойчивости в С разностных схем с по­ стоянными коэффициентами. Основным аппаратом здесь является дискретное преобразование Фурье и построение асимптотики разностной функции Грина .

Так, в [1] рассматривается разностная задача Коши

–  –  –

с постоянными действительными коэффициентами at. Применяя к (37) преобразование Фурье (38)

–  –  –

Итак, исследование устойчивости разностной задачи Коши в С сводится к изучению поведения функции Г" при больших п .

В работах С. И. Сердюковой [1] — [4] при различных предпо­ ложениях получена асимптотика интегралов вида (41) и на этой основе исследован вопрос об устойчивости и неустойчивости ряда разностных схем. В работе [1] выясняется, при каких условиях схема (37), устойчивая в /2, будет устойчивой или неустойчивой в С. В работе [2] эти результаты обобщаются на неявные схемы 2 а}У?и= 2 Ф?+1 (46) \l\k \l\k с постоянными действительными коэффициентами. В работе [3] исследована устойчивость в С разностных схем, аппроксимирую­ щих уравнение теплопроводности. В [4] рассматриваются системы разностных уравнений с комплексными коэффициентами (т. е .

случай, когда в (46) *//+/— векторы, а} и а? — матрицы) .

Аналогичное исследование для случая многих пространствен­ ных переменных провел М. В. Федорюк [1]. Устойчивость раз­ ностных схем в норме С изучалась также в работе В. П. Мас­ лова [1] .

В работе С. И. Сердюковой [5] изучается устойчивость в 12 одного класса разностных краевых задач, аппроксимирующих гиперболическую систему уравнений первого порядка .

Исследование устойчивости в С задачи Коши для разностных схем, аппроксимирующих уравнения и системы уравнений пара­ болического типа, содержится в работах Аронсона [1], [2] и Видлунда [2]. Эта группа работ связана с развитием и усовершенство­ ванием методики Джона [1] (см. В. Вазов и Дж. Форсайт [1]), ко­ торый изучил устойчивость явной двухслойной схемы для общего параболического уравнения с одним пространственным перемен­ ным. Аронсон [1], [2] рассмотрел затем неявные разностные схемы для того же уравнения и некоторые двухслойные схемы для парабо­ лических систем уравнений высшего порядка. Упомянутые работы Аронсона основаны на построении фундаментальных решений разностных задач. Видлунд [2] исследовал устойчивость в С одного общего класса неявных многослойных схем, аппроксими­ рующих задачу Коши для параболических систем уравнений произвольного порядка. Устойчивость в Ь2 этих же разностных схем была исследована в более ранней работе Видлунда [1] .

Построению устойчивых разностных схем, аппроксимирующих задачу Коши для произвольных корректных систем уравнений в частных производных, посвящена работа А. М. Ильина [1] .

В работах Н. Н. Кузнецова [1] — [5] введено понятие слабой устойчивости разностных схем (т. е. устойчивости в некоторой сла­ бой топологии). Решениями слабо устойчивых схем могут быть, на­ пример, неограниченно растущие функции. Такое обобщение поняГЛ. V. ДОПОЛНЕНИЕ 380 [6 тия устойчивости представляется целесообразным при изучении разностных схем, аппроксимирующих дифференциальные уравне­ ния с негладкими решениями (например, для гиперболических систем уравнений с разрывными начальными данными). Показано, что при соответствующем введении понятий аппроксимации и сходимости остается справедливым утверждение о том, что из устойчивости и аппроксимации следует сходимость. Исследование сходимости в работах Н. Н.

Кузнецова [1] — [5] основано на построении асимптотики оператора погрешности h (/), зада­ ющего отображение решения и (t ) дифференциальной задачи в решение yX h (t ) разностной схемы:

t &,а(0 =..* « (* )• Укажем обзорную работу Томэ [5], посвященную теории устой­ чивости разностных схем, аппроксимирующих задачу Коши для уравнений с частными производными. Здесь получены, в частности, оценки решений разностных задач в нормах С, L pi W™ .

6. Исследование устойчивости нестационарных краевых зада Наиболее распространенными способами исследования устойчи­ вости разностных краевых задач являются метод разделения пере­ менных, метод энергетических неравенств и методы, основанные на принципе максимума .

Многочисленные примеры применения метода разделения пере­ менных к исследованию устойчивости разностных схем с постоян­ ными коэффициентами можно найти в книгах В. С. Рябенького и A. Ф. Филиппова [1], И. Г. Петровского [2], В. К- Саульева [1] .

Методом разделения переменных пользовались при изучении разностных задач П. И. Коваль [1], [2] (схемы для одномерного уравнения теплопроводности, для уравнений колебания струны и стержня), Миньо [1] (уравнение теплопроводности с коэффициен­ том теплопроводности, зависящим от х и t) и другие авторы .

Разностные схемы для многомерного уравнения теплопроводности исследовались с помощью метода разделения переменных в работе Дугласа и Гана [1] и в работе А. А. Самарского [7] .

Следует отметить, что во всех перечисленных работах рас­ сматривались лишь самосопряженные краевые задачи, так как в случае несамосопряженных задач метод разделения переменных не­ применим .

В работах С. К- Годунова и В. С. Рябенького [1] — [3] и B. С. Рябенького [2] — [4] проведено исследование устойчивости несамосопряженных разностных краевых задач на основе изучения спектра семейств операторов перехода. В этих работах введено следующее определение. Точка s принадлежит спектру семейства операторов {5Л}, если для любого е 0 существует элемент y H h 6] § 3. ОБЗОР РАБОТ ПО УСТОЙЧИВОСТИ РАЗНОСТНЫ Х СХЕМ 381 такой, что при всех достаточно малых h выполняется неравенство II S hy — sy || ^ е || г/|| .

В книге С. К. Годунова и В. С. Рябенького [1] доказано, что для устойчивости схемы (2) (т. е. для равномерной по h и по п ограниченности норм степеней оператора перехода, ||S g ||^ A f ) необходимо, чтобы спектр семейства операторов {5Л} лежал в еди­ ничном круге, | s | ^ l. В. С. Рябенький [2] показал, что условие s | ^ 1 близко к достаточному условию устойчивости, а именно | || ^ М (е) (1 -j-е)" при любом, е 0, если м 1. Примеры вычисления спектра семейств разностных операторов содер­ жатся в работах В. С. Рябенького [2] — [4], где можно найти также дальнейшие ссылки и историю вопроса .

Одним из наиболее старых способов исследования разностных схем является принцип максимума (см. § 2). Тот факт, что неко­ торые дифференциальные операторы удовлетворяют принципу мак­ симума (в той или иной форме), позволяет построить их разностные аналоги, сохраняющие это свойство. Первоначально принцип мак­ симума был установлен для разностных схем, аппроксимирующих стационарные задачи (Л. А. Люстерник [1], С. А. Гершгорин [2]), а затем распространен и на нестационарные задачи (Ш. Е. Микеладзе [1], [2], П. П. Юшков [1], Л. Коллатц [2]) .

Простые примеры разностных схем, удовлетворяющих принципу максимума, имеются в книгах В. С. Рябенького и А. Ф. Филип­ пова [1], И. Г. Петровского [2], С. К. Годунова и В. С. Рябень­ кого [1]. А. А. Самарский [11] построил для общего парабо­ лического уравнения абсолютно устойчивые монотонные схемы, имеющие в С порядок точности 0(x-f-/i2) .

Следует заметить, что устойчивость разностных схем в норме С может быть установлена не только на основе принципа макси­ мума (например, в работах С. И. Сердюковой [1] — [4], И. В. Коновальцева [4], [5], Томэ [3] доказательство устойчивости в С проводится иными методами). Исследование устойчивости в С многослойных схем имеется в работах В. Вазова и Дж. Фор­ сайта [1], Видлунда [2], Гордона [2] .

При исследовании разностных схем с переменными коэффици­ ентами широкое применение получил метод энергетических нера­ венств .

Впервые метод энергетических неравенств был предложен для исследования устойчивости разностных схем в работе Куранта, Фридрихса и Леви [1], где рассматривалась явная схема для уравнения колебаний. О. А. Ладыженская [2] рассматривала раз­ ностные схемы, аппроксимирующие гиперболическое уравнение второго порядка с переменными коэффициентами. В работах В. И. Лебедева [1], [2] методом энергетических неравенств изу­ чались разностные схемы для уравнения типа С. Л. Соболева .

ГЛ. V. ДОПОЛНЕНИЕ 382 [7 Здесь получены, в частности, оценки решений разностных задач через правые части, взятые в негативных нормах. В ряде работ Лиза [1J. И метод энергетических неравенств применялся к исследованию разностных схем для уравнений теплопроводности и колебаний с переменными коэффициентами .

Серия работ, посвященных получению априорных оценок ре­ шений разностных схем, была выполнена А. А. Самарским [1] — [6] .

В этих работах были исследованы, в частности, разностные кра­ евые условия общего вида, схемы на неравномерных сетках, схемы для квазилинейных уравнений параболического типа. Большое внимание было уделено получению априорных оценок по правой части в максимально слабых нормах, что позволило исследовать сходимость разностных схем с разрывными коэффициентами. Эти работы связаны с работами А. Н. Тихонова и А. А. Самарского [1] — [3], в которых было введено понятие однородной разностной схемы и была развита техника построения и исследования разно­ стных схем для стационарных уравнений с переменными и раз­ рывными коэффициентами .

Вработе Крейса [4] изучались разностные схемы, аппрокси­ мирующие краевые задачи для систем уравнений параболического и гиперболического типов, а также для нестационарных уравнений шредингеровского типа. Были даны определения корректности раз­ ностных краевых задач и методом энергетических неравенств полу­ чены достаточные условия устойчивости и априорные оценки для соответствующих разностных схем .

И. Копачек [1] рассматривал многослойную схему для гипер­ болического уравнения второго порядка с переменными коэффици­ ентами .

Разностные краевые задачи для гиперболических систем уравнений первого порядка изучали методом энергетических нера­ венств Лиз [3], Томэ [1], Келлер иТомэ [1], С. В. Сивашинский [1] .

Метод энергетических неравенств применялся к исследованию сходимости разностных схем для многомерных задач математиче­ ской физики в работах А. А. Самарского [4] — [9], Е. Г. Дьяконова [2] — [4], [6], [8], В. Б. Андреева [2] — [7], И. В. Фрязинова [2] — [6], А. Н. Коновалова [1], [2], И. Г. Белухиной [1], [2] .

В работе Равьярта [1] изучается устойчивость и сходимость разностных схем с весами для эволюционных уравнений первого и второго порядка, в том чисце и для уравнений шредингеровского типа. Основным методом этой1работы также является метод энер­ гетических неравенств .

Обзор применения метода энергетических неравенств в тео­ рии уравнений с частными производными содержится в статье А. М. Ильина, А. С. Калашникова и О. А. Олейник [1] .

7. Принцип замороженных коэффициентов. На практике п исследовании разностных схем с переменными (скажем, завися­ /] § 3. ОБЗОР РАБОТ ПО УСТОЙЧИВОСТИ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ 383 щими от л:) коэффициентами часто пользуются принципом замо­ раживания коэффициентов, который состоит в том, что в коэф­ фициентах схемы y n+i = S ( x ) y n (47) фиксируют переменное х = х0 и исследуют (например, методом разделения переменных или с помощью преобразования Фурье) устойчивость схемы Уп+1 = $(Хо)Уп- (48) Считают, что схема (47) устойчива, если устойчива при лю­ бых х0 схема (48). В связи с этим следует отметить, что в на­ стоящее время существуют примеры, показывающие, что устой­ чивость схемы (48) с замороженными коэффициентами не является, вообще говоря, ни необходимым, ни достаточным условием устой­ чивости схемы (47) .

В работахА. Н. Тихонова и А. А.Самарского [1], [4] и И. В.Коновальцева [3] приведены примерыразностных схем, которые устойчивы при постоянных коэффициентах и неустойчивы в более широких классах коэффициентов. С другой стороны, Крейс [2] и Стрэнг [5] построили примеры задач, устойчивых при переменных коэффициентах и неустойчивых при заморо­ женных коэффициентах .

Вместе с тем принцип замороженных коэффициентов удается обосновать для широких классов задач. Возможность применения этого принципа к разностным схемам исследовалась в работах Н. Н. Яненко и Ю. Е. Бояринцева [1] (уравнение теплопровод­ ности с переменными коэффициентами), Ю. Е. Бояринцева [1] (уравнение колебаний с переменными коэффициентами), И. В. Ко­ новальцева [5] (параболические системы уравнений), Стрэнга [5] (задача Коши для систем уравнений общего вида). Обсуждение принципа замороженных коэффициентов можно найти также в книге Р. Рихтмайера и К. Мортона [1] (гл. 5) .

Укажем разностную схему, которая устойчива в классе не­ прерывных коэффициентов и неустойчива в классе разрывных коэффициентов (см. А. Н. Тихонов и А. А. Самарский [4]) .

Рассмотрим первую краевую задачу для уравнения теплопро­ водности 37 = Ж ( * * § ) • О ‘ Т .

| (49) и(х, 0) = m o(x), k (х) ^ О, и (0, t) = u ( 1, 0 = 0, Для аппроксимации оператора Lu — (ku')' = ku" -\-k’и' восполь­ зуемся разностным оператором (Uy)i = КУ;Х, t + К 1Ух. i ГЛ. V. ДОПОЛНЕНИЕ 384 [7 Уравнению (49) поставим в соответствие чисто неявную схему

–  –  –

Построен пример, показывающий, что оценка (62) неулучшаема в классе коэффициентов, имеющих заданный модуль непрерыв­ ности. Таким образом, если коэффициент а постоянный (со (т) = 0), то схема (61) устойчива. Если же со(т)/т—*оо при т —, то О схема (61) неустойчива. Аналогичные утверждения доказаны для разностных схем, аппроксимирующих волновое уравнение,.* д 2и д 2и

–  –  –

можно рассматривать как итерационную схему для решения опе­ раторного уравнения Av = ф. (64) Здесь А и В — линейные операторы, п — номер итерации, {тп+1}— набор итерационных параметров. В общем случае как параметр т = тп+1, так и оператор В = Вп могут зависеть от номера ите­ рации п (например, итерационные методы переменных направле­ ний приводят к схемам с оператором В = В„ = ( + (о^1)Л1) х х ( + со?М2)) .

Для погрешности zn = yn— v получаем однородное уравнение той же структуры, что и (63):

Bzt + Az = 0, z0= у0 v. (65) Будем считать, что А и В —линейные операторы, действую­ щие в конечномерном гильбертовом пространстве Я. Пусть D — самосопряженный положительный оператор в Я и ||о ||с = У (Dv, v) .

Говорят, что итерационный процесс (63) сходится (в норме про­ странства H D), если ||z„||D—-0 при п —s-о о и при любом началь­ ном приближении Я - Ясно, что для сходимости в Яс доста­ /0б точно потребовать I|z„+1||d p ||zJ d, n = o,i,..., о р 1. (66) Выполнение оценки (66) означает (в терминологии гл. II, § 1) устойчивость по начальным данным схемы (63) в пространстве HD с постоянной р 1. Поэтому для исследования сходимости итерационных процессов можно использовать ту же технику, что и при изучении устойчивости разностных схем. Подробно это продемонстрировано в книге А. А. Самарского [23] .

Специфической особенностью теории итерационных методов является выбор оптимальных итерационных параметров, т. е .

388 ГЛ. V. ДОПОЛНЕНИЕ [8 таких параметров т, при которых величина р становится наи­ меньшей .

Рассмотрим в качестве примера метод простой итерации для уравнения (64). Он состоит в том, что итерацииищутся по явной схеме (В = Е ) y t ~\-Ay = ф,у0 любое, т = const. (67)

–  –  –

где биА — соответственно наименьшее и наибольшее собствен­ ные значения оператора А. Известно (см. гл. II, § 2), что для оценки (66) с D = E необходимо и достаточно выполнение усло­ вий

–  –  –

При любых т, удовлетворяющих этим условиям, итерацион­ ный процесс (67) сходится со скоростью геометрической прогрес­ сии со знаменателем р. Выбирая т и р из условий

–  –  –

получаем метод простой итерации с оптимальным параметром т = т0 = 2/(6 + Д), которому соответствует значение р = р0 = = (1— ч )/(1 + ч ), 11= 6/д .

Аналогами трехслойных разностных схем являются двухша­ говые итерационные схемы, в которых для вычисления каждой новой итерации требуется знание двух предыдущих итераций .

Рассмотрим, например, итерационную схему

–  –  –

где — постоянные параметры, а оператор А удовлетворяет условиям (68). Достаточным условием сходимости итерационной схемы (69) является условие p-устойчивости соответствующей трехслойной схемы I- Р 2 О (1-P)2 n ^ y. ^ l- Р 2 D, (1+P)2 D 8] § 3. ОБЗОР РАБОТ ПО УСТОЙЧИВОСТИ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ 389

–  –  –

1 1— V"r) б А+б т. е. т =.— -, р = ------, г) = —, к — ----------- .

^ 6Д l+ Vn Д 4 Многочисленные итерационные методы решения систем ли­ нейных алгебраических уравнений рассматриваются в книгах Д. К- Фаддеева и В. Н. Фаддеевой [1], В. В. Воеводина [1]. Укажем также работы А. А. Абрамова [1], В. И. Лебедева и С. А. Финогенова [1],Г. И. Марчука [3], Г. И. Марчука и Ю. А. Кузнецова [1], Е. С. Николаева и А. А. Самарского [1] .

Обширная литература посвящена итерационным методам реше­ ния систем разностных уравнений, возникающих при аппроксима­ ции того или иного уравнения или системы уравнений эллипти­ ческого типа. В этом случае число неизвестных системы (64) равно числу узлов сетки а»й и неограниченно возрастает при стремлении шага сетки h к нулю. Поэтому существенным является вопрос о зависимости от h числа итераций, необходимых для получения заданной точности. При решении систем разностных уравнений, аппроксимирующих многомерные стационарные задачи математи­ ческой физики, получили широкое применение итерационные мето­ ды переменных направлений, аналогичные разностным схемам переменных направлений для нестационарных задач (см. § 1) .

Такие методы были впервые предложены в работах Писмена и Рэкфорда [1], Дугласа и Рэкфорда [1]. Итерационные методы переменных направлений характеризуются высокой скоростью сходимости. Так, если рассматривается система разностных урав­ нений, аппроксимирующая уравнение Пуассона в прямоугольнике, ГЛ. V. ДОПОЛНЕНИЕ 390 [9 то итерационная схема Писмена— Рэкфорда (см., например, А. А. Самарский [23]) требует для уменьшения начальной по­ грешности в 1/е раз числа итераций О (In А-1 In (1/е)), в то время как метод простой итерации с оптимальным параметром т0 тре­ бует числа итераций О (Л-2 In (1/е)) .

Итерационные методы решения разностных схем, возникающих при аппроксимации задач математической физики, рассматри­ вались в работах В. Б. Андреева [1], Н. С. Бахвалова [1], [2], Вакшпресса [1], Гана [1], Гюитте [1], Е. Г. Дьяконова [1], [5], [7], [8], Кэннона и Дугласа [1], В. С. Рябенького и А. Ф. Филип­ пова [1], А. А. Самарского [20], [22], [23], А. А. Самарского и В. Б. Андреева [1], В. К. Саульева [1], Р. П. Федоренко [2] .

9. Связь с теорией устойчивости по Ляпунову. Пусть А постоянная невырожденная матрица т х т. Будем считать сейчас, что матрица А не зависит от к, а шаг по времени т фиксирован (т. е. tn = n x —» оо при п — оо). Существует прямая связь между • устойчивостью по начальным данным разностной схемы y t + A y = 0, у 0 задан, (70) и устойчивостью по Ляпунову (см. А. М. Ляпунов [1]) некоторой системы дифференциальных уравнений ^ + Сы = 0, *0, и (0) = и0. (71)

–  –  –

Доказательство теоремы А. М. Ляпунова можно найти, на­ пример, в книге Ф. Р. Гантмахера [1] .

Итак, теорема А. М. Ляпунова устанавливает эквивалентность свойств (72) и (74) для данной матрицы С. Поэтому асимптоти­ ческую устойчивость по Ляпунову можно определить как суще­ ствование такой нормы || и \\D, для которой справедливо нера­ венство (73) .

Свойство, аналогичное (73), было положено в гл. II, § 2 в основу определения устойчивости разностной схемы по началь­ ным данным. Точнее, устойчивость схемы (70) определялась как выполнение оценки ||yn+i||D ll«/Jz. n = 0, 1,.... D* = D 0,

–  –  –

и, подставляя это в (76), приходим к неравенству (74). Таким образом, неравенства (74) и (76) эквивалентны, если матрицы А и С связаны тождеством (78). Иначе говоря, асимптотическая устойчивость разностной схемы (70) эквивалентна асимптотиче­ ской устойчивости системы Л + ± ( А - * - 0, 5 т Е ) и = 0 .

а

–  –  –

Нетрудно видеть, что последнее неравенство эквивалентно тому, что все собственные значения оператора перехода S = —тЛ лежат строго внутри единичного круга, |Х.(5 )| 1, и, следова­ тельно, S " —*-0 при п —-оо .

Следует заметить, что если (70) — разностная схема в обычном смысле (т. е. Л = Л*, х зависит от параметров h и т, h —*-0, т —»-0), то условие | Я, ( 5) | 1 уже не является достаточным для устой­ чивости хотя бы потому, что норма ||«/||д, гарантируемая теоремой А. М. Ляпунова, может вырождаться (или, наоборот, неограни­ ченно возрастать) при h —-0 .

Так, в книге С. К- Годунова и В. С. Рябенького [1] отме­ чено, что собственные значения оператора перехода схемы

–  –  –

будут по модулю меньше единицы, если у = т / Л 2, в то время как устойчивость в сеточной норме Ь2 имеет место лишь при условии 7 ^ 1 .

Покажем, что если норма ||-||D «плохая», то схема (82) устойчива и при у 1. Пусть (Ау){ = — уХ г i = 0, 1,..., N — \, yN = 0 .

Определим оператор D следующим образом:

–  –  –

Вопросам устойчивости дифференциальных уравнений посвя­ щена обширная литература. Укажем, например, книги Е. А. Барбашина [1], Б. П. Демидовича [1], Н. Н. Красовского [1], Хана (Hahn W.) [1], J1. Чезари [1], Н. Г. Четаева [1] и обзорные работы В. В. Румянцева [1], А. С. Озиранера и В. В. Румянцева [1]. В книге Ю. JI. Далецкого и М. Г. Крейна [1] исследуется устойчивость уравнений (71) с ограниченными операторами С, дей­ ствующими в банаховом пространстве. Обобщения теоремы А. М .

Ляпунова получены в работах Островского и Шнейдера [1], Таусски [1] .

Устойчивость по Ляпунову разностных схем, аппроксимирую­ щих задачу Коши для нелинейных обыкновенных дифференци­ альных уравнений, изучалась в работах А. Д. Горбунова [1], [2]. Вопросы асимптотической устойчивости по Ляпунову разност­ ных схем (70) рассматривались в работах Таусски [2], Хана (Hahn W.) [1]. В теореме Крейса (см. п. 3) получены условия ограниченности норм степеней оператора перехода: ||S"|j ^ М .

ЗАДАЧИ

–  –  –

рассмотреть«шахматную схему»(см. В. К. Саульев [1]),котораяхарактери­ зуется тем, чтовсоседних точках сетки чередуются явные инеявные разност­ ные уравнения:

–  –  –

W + i ( c S +T“ ) _ 0 ’ “ +P=VЗдесь и, v t w — комплекснозначные функции, и — функция, комплексно сопря­ женная и \ a, bt с у а, Р, у — постоянные. Предполагается, что х меняется на отрезке 0 х 1 и функции и у vf w удовлетворяют нулевым граничным условиям .

Требуется исследовать устойчивость трехпараметрического семейства схем

–  –  –

А б р а м о в А. А .

1. Об одном способе ускорения итерационных процессов, ДАН СССР 74, 6 (1950), 1051— 1052 .

А н д р е е в В. Б .

1. Итерационные схемы переменных направлений для численного решения третьей краевой задачи в р-мерном параллелепипеде, ЖВМ и МФ 5, 4 (1965), 626—637 .

2. О равномерной сходимости некоторых разностных схем, ЖВМ и МФ 6, 2 (1966), 238—250 .

3. Об одном методе численного решения третьей краевой задачи для урав­ нения параболического типа в р-мерном параллелепипеде, сб. «Вычисл .

методы и программирование», Изд-во МГУ, вып. VI (1967), 64—75 .

4.1 О разностных схемах с расщепляющимся оператором для общих р-мерных параболических уравнений второго порядка со смешанными произ­ водными, ЖВМ и МФ 7, 2 (1967), 312—321 .

5. О сходимости разностных схем, аппроксимирующих вторую и третью крае­ вые задачи для эллиптических уравнений, ЖВМ и МФ 8, 6 (1968), 1218— 1231 .

6. О сходимости разностных схем с расщепляющимся оператором, аппрокси­ мирующих третью краевую задачу для параболического уравнения, ЖВМ и МФ 9, 2 (1969), 337—349 .

7. О равномерной сходимости разностных схем для задачи Неймана, ЖВМ и МФ 9, 6 (1969), 1285— 1298 .

8. Об устойчивости по начальным данным разностных схем для параболи­ ческих уравнений, ЖВМ и МФ 11, 6 (1971), 1462— 1475 .

А н у ч и н а Н. Н .

1. Разностные схемы решения задачи Коши для гиперболических симметрич­ ных систем, ДАН СССР 154, 2 (1964), 247—250 .

2. Некоторые разностные схемы для гиперболических систем, Тр. МИАН СССР 74 (1966), 5— 15 .

А р о н с о н ( A r o n s o n D.)

1. On the correctness of partial differential operators and the von Neumann condition for stability of finite difference operators, Proc. Amer. Math .

Soc. 14, 6 (1963), 948—955 .

2. On the stability of certain finite difference approximations to parabolic systems of differential equations, Numer. Math. 5, 2 (1963), 118— 137 .

Б а р б а ш и н E. A .

,^ гг _ нова «Наука», 1970 .

–  –  –

В о е в о д и н В. В .

1. Численные методы алгебры. Теория и алгорифмы, «Наука», 1966 .

В у л и х Б. 3 .

1. Введение в функциональный анализ, «Наука», 1967 .

Г а н ( G u n n J. Е.)

1. The solution of elliptic difference equations by semi-explicit iterative tech­ niques, J. Soc. Industr. Appl. Math., Ser. B, Numer. Anal. 1, 2 (1965), 24—45 .

Г а н т м а х е р Ф. P .

1. Теория матриц, «Наука», 1967 .

Г e л ь ф о н д А. О .

1. Исчисление конечных разностей, «Наука», 1967 .

Г е р ш г о р и н С. А .

1. О приближенном интегрировании дифференциальных уравнений Лапласа и Пуассона, Изв. Ленингр. политехи, ин-та, Отд. техн., ест., матем .

30 (1927), 75—95 .

2. Fehlerabschatzung fur das Differenzenverfahren zur Losung partieller Dif­ ferent ialgleichungen, Z. angew. Math, und Mech. 10 (1930), 373—382 .

Г о д у н о в С. К .

1. Разностный метод численного расчета разрывных решений уравнений гидродинамики, Матем. сб. 47 (89), 3 (1959), 271—306 .

2. Разностные методы решения уравнений газовой динамики, Изд-во НГУ, Новосибирск, 1962 .

3. Уравнения математической физики, «Наука», 1971 .

Г о д у н о в С. К., Р я б е н ь к и й В. С .

1. Введение в теорию разностных схем, Физматгиз, 1962 .

2. Канонические виды систем линейных обыкновенных разностных урав­ нений с постоянными коэффициентами, ЖВМ и МФ 3, вып. 2 (1963), 211—222 .

3. Спектральные признаки устойчивости краевых задач для несамосопря­ женных разностных уравнений, УМН 18, вып. 3 (111) (1963), 3— 14 .

Г о л ь д и н В. Я., Д а н и л о в а Г. В., К а л и т к и н Н. Н .

1. Численное интегрирование многомерного уравнения переноса, сб. «Чис­ ленные методы решения задач матем. физики», «Наука», 1966, Дополне­ ние к ЖВМ и МФ 4, 6 (1966), 190— 193 .

Г о л ь д и н В. Я., К а л и т к и н Н. Н., Ш и ш о в а Т. В .

1. Нелинейные разностные схемы для гиперболических уравнений, ЖВМ и МФ 5, 5 (1965), 938—944 .

Г о р б у н о в А. Д .

1. Разностные уравнения и разностные методы решения задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений, Изд-во МГУ, 1967 .

2. Разностные уравнения, Изд-во МГУ, 1972 .

Г о р д о н ( G o r d o n Р.)

1. Nonsymmetric difference equations, J. Soc. Industr. Appl. Math. 13, 3 (1965), 667—673 .

2. A note on a maximum principle for the Du Fort — Frankel difference equation, Math. Comput. 22, 102 (1968), 437—439 .

Г у л и н A. B .

1. Необходимые и достаточные условия устойчивости трехслойных разност­ ных схем, ЖВМ и МФ 8, 4 (1968), 899—902 .

2. Априорные оценки для трехслойных разностных схем, ДАН СССР 195, 2 (1970) 270—273 .

Г у л и н А. В., С а м а р с к и й А. А .

1. Об устойчивости разностных схем в комплексном гильбертовом про­ странстве, ДАН СССР 181, 5 (1968), 1042— 1045 .

Г ю и т т е ( G u i t t e t J.)

1. Une nouvelle method de directions alternees a q variables, J. Math. Anal, and Appl. 17, 2 (1967), 199—213 .

ЛИТЕРАТУРА 403 Д а л е ц к и й Ю. Л., К р е й н М. Г .

1. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом про­ странстве, «Наука», 1970 .

Д е м и д о в и ч Б. П .

1. Лекции по математической теории устойчивости, «Наука», 1967 .

Д ж о н ( J o h n F.)

1. On the integration of parabolic equations by difference methods, Commun .

Pure Appl. Math. 5, 2 (1952), 155—211 .

Д у г л а с ( D o u g l a s J.)

1. On the relation between stability and convergence in the numerical solu­ tion of linear parabolic and hyperbolic differential equations, J. Soc .

Industr. Appl. Math. 4, 1 (1956), 20—37 .

2. The application of stability analysis in the numerical solution of quasilinear parabolic differential equations, Trans. Amer. Math. Soc. 89, 2 (1958), 484—518 .

Д у г л а с, Г а н ( D o u g l a s J. G u n n J. E.)

1. Two high-order correct difference analogues for the equation on multidi­ mensional heat flow, Math. Comput. 17, 81 (1963), 71—80 .

2. A general formulation of alternating direction methods, Part I, Parabolic and hyperbolic problems, Numer. Math. 6, 5 (1964), 428—453 .

Д у г л а с, Р э к ф о р д ( D o u g l a s J., R a c h f o r d H.)

1. On the numerical solution of heat conduction problems in two and three space variables, Trans. Amer. Math. Soc. 82, 2 (1956), 421—439 .

Д ы ш к о A. JI .

1. Разностный метод решения уравнения распространения светового луча в нелинейной среде, ЖВМ и МФ 8, 1 (1968), 238—242 .

2. Разностный метод решения уравнений распространения светового луча в нелинейной среде, ЖВМ и МФ 9, 6 (1969), 1408— 1410 .

Д ь я к о н о в Е. Г .

1. Об одном итерационном способе решения систем конечноразностных урав­ нений, ДАН СССР 138, 3 (1961), 522—525 .

2. Разностные схемы с расщепляющимся оператором для многомерных неста­ ционарных задач, ЖВМ и МФ 2, 4 (1962), 549—568 .

3. Разностные схемы с расщепляющимся оператором для общих параболи­ ческих уравнений второго порядка с переменными коэффициентами, ЖВМ и МФ 4, 2 (1964), 278—291 .

4. Разностные схемы второго порядка точности с расщепляющимся операто­ ром для многомерных параболических уравнений с переменными коэффи­ циентами, сб. «Вычисл. методы и программирование», Изд-во МГУ вып. 3 (1965), 163— 190 .

5. О построении итерационных методов на основе использования операторов, эквивалентных по спектру, ЖВМ и МФ 6, 1 (1966), 12—34 .

6. Экономичные разностные методы, основанные на расщеплении разностного оператора, для некоторых систем уравнений в частных производных, сб. «Вычисл. методы и программирование», Изд-во МГУ, вып. 6 (1967), 76— 120 .

7. Итерационные методы решения разностных аналогов краевых задач для уравнений эллиптического типа. Материалы Международной летней школы по численным методам (Киев, 1968), Киев, 1970 .

8. Разностные методы решения краевых задач, Изд-во МГУ, в ып / 1, 2 (1971 — 1972) .

Д ю ф о р т, Ф р а н к е л ( Du F o r t Е. С., F r a n k e l S. Р.)

1. Stability conditions in the numerical treatment of parabolic differential equations, Math. Tables and other Aids Comput. 7, 43 (1953), 135— 152 .

Ил ь ин A. M .

1. Устойчивость разностных схем задачи Коши для систем дифференциальных уравнений в частных производных, ДАН СССР 164, 3 (1965), 491—494 .

ЛИТЕРАТУРА И л ь и н А. М., К а л а ш н и к о в А. С., О л е й н и к О. А .

1. Линейные уравнения второго порядка параболического типа, УМН 17, вып. 3 (105) (1962), 3— 146 .

К а м ы н и н Л. И .

1. О сходимости конечноразностного процесса для уравнения теплопровод­ ности, ДАН СССР 85, 4 (1952), 701—703 .

2. Об устойчивости разностных параболических уравнений, ДАН СССР 136, 6 (1961), 1287— 1290 .

К а н т о р о в и ч Л. В .

10 Функциональный анализ и прикладная математика, УМН 3, вып. 6 (28) (1948), 89— 185 .

К а н т о р о в и ч Л. В., А к и л о в Г. П .

1. Функциональный анализ в нормированных пространствах, Физматгиз, 1959 .

К а н т о р о в и ч Л. В., К р ы л о в В. И .

1. Приближенные методы высшего анализа, Физматгиз, 1962 .

К а т о ( K a t o Т.)

1. Estimation of iterated matrices, with application to the von Neumann condition, Numer. Math. 2, 1 (1960), 22—29 .

К е л л е р, Т о м э ( K e l l e r H. B., T h o m e e V.)

1. Unconditionally stable difference methods for mixed problems for quasilinear hyperbolic systems in two dimensions, Commun. Pure Appl. Math .

15, 1 (1962), 63—73 .

К л е м е н т ь е в А. Ф .

1. Пример абсолютно неустойчивой неявной разностной схемы для урав­ нения теплопроводности, Уч. зап. Башкир, гос. ун-та, вып. 20 (1965), 68 .

2. Об абсолютно неустойчивых неявных разностных схемах для уравнения теплопроводности, Уч. зап. Башкир, гос. ун-та, вып. 31 (1968), 373—375 .

К о в а л ь П. И .

1. Об устойчивости решений систем разностных уравнений, ДАН СССР 103, 4 (1955), 549—551 .

2. Об устойчивости приближенных решений параболического и гиперболи­ ческого дифференциальных уравнений, Украинск. матем. ж. 9, 3 (1957), 271—280 .

К о л л а т ц ( C o l l a t z L.)

1. Zur Stabilitat des Differenzenverfahrens bei der Stabschwingunsgleichung, Z. angew. Math, und Mech. 31, 11— 12 (1951), 392—393 .

2. Численные методы решения дифференциальных уравнений, ИЛ, 1953 .

3. Функциональный анализ и вычислительная математика, «Мир», 1969 .

К о н о в а л о в А. Н .

1. Численное решение задач теории упругости, Изд-во НГУ, 1968 .

2. О численном решении смешанной задачи теории упругости, ЖВМ и МФ 9, 2 (1969), 469—474 .

К о н о в а л ь ц е в И. В .

1. Разностная краевая задача для самосопряженной параболической системы, ЖВМ и МФ 4, 4 (1964), 765—771 .

2. Разностная краевая задача для общей параболической системы, ЖВМ и МФ 4, 5 (1964), 835—847 .

3. Пример разностной схемы, неустойчивой в классе непрерывных коэффи­ циентов, ЖВМ и МФ 5, 1 (1965), 132— 135 .

4. Об устойчивости двухслойных разностных схем, ЖВМ и МФ 8, 2 (1968), 322—333 .

5. Устойчивость в С и в Lp двухслойных разностных схем для параболи­ ческих уравнений с переменными коэффициентами, ЖВМ и МФ 8, 4 (1968), 894—899 .

ЛИТЕРАТУРА К о п а ч е к И .

1. Явная разностная схема для решения смешанной задачи для' общего гиперболического уравнения второго порядка, ЖВМ и МФ 4, 5 (1964), 826—834 .

К р а н к, Н и к о л с о н ( C r a n k J., N i c o l s o n P.)

1. A practical method for numerical evaluation of solution of partial diffe­ rential equations of heat-conduction type, Proc. Cambridge Philos. Soc .

43 (1947), 50—67 .

К р а с н о с е л ь с к и й М. А., В а й н и к к о Г. М., З а б р е й к о П. П., Р у т и ц к и й Я. Б., С т е ц е н к о В. Я .

1. Приближенное решение операторных уравнений, «Наука», 1969 .

К р а с о в с к и й Н. Н .

1. Некоторые задачи теории устойчивости движения, Физматгиз, 1959 .

К р е й н С. Г .

1. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве, «Наука», 1967 .

К р е й с ( K r e i s s Н. О.)

1. Uber die Losung des Cauchyproblems fur lineare partielle Differentialgleichungen mit Hilfe von Differenzengleichungen, Acta Math. 101, 3—4 (1959), 179— 199 .

2. Uber die Stabilitatsdefinition fur Differenzengleichungen die partielle Differentialgleichungen approximieren, BIT, 2 (1962), 153— 181 .

3. Об аппроксимации линейных уравнений с частными производными раз­ ностными уравнениями, Математика, сб. переводов 7, 2 (1963), 57—66 .

4. Uber implizite Differenzmethoden fur partielle Differentialgleichungen, Numer. Math. 5, 1 (1963), 24—47 .

5. On difference approximations of the dissipative type for hyperbolic diffe­ rential equations, Commun. Pure Appl. Math. 17, 3 (1964), 335—353 .

К у з н е ц о в H. H .

1. Слабая устойчивость и асимптотика решений конечно-разностных аппрок­ симаций дифференциальных уравнений, ДАН СССР 200, 5 (1971), 1026— 1029 .

2. Слабо устойчивые конечно-разностные аппроксимации дифференциальных уравнений, ЖВМ и МФ 11, 6 (1971), 1437— 1452 .

3. Разностные схемы в пространствах сеточных распределений, ДАН СССР 204, 1 (1972), 27—30 .

4. Асимптотика некоммутативной разностной аппроксимации волнового уравнения, ДАН СССР 204, 2 (1972), 285—287 .

5. Асимптотика решений конечно-разностной задачи Коши, ЖВМ и МФ 12, 2 (1972), 334—351 .

К у р а н т Р .

1. Уравнения с частными производными, «Мир», 1964 .

К у р а н т, И з а к с о н, Р и з ( C o u r a n t R., I s a a c s o n Е., R e e s М.)

1. On the solution of non-linear hyperbolic differential equations by finite differences, Commun. Pure Appl. Math. 5, 3 (1952), 243—255 .

К у р а н т P., Ф р и д р и х е К., Л е в и Г .

1. О разностных уравнениях математической физикич УМН, вып. 8 (1940), .

125— 160 .

К э н н о н, Д у г л а с ( C a n n o n J. R., D o u g l a s J.)

1. Three-level alternating direction iterative methods, Contributions to dif­ ferential equations, New York, 3 (1964), 189— 198 .

Л’а д ы ж е н с к а я О. A .

1. Решение задачи Коши для гиперболических систем методом конечных разностей, Уч. зап. ЛГУ, сер. матем. 23, 133 (1952), 192—246 .

2. Смешанная задача для гиперболического уравнения, Гостехиздат, 1953 .

3. О решении нестационарных операторных уравнений, Матем. сб. 39, 4 (1956), 491—524 .

ЛИТЕРАТУРА

4. Метод конечных разностей в теории уравнений с частными производ­ ными, УМН 12, вып. 5 (77) (1957), 123— 148 .

5. О нестационарных операторных уравнениях и их приложениях к ли­ нейным задачам математической физики, Матем. сб. 45, 2 (1958), 123— 158 .

6. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости, «Наука», 1970 .

Л а к с П. Д. (L а х P. D.)

1. Weak solutions of non-linear hyperbolic equations and their numerical computation, Commun. Pure Appl. Math. 7, 1 (1954), 159— 193 .

2. Об устойчивости конечно-разностных аппроксимаций решений гипербо­ лических уравнений с переменными коэффициентами, Математика, сб .

переводов 6, 3 (1962), 67—88 .

3. Применение энергетического метода к разностным уравнениям (см .

С. К. Годунов, В. С. Рябенький [1], стр. 310—315) .

4. Hyperbolic difference equations: a review of the Courant— Friedrichs — Lewy paper in the light of recent development, IBM J. Res. and Deve­ lopments 11, 2 (1967), 235—238 .

Л а к е, В е н д р о ф ( L a x P. D., W e n d r o f f B.)

1. Systems of conservation laws, Commun. Pure Appl. Math. 13, 2 (1960), 217—237 .

2. On the stability of difference schemes, Commun. Pure Appl. Math. 15, 4 (1962), 363—371 .

3. Difference schemes for hyperbolic equations with high order of accuracy, Commun. Pure Appl. Math. 17, 3 (1964), 381—398 .

Л а к е П. Д., Н и р е н б е р г Л .

1. Об устойчивости разностных схем; точная форма неравенства Гординга, Математика, сб. переводов 11, 6 (1967), 3—20 .

Л а к е, Р и х т м а й е р ( L a x P. D., R i c h t m y e r R. D.)

1. Survey of the stability of linear finite difference equations, Commun .

Pure Appl. Math. 9, 2 (1956), 267—293 .

Л е б е д е в В. И .

1. Метод сеток для уравнений типа Соболева, ДАН СССР 114, 6 (1957), 1166— 1169 .

2. О методе сеток для одной системы уравнений в частных производных, Изв. АН СССР, сер. матем. 22, 5 (1958), 717—734 .

Л е б е д е в В. И., Ф и н о г е н о в С. А .

1. О порядке выбора итерационных параметров в чебышевском циклическом итерационном методе, ЖВМ и МФ 11, 2 (1971) 425—438 .

Л е р у (L е R о u х J.)

1. Sur le probleme de Dirichlet, J. de math, pure et appl., ser. 6, 10 (1914), 189—230 .

Л и з ( L e e s M.)

1. A priori estimates for the solution of difference approximations to parabolic partial differential equations, Duke Math. J. 27, 3 (1960), 297—311 .

2. Energy inequalities for the solution of differential equations, Trans. Amer .

Math. Soc. 94, 1 (1960), 58—73 .

3. The solution of positive-symmetric hyperbolic systems by difference method, Proc. Amer. Math. Soc. 12, 2 (1961), 195—204 .

Л ю с т е р н ’и к Л. A .

1. Uber einige Anwendungen der direkten Methoden in Variationsrechnung, Матем. сб. 33 (1926), 173—202 .

2. О разностных аппроксимациях оператора Лапласа, УМН 9, вып. 2 (60) (1954), 3—66 .

Л ю с т е р н я к Л. А. С о б о л е в В. И .

1. Элементы функционального анализа, «Наука», 1965 .

ЛИТЕРАТУРА 407 Л я п у н о в А. М .

1. Общая задача об устойчивости движения, Гостехиздат, 1950 .

М а к а р о в В. Л .

1. Про формули сумарних зображень осесиметричного потенцшалу для одше1 схеми шдвшценого порядку точносп, Доп. А Н У Р С Р 5 (1970), 403—408 .

М а р ч у к Г. И .

1. Методы расчета ядерных реакторов, М., Атомиздат, 1961 .

2. Численные методы в прогнозе погоды, Ленинград, Гидрометеорологиче­ ское изд-во, 1967 .

3. К теории итерационных процессов, в сб. «Вычислит, методы линейной алгебры», Изд-во СО АН СССР, Новосибирск, 1969, 4— 10 .

4. Методы вычислительной математики, Изд-во «Наука», Сибирское отделе­ ние, Новосибирск, 1973 .

М а р ч у к Г. И., К у з н е ц о в Ю. А .

1. К вопросу об оптимальных итерационных процессах, ДАН СССР 181, 6 (1968), 1331— 1334 .

М а р ч у к Г. И., Л е б е д е в В. И .

1. Численные методы в теории переноса нейтронов, М., Атомиздат, 1971 .

М а с л о в В. П .

1. Канонический оператор на лагранжевом многообразии с комплексным ростком и регуляризатор для псевдодифференциальных операторов и разностных схем, ДАН СССР 195, 3 (1970), 551—554 .

М е й м а н Н. Н .

1. К теории уравнений в частных производных, ДАН СССР 97, 4 (1954), 593—596 .

М и к е л а д з е Ш. Е .

1. Численные методы интегрирования дифференциальных уравнений с част­ ными производными, Изд-во АН СССР, М.—Л., 1936 .

2. О численном интегрировании уравнений эллиптического и параболического типов, Изв. АН СССР, сер. матем. 5, 1 (1941), 57—74 .

3. Численное-решение уравнения теплопроводности, Тр. Тбилисского матем .

ин-та 27 (I960), 367—410 .

М и л л е р (М i 11 е г J.)

1. On power-bounded operators and operators satisfying a resolvent condition, Numer. Math. 10, 5 (1967), 389—396 .

М и л л е р, С т р э н г ( M i l l e r J., S t r a n g G.)

1. Matrix theorems for partial differential and difference equations, Math .

Scandinavica 18, 2 (1966), 113— 133 .

М и н ь о ( M i g n o t N.)

1. Sur les solutions numeriques du probleme de la chaleur, Compt. rend .

Acad. Sci. 236, 25 (1953), 2375—2377 .

М и р а к л ь (M i г а с 1 e С. L.)

1. Approximate solutions of the telgraphers equation by difference-equation methods, J. Soc. Industr. Appl. Math. 10, 3 (1962), 517—527 .



Pages:   || 2 |



Похожие работы:

«_ Российская академия наук ИОФ РАН Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт общей физики им. А.М. Прохорова Российской академии наук ПРИКАЗ 26.09.2016 г. Москва № А-1609-26-2 О порядке прикрепления для сдачи канди...»

«Социология 85 УДК 32.019.51 ББК Ф042.11 А.В. ШУМИЛОВ МНИМЫЕ И РЕАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ ЭЛЕКТОРАЛЬНОЙ СТАТИСТИКИ: ВЛИЯНИЕ НА ЭЛЕКТОРАЛЬНЫЕ ПРОЦЕССЫ Ключевые слова: манипулирование, манипулирование электоратом, выборы, электоральное поведение, статистика, математические метод...»

«Открытые информационные и компьютерные интегрированные технологии № 57, 2012 УДК 519.63:533.9.07 Д.А. Брега, С.И. Планковский, Е.В. Цегельник Моделирование процесса перемещения опорного пятна дуги по стенке канала плазмотрона Национальный аэрокосмический университ...»

«Федеральное агентство научных организаций (ФАНО) Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт органической химии им. Н.Д. Зелинского Российской академии наук (ИОХ РАН) УТВЕРЖДАЮ Директор ИОХ РАН Академик М.П.Егоров " _" _ 20_г. РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ "Спектроскопия ядерного магнитного...»

«МУСИН ЛЕНАР ИНАРИКОВИЧ ДЕЗОКСИГЕНИРОВАНИЕ ЦИКЛИЧЕСКИХ ДИКАРБОНИЛЬНЫХ СОЕДИНЕНИЙ ПРОИЗВОДНЫМИ P(III) 02.00.03 – органическая химия Диссертация на соискание ученой степени кандидата химических наук Научный руководитель: чл.-корр. РАН, доктор химических наук,...»

«ISSN 0869-4362 Русский орнитологический журнал 2014, Том 23, Экспресс-выпуск 972: 563-576 К распространению и фенологии некоторых неворобьиных птиц Горного Алтая В.Ю.Архипов, И.А.Беляев, Ф.А.Кондрашов, К.Е.Михайлов, С.В.Писаревский, Е.П.Шнайдер, А.Л.Эбель...»

«Вестник ДВО РАН. 2015. № 6. С. 49-63. УДК 504.4.054:504.423 И.Д. РОСТОВ, Н.И. РУДЫХ, В.И. РОСТОВ1 Межгодовая динамика уровня загрязненности акваторий залива Петра Великого за последние 40 лет Аннот...»

«КАМЫНИН ВЛАДИМИР АЛЕКСАНДРОВИЧ ГЕНЕРАЦИЯ СУПЕРКОНТИНУУМА ДВУХМИКРОННОГО ДИАПАЗОНА В ОПТИЧЕСКИХ ВОЛОКНАХ НА ОСНОВЕ КВАРЦЕВОГО СТЕКЛА 01.04.21 – Лазерная физика Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Москва 2014 Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном учре...»

«ШЛЯХТИНА АННА ВИКТОРОВНА СИНТЕЗ И СВОЙСТВА КИСЛОРОДПРОВОДЯЩИХ СОЕДИНЕНИЙ СЕМЕЙСТВА РЕДКОЗЕМЕЛЬНЫХ ПИРОХЛОРОВ Специальность 02.00.21 – химия твердого тела Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора химических наук Москва 2010 Работа выполнена в Учреждении Российской академии наук Инст...»

«УТВЕРЖДЕН Общим собранием акционеров Акционерного общества "Уральский научноисследовательский химический институт с опытным заводом" "30" июня 2016г. Протокол № б/н от 01.07.2016г. ПРЕДВАРИТЕЛЬНО УТВЕРЖДЕ...»

«Московский государственный университет им. М.В.Ломоносова Физический факультет Кафедра общей физики "Электронные спектры сложных молекул" Спецпрактикум кафедры общей физики Сост...»

«Документ предоставлен КонсультантПлюс Зарегистрировано в Минюсте России 29 июля 2003 г. N 4934 МИНИСТЕРСТВО РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПО ДЕЛАМ ГРАЖДАНСКОЙ ОБОРОНЫ, ЧРЕЗВЫЧАЙНЫМ СИТУАЦИЯМ И ЛИКВИДАЦИИ ПОСЛЕДСТВИЙ СТИХИЙНЫХ БЕДСТВИЙ ПРИКАЗ от 27 мая 2003 г. N 285 ОБ УТВЕРЖДЕНИИ И ВВЕДЕНИИ В ДЕЙСТВИЕ...»

«Металлофиз. новейшие технол. / Metallofiz. Noveishie Tekhnol. 2016 ИМФ (Институт металлофизики 2016, т. 38, № 3, сс. 341—351 / DOI: 10.15407/mfint.38.03.0341 им. Г . В. Курдюмова НАН Украин...»

«ВАСИЛЬЕВ Алексей Евгеньевич ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИЗМЕНЧИВОСТИ ПОЛНОГО ЭЛЕКТРОННОГО СОДЕРЖАНИЯ ФОНОВОЙ И ВОЗМУЩЕННОЙ ИОНОСФЕРЫ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ПРИЕМНИКОВ ГЛОБАЛЬНЫХ НАВИГАЦИОННЫХ СПУТНИКОВЫХ СИСТЕМ. Специальность 25.00.29 – физика атмосферы и гидросферы АВТОР...»

«СОБИСЕВИЧ, СОБИСЕВИЧ: ДИЛАТАНСНЫЕ СТРУКТУРЫ И ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ ВЕСТНИК ОНЗ РАН, ТОМ 2, NZ6027, doi:10.2205/2010NZ000045, 2010 Дилатансные структуры и электромагнитные возмущения УНЧ диапазона на этапах подготовки и развития крупного сейсмического события Л. Е. Собисевич, А. Л. Собисевич Институт физики Земли им....»

«ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН 2010, том 53, №6 ФИЗИЧЕСКАЯ ХИМИЯ УДК 541.64:539.2 Д.Рашидов, С.Табаров, Ш.Туйчиев, А.Мухамад, Ш.Акназарова, Б.М.Гинзбург*, Дж.А.Саломов** ВЛИЯНИЕ ГАММА-ОБЛУЧЕНИЯ НА СТРУКТУРУ И ФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ПОЛИЭТИЛЕНА Таджикский национальный университет, *Институт проблем машиноведения РАН...»

«ТЕСТЫ по курсу "Геохимия" Тема: Образование химических элементов Сущность процесса Н: сгорание гелия с образованием водорода; сгорание водорода с образованием гелия; сгорание водорода с образованием бора. Сущность процессов Не: горение Н с последовательным образованием Не, В. С горение...»

«78 УДК 544.7 Сорбция ионов меди фильтрующим материалом АС Линников О.Д., Родина И.В., Тютюнник А.П., Еселевич Д.А., Соколова Л.Л. ФГБУН Институт химии твёрдого тела УрО РАН, Екатеринбург Поступила в редакцию 11.04.2016 г. На модельном растворе изучена сорбция ионов двухвалентной меди минеральным фильтрующим материалом...»

«СТРУКТУРА ЦФ РАН ЦФ РАН был организован 8 октября 1996 г. Постановлением Президиума РАН на базе Отдела фотохимии ИХФ АН СССР, созданного в 1987 году приказомраспоряжением Минхимпрома СССР и АН СССР. ЦФ РАН работает в области структуры, динамики и фотоники супрамолекулярных систем и н...»

«УДК 536.46 РАЗРАБОТКА МЕТОДИКИ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ ПРОЦЕССА ГОРЕНИЯ МИНИАТЮРНЫХ ОБРАЗЦОВ ТВЁРДОГО ГОРЮЧЕГО НА ОСНОВЕ ПОЛИМЕРНОГО СВЯЗУЮЩЕГО И БОРА Глотов О. Г., Суродин Г. С., Свит А. Г., Кискин А. Б. Федеральное государственное бюджетное учреждение...»

«РОЗДІЛ 2 ОРГАНІЧНА ХІМІЯ УДК 547.735’83+547.728.1’83+547.735’89 А.Б. Ересько, В.С. Толкунов, канд.хим.наук, ст.науч.сотр., С.В. Толкунов, д-р хим.наук, ст.науч.сотр. (Институт физико-органической химии и углехимии им. Л.М. Литвиненко НАН Украины г. Донецк) РЕАКЦИЯ ЭШВАЙЛЕРА-КЛАРКА В СИНТЕЗЕ ТЕТРАГИДРОБЕНЗОТИЕНО[2,3-С]ПИРИДИНОВ, ТЕТ...»

«VII Всероссийское литологическое совещание 28-31 октября 2013 ЛИТОЛОГО-ФАЦИАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ТРИАСОВЫХ ОТЛОЖЕНИЙ КРЯЖА ПРОНЧИЩЕВА (СРЕДНЯЯ СИБИРЬ) А.Ю. Попов, Е.С. Соболев, А.В. Ядренкин Институт нефтегазовой геологии и геофизики им. А.А. Трофимука СО РАН, Новосибирск, PopovAY@ipgg.sbras.ru В последнее время наблюдается все возрастаю...»

«Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Ивановский государственный химико-технологический университет" Посвящается 20-летию гуманитарного факультета ИГХТУ ВЕСТНИК ГУМАНИТАРНОГО ФАКУЛЬТЕТА ИВАНОВСКОГО ГО...»

«Вопросы минимизации затрат суммарной характеристической скорости, необходимой для обслуживания и восполнения спутниковых систем на некомпланарных круговых орбитах # 09, сентябрь 2013...»

«I wобъединенный ИНСТИТУТ ядерных исследований дубиа PI-82-508 АНАЛИЗ КОЛЛЕКТИВНЫХ СВОЙСТВ ВТОРИЧНЫХ ЧАСТИЦ В СС ВЗАИМОДЕЙСТВИЯХ ПРИ ИМПУЛЬСЕ 4,2 Г э В / с НА НУКЛОН Направлено в журнал Ядерная физика i t Г.Н.Агакишиев', Н.Ахабабян, Ц.Баатар, Е.Балеа,...»

«Лабораторная работа №10 Свойства атомных ядер Цель лабораторной работы • дать более углубленное представление о материале, изучаемом на лекциях и семинарских занятиях по ядерной физике, • научить студента пользоваться...»

«Ковешников Евгений Валериевич ТЕОРЕМЫ ГЁДЕЛЯ И ИДЕИ ТАРСКОГО. ПРОБЛЕМА НЕПОЛНОТЫ И НЕОПРЕДЕЛЁННОСТИ МАТЕМАТИКИ И ЕСТЕСТВЕННЫХ НАУК Адрес статьи: www.gramota.net/materials/1/2010/11-2/7.html Статья опубликована в авторской редакции и отражает точку зрения автора(ов) по рассматриваемому вопросу. Источник Альма...»








 
2018 www.new.z-pdf.ru - «Библиотека бесплатных материалов - онлайн ресурсы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 2-3 рабочих дней удалим его.