WWW.NEW.Z-PDF.RU
БИБЛИОТЕКА  БЕСПЛАТНЫХ  МАТЕРИАЛОВ - Онлайн ресурсы
 

Pages:     | 1 || 3 | 4 |

«УРАЛЬСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ ФИЗИКИ МЕТАЛЛОВ ФИЗИКА КОНДЕНСИРОВАННЫХ СРЕД Научно-образовательная серия Основана в 2009 году РЕДАКЦИОННАЯ ...»

-- [ Страница 2 ] --

В этом случае мы анализируем поведение копий систем, различающихся начальными условиями. Разбегание траекторий для таких систем означает их сверхчувствительность к начальным условиям. Но о каком хаосе может идти речь, когда мы решаем систему дифференциальных уравнений для нескольких частиц и анализируем движение одной фазовой точки? Теорема единственности решения дифференциальных уравнений, казалось бы, должна давать детерминированное поведение, и в каждый момент времени можно строго вычислить координаты и импульсы всех частиц, составляющих систему .

Стохастичность здесь также возникает из-за сверхвысокой чувствительности динамики системы к заданию начальных условий. Не имея возможности анализировать эту проблему в деталях, приведем лишь наглядный пример, демонстрирующий суть проблемы (говорят, что пример убеждает разумного, а доказательство упрямого) .

Простейшей моделью стохастической системы может служить бильярд Синая. Этот бильярд представляет собой плоский стол, ограниченный стенками. В середине бильярда помещена круглая шайба радиусом R. Другая подвижная шайба меньшим радиусом r запускается с некоторой начальной скоростью v из произвольной точки бильярда. Предполагается, что все удары являются абсолютно упругими. Поскольку, как показано на рис. 22, результат рассеяния сильно зависит от начального направления скорости и начального положения подвижной 120 Глава 3. Кинетические уравнения шайбы, любое малое изменение начальных условий приведет в конце концов к другой картине движения .



Рис. 22. Бильярд Синая – простейшая механическая система, демонстрирующая хаотическое поведение Таким образом, именно сверхвысокая чувствительность к условиям рассеяния приводит к стохастическому поведению системы. При любой конечной точности вычислений через некоторое число актов рассеяния движущейся шайбы на центральном диске поведение частицы уже не будет зависеть от начального положения и начальной скорости частицы. Иначе говоря, система забудет своё начальное состояние и динамическое описание станет невозможным .

Описать движение такой шайбы можно, лишь вычислив вероятность её обнаружения в любой точке стола. Очевидно, что после некоторого времени, равного времени размешивания, эта вероятность уже не будет зависеть от t, а будет определяться лишь особенностями устройства системы, в частности геометрическими размерами. Более того, можно утверждать, что движение частицы в бильярде будет необратимым. Действительно, потеря информации о начальных условиях означает возрастание информационной энтропии в изолированной системе, что характерно для необратимого поведения. Критерием, позволяющим различать системы с размешиванием от интегрируемых систем, является отличие от нуля энтропии Колмогорова – Синая (1.123) .

Завершая эту тему, хотелось бы еще раз обратить внимание читателя на следующие основные моменты .

§ 2. Эволюция в фазовом пространстве 121 Возможность, а точнее, необходимость введения статистического описания связана со слабой устойчивостью динамических систем. Можно сказать, что статистическое описание возможно потому, что за любое макроскопическое время измерения динамической величины фазовая точка успеет побывать в огромном числе точек, разбросанных хаотически по всей фазовой поверхности. Именно размешивание позволяет использовать представление о том, что плотность распределения фазовых точек на изоэнергетической поверхности представляет собой постоянную величину (микроканоническое распределение), что является краеугольным камнем статистической механики Гиббса. Эргодичность систем (3.9) необходимое, но не достаточное условие применимости статистического описания, и только в системах с размешиванием плотность распределения фазовых точек оказывается одинаковой на всей изоэнергетической поверхности системы .





Для интегрируемых систем статистическое описание невозможно, поскольку фазовая точка движется по траектории, и если уж вводить усредненное описание, то усреднение нужно проводить вдоль траектории движения, а не по всему фазовому пространству .

Хаотическое поведение возникает как в динамических системах, описывающихся уравнениями Гамильтона, так и в диссипативных динамических системах, причем механизм возникновения динамического хаоса по существу одинаков – сверхвысокая зависимость картины движения от начальных условий .

Остановимся еще на одном вопросе. Не следует думать, что сложность системы автоматически гарантирует возникновение размешивания в ней. Еще на заре развития компьютерного эксперимента С. Улам, Д. Паста и Э. Ферми решили проверить при помощи численного эксперимента, выполняется ли одна из основных гипотез статистической механики – гипотеза о равномерном распределении энергии по степеням свободы. Для этих целей была взята система осцилляторов, взаимодействующих не по гармоническому закону. Как показал численный эксперимент, при возбуждении одной из колебательных мод вначале происходил интенсивный обмен энергии с другими модами 122 Глава 3. Кинетические уравнения и энергия, казалось бы, распределялась между всеми колебательными модами, но через некоторое время колебания исходной моды вновь усиливались. Наблюдалось явление, похожее на возврат системы в исходное состояние, предсказываемое теоремой Пуанкаре о возвратах. Решение проблемы Ферми – Паста

– Улама было получено в начале 1960-х гг. М. Крускалом и Н. Забуским, доказавшими, что система Ферми – Паста – Улама представляет собой разностный аналог уравнения Кортевега

– де Вриза и что равномерному распределению энергии препятствует солитонный характер распространения волн в этой системе (термин «солитон» предложен H. Забуским) .

Наконец, еще одно замечание. Статистическая механика Гиббса исходит из достаточно простых предположений о постоянстве плотности распределения фазовых точек на изоэнергетической поверхности. В то же самое время, как отмечалось в главе 1, в условиях динамического хаоса фазовое пространство становится фрактальным и имеет дробную размерность. К сожалению, пока совершенно не ясно, влияет ли это как-то на статистические свойства системы или нет .

3.2. Обоснование квазиклассических кинетических уравнений § 3. Уравнение Лиувилля для функции распределения Рассмотрим газ классических частиц, состоящих из N одинаковых одноатомных молекул, заключенных в некоторый объем V. Пусть для простоты изложения динамическое состояние каждой молекулы определяется координатой q и импульсом p .

Декартовы проекции векторов p и q обозначим соответственно p и q ( = 1, 2, 3) .

Поскольку мы рассматриваем газ классических частиц, их координаты и импульсы подчиняются уравнениям Гамильтона (3.1) <

–  –  –

В формуле (3.11) H – полный гамильтониан системы, индекс i нумерует молекулы .

Состояние механической системы в некоторый момент t, как указывалось выше, задается совокупностью значений координат и импульсов всех частиц, составляющих систему. Таким образом, в каждый момент времени состояние системы представляется точкой в 6N -мерном фазовом пространстве. Эволюцию системы можно описывать, изучая движение фазовой точки в фазовом пространстве .

Следуя Гиббсу, перейдем к описанию динамики системы на языке функции распределения. Для этого, вместо того чтобы рассматривать эволюцию отдельной системы, рассмотрим совокупность совершенно одинаковых динамических систем, различающихся только начальным положением в фазовом пространстве. Такая совокупность систем называется а н с а м б л е м Г и б б с а. Если обозначить через (p, q, t) плотность точек в фазовом пространстве, нормированную на единицу, то величина (p, q, t) dpdq представляет собой вероятность обнаружить фазовую точку в элементе объема фазового пространства dpdq .

Описание системы в рамках метода Гиббса является чисто динамическим. В этом легко убедиться, если посмотреть, какому уравнению должна удовлетворять функция распределения (p, q, t). Как упоминалось выше в связи с обсуждением теоремы Пуанкаре о возвратах, движение фазовых точек в классической механике есть ф а з о в ы й п о т о к, который задается однопараметрической группой преобразований фазового пространства

–  –  –

где p(t) и q(t) находятся из решения уравнений Гамильтона (3.11) .

Рассмотрим фазовые точки, попавшие в момент времени t в некоторый элемент объема фазового пространства dp dq. Под 124 Глава 3. Кинетические уравнения действием фазового потока эти точки в момент времени t переместятся в элемент объема фазового пространства dp dq. Поскольку фазовые точки не уничтожаются и не возникают вновь, то можно записать очевидное равенство

–  –  –

выражающее закон сохранения фазовых точек фазовым потоком. Поскольку, согласно теореме Лиувилля, фазовый поток сохраняет фазовый объем и dpdq = dp dq, то отсюда следует условие постоянства функции распределения при эволюции частиц по фазовой траектории:

–  –  –

одно-частичной функции распределения. То, что такое описание возможно, следует из материала, изложенного в § 1 главы

3. Действительно, при эволюции системы из начального состояния за временной период порядка характерного времени размешивания система забывает свое начальное состояние и коэффициенты корреляции высоких порядков обращаются в нуль .

Поэтому, если рассматривать поведение системы на временах, больших времени хаотизации, то бессмысленно описывать систему на языке N -частичной функции распределения (p, q, t) .

Достаточно использовать упрощенное описание на языке одноили двухчастичных функций распределения. Впервые этот подход для вывода кинетических уравнений продемонстрировал Н. Н. Боголюбов в работе «Проблемы динамической теории в статистической физике» [20] .

–  –  –

менее разумно начать вывод уравнения движения для s -частичной функции распределения, упростив его на заключительном этапе .

Для вывода уравнения движения, которому подчиняется s частичная функция распределения, будем использовать уравнение Лиувилля (3.13). Пусть система представляет собой разреженный газ свободно двигающихся молекул, взаимодействие между которыми определяется короткодействующим потенциалом (|qi qj |), зависящим только от модуля расстояния между частицами. В этом случае гамильтониан системы в потенциальном поле U (q) можно записать в виде

–  –  –

Умножим обе части уравнения (3.17) на V s и проинтегрируем их по переменным xs+1, xs+2,..., xN, причем интегрирование по каждой из переменных xi производится по всем возможным значениям координаты и импульса i -й частицы. В результате получаем следующее выражение:

–  –  –

[(|qi qj |), ] dxi dxj = 0, (3.20) которые выполняются, если плотность распределения стремится к нулю на границах фазовой области (при |q| и |p| ). Рассмотрим последовательно каждое из слагаемых в правой части уравнения (3.18) .

Выполняя интегрирование в первом слагаемом с учетом определения (3.15), запишем его в виде

–  –  –

Второе слагаемое в соответствии с тождеством (3.19) обращается в нуль и вклада не дает .

Третье слагаемое в правой части (3.18) с учетом определения (3.15) легко преобразуется:

–  –  –

В четвертом слагаемом можно обнаружить, что все слагаемые при суммировании по индексу j в силу тождественности частиц, приводящей к инвариантности функции распределения

–  –  –

относительно перестановки координат частиц xj и xs, заменой переменных при интегрировании можно привести к одинаковому виду. Число таких слагаемых, очевидно, N s. Поэтому Записав это уравнение, мы еще не продвинулись вперед в задаче сокращения в описании. В действительности мы получили цепочку «зацепляющихся» уравнений для функций распределения, которая эквивалентна (по полноте информации) исходному уравнению Лиувилля. Эта идея использовать совокупность «зацепляющихся» уравнений движения для последовательности функций распределения или корреляционных функций вида (2.3) очень часто используется в неравновесной статистической механике для построения схем сокращенного описания .

Похожие идеи высказывались в работах Борна, Грина, Кирквуда, Ивона. Поэтому в литературе очень часто уравнения движения (3.23) называют цепочками уравнений движения Боголюбова – Борна – Грина – Кирквуда – Ивона (ББГКИ) .

Чтобы получить замкнутое уравнение, необходимо функцию распределения, например Fs+1, выразить через функции распределения меньших порядков. Тогда система уравнений замкнется и мы получим сокращение в описании. В следующих параграфах мы получим различные варианты уравнений для одночастичной функции распределения, взяв за основу цепочку уравнений (3.23) .

Задача 3.1 Используя определение классических скобок Пуассона (3 .

13), доказать справедливость тождеств (3.19), (3.20) при условии, что стремится к нулю на границах фазовой области .

Решение Рассмотрим тождество (3.19). Используя определение скобок Пуассона, получаем

–  –  –

Вклад от первого слагаемого в правой части (3.25) и (3.26) равен нулю, а вторые слагаемые оказались одинаковыми. Поэтому в правой части (3.24) стоит разность двух одинаковых членов .

Для доказательства тождества (3.20) воспользуемся определением скобок Пуассона (3.13). Поскольку потенциал парного взаимодействия частиц зависит только от координат, получаем

–  –  –

Интегрируя каждое из слагаемых в правой части (3.27) по частям, легко заметить, что правая часть выражения (3.27) равна нулю и тождество (3.20) действительно выполняется .

§ 5. Уравнение для одночастичной функции распределения. Приближение времени релаксации Получим уравнение движения для одночастичной функции распределения F1 (x, t). Рассмотрим вначале скобку Пуассона [H1, F1 ]. Переходя к векторным обозначениям, получаем

–  –  –

Уравнение (3.29) все еще является точным динамическим уравнением. Его левая часть представляет собой скорость изменения одночастичной функции распределения за счет ее явной зависимости от времени и перемещения частиц в координатном и импульсном пространствах. Иначе говоря, в левой части (3.29) записана полная производная функции F1 по времени. В отличие от N -частичной функции распределения эта производная не равна нулю, а равна изменению функции распределения за счет парных столкновений с другими частицами. По этой причине правую часть уравнения (3.29) часто называют и н т е г р а л о м с т о л к н о в е н и й. С учетом сказанного запишем уравнение для одночастичной функции распределения, заменяя правую часть интегралом столкновений

–  –  –

Различные способы построения замкнутых кинетических уравнений различаются по существу только тем, как конструируется интеграл столкновений. Мы предполагаем рассмотреть в дальнейшем несколько таких способов, а начнем с простейшего

– приближения времени релаксации .

П р и б л и ж е н и е в р е м е н и р е л а к с а ц и и исходит из простого предположения, что в отсутствие внешних сил пространственно однородная система будет релаксировать к равновесию с некоторым характерным временем. Иначе говоря, уравнение

–  –  –

должно описывать релаксацию неравновесного распределения F1 (t) к равновесной функции распределения системы f0. Легко видеть, что всем этим условиям удовлетворяет интеграл столкновений, записанный в форме

–  –  –

где константа C(0) определяется из начальных условий для функции F1 .

В итоге кинетическое уравнение в приближении времени релаксации может быть записано в следующей форме:

–  –  –

Следует отметить, что каких-либо серьезных аргументов для того, чтобы считать процесс релаксации экспоненциальным, не существует. Тем не менее этот подход, в силу своей простоты, широко используется, особенно при качественной интерпретации результатов эксперимента. Использование понятия времени релаксации зачастую дает неплохие результаты при анализе кинетических явлений в металлах и полупроводниках. Величина при этом играет роль подгоночного параметра. В некоторых случаях для времени релаксации удается построить замкнутые выражения из первых принципов и тем самым обосновать использование приближения времени релаксации. Подробнее эти вопросы будут рассмотрены в главе 4 .

§ 6. Кинетическое уравнение Власова 133 § 6. Кинетическое уравнение Власова для бесстолкновительной плазмы Для получения из цепочки уравнений Боголюбова (3.29) замкнутого уравнения для одночастичной функции распределения нужно двухчастичную функцию распределения представить в виде некоторого функционала, зависящего только от одночастичных функций распределения. Ясно, что без привлечения каких-либо дополнительных физических идей относительно свойств потенциала взаимодействия или относительно характера поведения функции F2 дальнейшее продвижение вперед невозможно. Поэтому будут рассмотрены два противоположных случая R0 n 1 и R0 n 1, где R0 – характерный радиус взаимодействия микрочастиц, n – число частиц в единице объема. Первый случай соответствует случаю газа малой плотности, когда характерный радиус сил взаимодействия частиц много меньше среднего расстояния между частицами .

Рассмотрение этого случая мы пока отложим .

Второй случай реализуется в ионизованной плазме, где величина R0 имеет смысл радиуса дебаевского экранирования заряженных частиц .

Рассмотрим систему частиц с кулоновским потенциалом взаимодействия e2 (|r r |) = ± .

|r r | Система в целом считается электрически нейтральной. Особенностью кулоновского взаимодействия является то, что потенциал взаимодействия слишком слабо спадает с расстоянием между частицами. Поэтому приходится учитывать взаимодействие пробной частицы со всеми остальными частицами системы. Более того, эффект парного взаимодействия пробной частицы с любой другой частицей системы оказывается много меньше эффекта ее взаимодействия с эффективным полем, создаваемым совокупностью оставшихся N 2 частиц. Таким образом, мы приходим к выводу, что в случае кулоновского потенциала взаимодействия более важным является учет взаимодействия пробной частицы с усредненным полем других частиц, нежели учет парных взаимодействий. Отсюда следует справедливость важного упрощения .

134 Глава 3. Кинетические уравнения

Очевидно, что двухчастичную функцию распределения мож-но всегда записать в виде

F2 (t, p, r, p, r ) = F1 (t, p, r) F1 (t, p, r ) + G2 (t, p, r, p, r ), (3.33) где функция G2 (t, p, r, p, r ) учитывает парные корреляции .

Поскольку, как отмечено выше, учет парных корреляций оказывается менее важен, нежели влияние эффективного поля, парной корреляционной функцией G2 в (3.33) можно пренебречь .

Это упрощение сразу позволяет оборвать цепочку уравнений Боголюбова и получить замкнутое уравнение для одночастичной функции распределения .

В реальных системах, например электронной плазме, кулоновский потенциал экранируется подвижными электронами и предложенный выше способ рассуждений справедлив лишь на расстояниях r rд, где обратный радиус дебаевского экранирования q0 определяется выражением 4ne2 q0 = = .

rд kБ T С другой стороны, чтобы концепция среднего поля имела право на жизнь, необходимо, чтобы внутри сферы Дебая было достаточно много частиц: n rд 1. Подставляя сюда оценку радиуса дебаевского экранирования, получаем услоe2 n1/3. Поскольку n1/3 1/a0, где a0 – величивие kБ T на порядка среднего расстояния между частицами, записанное выше условие легко интерпретируется: кинетическая энергия движения частиц должна быть много больше энергии кулоновского взаимодействия между ближайшими частицами

–  –  –

Подставляя этот результат в уравнение для одночастичной функции распределения (3.29), получаем замкнутое уравнение для функции F1 с самосогласованным полем

–  –  –

В-третьих, движение заряженных частиц приводит к возникновению переменного электромагнитного поля. Поэтому уравнение Власова еще необходимо дополнить уравнениями Максвелла для компонент электрического и магнитного полей. Таким образом, уравнения (3.36) в действительности следует рассматривать как некую программу, реализация которой требует серьезных усилий. Рассмотрим интересную и практически важную задачу, для решения которой можно использовать линеаризованное уравнение Власова .

Задача 3.2 Используя линеаризованное кинетическое уравнение Власова, определить спектр продольных колебаний электронной плазмы, предполагая, что положительно заряженные ионы неподвижны и имеют однородное распределение .

Решение В условиях сформулированной задачи можно ограничиться только рассмотрением движения электронов.

Представим одночастичную функцию распределения F1 в виде суммы равновесной функции распределения f0 (v) и неравновесной добавки f (t, v, r) :

–  –  –

действует внешняя сила взаимодействия с положительно заряженным фоном U (r ), и сила, определяемая градиентом самосогласованного поля U (t, r ). В условиях равновесия эти силы должны компенсировать друг друга. Поэтому результирующая сила, действующая на электрон, будет определяться только неравновесной добавкой f (t, v, r) :

<

–  –  –

получаем = 0. Подставляя этот результат в правую часть (3.50) и извлекая квадратный корень из левой и правой частей, в первом приближении по k 2 получаем

–  –  –

Затухание продольных плазменных волн, определяемое выражением (3.52), было найдено Л. Д. Ландау в 1946 г. Следует обратить внимание на то, что это затухание получено без учета столкновений электронов с рассеивателями. Электрическое поле в данном случае играет роль квазиупругой силы. Затухание определяется лишь той частью электронов, для которых скорость вдоль оси X совпадает с фазовой скоростью волны, равной /k. Эти электроны наиболее эффективно периодически разгоняются, а затем замедляются электрическим полем. После ускорения в электрическом поле число электронов, для которых выполняется условие vx = /k, больше, нежели после замедления. Поэтому тормозящее действие электрического поля эффективнее, нежели ускоряющее, и электроны этой группы за цикл колебаний в среднем теряют часть своей энергии. Следует 142 Глава 3. Кинетические уравнения отметить, что, кроме затухания Ландау, существуют и другие механизмы, приводящие к затуханию плазменных колебаний без учета столкновений: например излучение электромагнитной энергии ускоренно движущимися электронами .

§ 7. Уравнение Больцмана для газа малой плотности Одним из основных результатов кинетической теории является кинетическое уравнение для одночастичной функции распределения, полученное Л. Больцманом в 1872 г. Рассмотрим два различных подхода, позволяющих получить это уравнение:

качественный, которому следовал Л. Больцман, и вывод из первых принципов с использованием цепочки зацепляющихся уравнений движения для функций распределения Н. Н. Боголюбова. Прежде чем переходить к непосредственному выводу кинетического уравнения, следует проанализировать условия применимости развиваемого подхода .

Во-первых, рассмотрение будет ограничено парными столкновениями, поскольку задача рассеяния двух тел имеет аналитическое решение, а задачи рассеяния трех и более тел имеют только численное решение и не могут быть представлены в аналитической форме. По этой же причине ограничим свое рассмотрение пространственно однородными системами. На самом деле требование пространственной однородности не является сильно лимитирующим ограничением. Функция распределения не должна существенно изменяться на расстояниях r (порядка длины свободного пробега частиц). Функция распределения, тем не менее, может зависеть от координат как от параметра. Для большинства физических приложений этого оказывается достаточно .

Во-вторых, будем рассматривать систему частиц с потенциалом взаимодействия типа отталкивания. В этом случае при рассеянии не могут возникнуть связанные состояния .

В-третьих, будем считать, что радиус сил взаимодействия r0 много меньше среднего расстояния между частицами a0 = v 1/3, где v – это объем, приходящийся на одну частицу. Параметр r0 /v будет считаться малым по сравнению с другими пространственными масштабами системы .

§ 8. Качественный вывод уравнения Больцмана 143 Существование двух различных пространственных масштабов приводит и к появлению двух различных временных масштабов. Если считать, что система состоит из частиц одного сорта, имеющих среднюю скорость v, то можно ввести характерное время взаимодействия частиц 0 = r0 /v и характерное время свободного пробега = /v, где – длина свободного пробега. Очевидно, что выполняется условие 0 .

Действительно, численные оценки для газа при нормальных условиях дают: N/V 3 1019 частиц/см3 ; объем, приходящийся на одну частицу, v0 3 1020 см3 ; среднее расстояние между частицами a0 = 3 107 см; характерный радиус сил взаимодействия между частицами r0 108 см; длина свободного пробега 105 см; тепловая скорость движения молекул v = 105 см/с. Отсюда получаем 0 1013 c, а 1010 c. Наличие столь разных временных и пространственных масштабов позволяет огрубить описание и осуществить переход от динамического описания к статистическому .

§ 8. Качественный вывод уравнения Больцмана Если столкновения между молекулами не учитывать совсем, то каждую частицу газа можно рассматривать как замкнутую подсистему и для одночастичной функции распределения F1 (t, p, r) тогда справедлива теорема Лиувилля dF1 F1 p или = 0; + r F1 +F p F1 = 0 .

dt t m Учет столкновений приводит к тому, что функция распределения будет претерпевать изменения не только за счет движения частицы по фазовой траектории, но и за счет ее столкновений с другими частицами. Эта часть изменения функции распределения, как указывалось выше, называется интегралом столкновения. Заслугой Больцмана является как раз построение интеграла столкновений для газа малой плотности .

Хотя при построении интеграла столкновений необходимо учитывать кинематику процесса столкновений, этот вывод не может быть чисто динамическим. Если интересоваться повеt, то не возникает дением системы на временах 0 144 Глава 3. Кинетические уравнения необходимости в точном описании процесса столкновения частиц: достаточно знать лишь асимптотическое поведение системы (т. е. найти взаимосвязь состояний задолго до столкновения с состояниями через достаточно большой промежуток после столкновения) .

При упругих столкновениях двух частиц должны выполняться законы сохранения импульса и энергии p + p1 = p + p1 = P, p2 + p2 = p (3.53) + p1, где p, p1 и p, p1 – импульсы частиц до столкновения и после него, P – полный импульс системы двух частиц. Скорости относительного движения u = (p1 p )/m и u = (p1 p )/m до столкновения и после него равны по абсолютной величине и противоположны по направлению: u = u .

Очевидно, что, используя уравнения (3.53), импульсы частиц до и после столкновений можно выразить через две величины: суммарный импульс частиц P и скорость относительного движения u :

–  –  –

В некоторый момент времени t в элементе объема фазового пространства drdp будет находиться nf drdp частиц, где n = 1/v – число частиц в единице объема (концентрация). Интеграл столкновений определяет скорость изменения числа частиц, находящихся в элементе объема фазового пространства § 8. Качественный вывод уравнения Больцмана 145 drdp в окрестности точки r, p. Для того чтобы ее найти, необходимо подсчитать, сколько частиц уходит из этого объема фазового пространства и сколько приходит за единицу времени .

Поскольку все акты рассеяния происходят независимо и рассеянные частицы к следующему акту рассеяния успевают термализоваться, каждый акт рассеяния можно рассматривать независимо .

Рассмотрим одну частицу, имеющую координату r, p, и остановим ее, т. е. перейдем в систему координат, связанную с этой частицей. В качестве модели взаимодействия частиц возьмем модель твердых сфер, полагая, что каждая из частиц имеет радиус r0. Окружим выделенную частицу сферой взаимодействия частиц радиусом 2r0, в центре которой поместим начало цилиндрической системы отсчета. Ось Z этой системы направим вдоль вектора относительной скорости u. Схема выбора осей координат приведена на рис. 23 .

–  –  –

Координату, задающую полярный угол, обозначим, а радиальную переменную – буквой a. Обозначим бесконечно малый элемент площади поперечного сечения сферы adad как d (на рис. 23 этот элемент площади выделен более жирной линией). Среднее число частиц c импульсами от p1 до p1 + dp1, падающих на эту площадку за единицу времени, будет равно nf1 uddp1. Тогда среднее число столкновений частиц, находящихся в элементе фазового объема drdp, с частицами, имеющими импульс от p1 до p1 + dp1, будет определяться выражением (3.56) nf drdp nf1 uddp1 .

146 Глава 3. Кинетические уравнения

–  –  –

Используя кинематику законов рассеяния, легко доказать, что dpdp1 = dp dp1. Действительно, как известно, закон перехода от одной системы координат к другой задается с помощью якобиана преобразований dp dp1 = |D|dp dp1, где якобиан преобразования D (функциональный определитель) определяется выражением

–  –  –

Чтобы найти функциональный определитель D, подставим значения проекций относительной скорости до парного столкновения и после него: u = (ux, uy, uz ), u = (ux, uy, uz ).

Поскольку в выбранной нами для рассмотрения акта упругого рассеяния системе координат изменяется только компонента скорости uz, а компоненты скорости ux и uy остаются постоянными, то функциональный определитель, используя его свойства ( [1], [3]), можно еще упростить:

–  –  –

Для практических расчетов в формуле (3.59) переменные p и p1, от которых зависят функции f и f1, следует выразить через переменные p и p1, используя соотношения (3.53), (3.54) .

Рассмотрим альтернативные способы записи интеграла столкновений для случая парных столкновений в центральном поле (центральным называется силовое поле, потенциал которого зависит только от расстояния до силового центра). В центральном 148 Глава 3. Кинетические уравнения поле в процессе столкновения, в дополнение к энергии и импульсу, сохраняется еще и момент количества движения. Это приводит к тому, что каждый элементарный акт рассеяния происходит в плоскости, перпендикулярной вектору момента количества движения (рассмотренный выше случай столкновения упругих шаров является частным примером рассеяния в центральном поле). Рассеяние в центральном поле обычно описывают на языке сечения рассеяния .

Пусть однородный пучок частиц падает на неподвижный рассеивающий центр с постоянной скоростью u.

С е ч е н и е м р а с с е я н и я (, u) называется коэффициент пропорциональности между величиной плотности потока падающих частиц I и числом частиц dN, рассеянных в телесный угол d = sin d d за единицу времени:

(3.60) dN = I (, u)d .

В этой формуле – так называемый угол рассеяния, т. е. угол между векторами относительной скорости u и u до рассеяния и после него. Геометрический смысл параметров, в терминах которых описывается столкновение частиц в центральном поле, изображен на рис. 24 (рассмотрен случай столкновения упругих шаров радиусом r0 ) .

Все частицы, имеющие прицельный параметр от b до b+db, попадут в сферический поясок на сфере рассеяния, изображенный на рис. 24 a, и будут иметь углы рассеяния от до + d .

Отсюда следует, что все частицы, попавшие в элемент поверхности b db d сферы рассеяния, будут рассеяны в телесный угол d. Следовательно, dN = I b db d. Сравнивая это выражение с формулой (3.60), находим

–  –  –

Производная db/d здесь взята по модулю, поскольку при нашем определении угла рассеяния он увеличивается с уменьшением прицельного параметра .

§ 8. Качественный вывод уравнения Больцмана 149

–  –  –

Рис. 24. Кинематика упругого рассеяния:

а – сечение сферы взаимодействия плоскостью, перпендикулярной u ;

б – построение, позволяющее найти взаимосвязь прицельного параметра b с углом рассеяния

–  –  –

Второе равенство здесь получено с использованием определения (3.61) .

Сравнивая выражение (3.63) и правую часть формулы (3.59), легко обнаружить, что интеграл столкновений в кинетическом 150 Глава 3. Кинетические уравнения уравнении Больцмана можно записать, используя для характеристики рассеяния понятие сечения рассеяния. В этом случае вместо (3.59) имеем f p u (, u) (f f1 f f1 )dp1 d. (3.64) + rf +F pf =n t m Для практических целей удобно записать интеграл столкновений так, чтобы он явно содержал законы сохранения энергии и импульса. Для этого нужно в интеграле столкновений добавить интегрирование по импульсу p1 и энергии E1 налетающих частиц после рассеяния и дописать соответствующие

-функции, выражающие закон сохранения энергии:

–  –  –

Рассматривая рассеяние частиц как переход системы из состояния p, p1 в состояние p p1, введем понятие вероятности перехода W (p, p1 ; p, p1 ), определив ее соотношением

–  –  –

Анализируя структуру интеграла столкновений (3.66), легко заметить, что он распадается на два вклада, описывающих приход частиц в состояние с импульсом p и уход частиц из этого состояния. Для того чтобы такое представление было возможно, вероятность переходов W (p, p1 ; p, p1 ) должна удовлетворять условию

–  –  –

Соотношение (3.67) есть частный случай проявления принципа д е т а л ь н о г о р а в н о в е с и я, который в данном случае сводится просто к тому, что механические (квантовомеханические) вероятности переходов между состояниями в прямом и обратном направлении равны .

§ 9. Вывод уравнения Больцмана из цепочки уравнений Боголюбова Запишем первые два уравнения цепочки Боголюбова для функций распределения F1 и F2 в линейном приближении по параметру r0 /v. Раскрывая скобку Пуассона в (3.29), (3.23), Поскольку интегральный член в правой части (3.68) уже содержит первую степень малого параметра r0 /v (потенциал взаимодействия отличен от нуля только внутри сферы радиусом r0 ), мы опустили интегральный член в правой части уравнения (3.69), содержащий первую степень малого параметра r0 /v. Тогда уравнение для функции F2 превращается в уравнение Лиувилля для двухчастичной функции распределения .

Будем искать решение системы уравнений (3.68), (3.69), удовлетворяющее принципу пространственного ослабления корреляций, который в данном случае сводится к тому, что при достаточно большом удалении частиц друг от друга их корреляция ослабевает и парная корреляционная функция может быть записана в виде произведения одночастичных функций:

(3.70) F2 (t, p, r, p1, r1 )||rr1 | = F1 (t, r, p) F1 (t, r1, p1 ) .

152 Глава 3. Кинетические уравнения Выражение (3.70) можно рассматривать как граничное условие, накладываемое на функцию распределения, которое позволяет отобрать физически осмысленное решение .

Поскольку уравнение (3.66) представляет собой уравнение Лиувилля для двухчастичной функции распределения при полном пренебрежении столкновениями с другими частицами, то его решением будет функция, остающаяся постоянной при движении вдоль фазовой траектории:

F2 (t, x(t, x0 ), x1 (t, x0 )) = F2 (t, x(t, x0 ), x1 (t, x0 )) = = S (x, x1 ) F2 (t, x(t, x0 ), x1 (t, x0 )). (3.71) В формуле (3.71) величины x, x1 используются для обозначения совокупности координаты и импульса частиц. Величина x0 обозначает координаты и импульсы совокупности двух частиц в начальный момент времени. Запись x(t, x0 ) означает, что координата и импульс частицы вычислены в результате решения механической задачи с начальным условием {x, x1 } = x0 .

При записи второй части равенства (3.71) использован оператор

S (x, x1 ), который сдвигает частицы вдоль фазовой траектории на временной интервал :

S (x, x1 ) = eiL2, iL2 A = [A, H] .

Здесь iL2 – оператор Лиувилля двух частиц .

Предположим теперь, что время столь велико, что частицы разводятся на расстояние, превышающее характерный радиус корреляции. В этом случае двухчастичная функция распределения распадется на произведение одночастичных функций распределения и, продолжив цепочку равенств (3.71), получаем

–  –  –

где S (x), S (x1 ) – одночастичные операторы эволюции .

Выражение (3.72) определяет взаимосвязь одночастичной и двухчастичной функций распределения, взятых в один и тот же момент времени. Это уравнение справедливо в приближении § 9. Вывод из цепочки уравнений Боголюбова 153 газа малой плотности r0 /v 1 для механических систем, в которых реализуется пространственное ослабление корреляций .

В дальнейшем будем рассматривать пространственно однородный случай. Тогда зависимость одночастичной функции F1 от координат может быть только параметрической, связанной с плавным изменение внешних условий (например наличием градиента температуры), а на расстояниях порядка длины свободного пробега эта функция от координат не зависит.

Поэтому соотношение (3.72) можно еще упростить:

(3.73) F2 (t, x, x1 ) = S (x, x1 ) S (p) S (p1 ) F1 (t, p ) F1 (t, p1 ) .

Это представление для двухчастичной функции распределения является формально точным, если система пространственно однородна и справедлив принцип ослабления корреляций .

Вернемся к анализу уравнения (3.69). Частная производная по времени в этом уравнении в рассматриваемом приближении может быть опущена. Действительно, явная зависимость от времени функции распределения может возникнуть только за счет внешних взаимодействий по отношению к выбранной системе из двух частиц. Такими взаимодействиями могут быть столкновения с другими частицами или взаимодействие с переменным внешним полем с характерной частотой. Будем считать, что выполняется условие

–  –  –

Вводимое ограничение не является очень жестким, поскольку 1014 c и вплоть до частот оптического диапазона условие 1/ хорошо выполняется .

В этом случае частная производная F2 /t порядка интеграла столкновений и, следовательно, порядка r0 /v. Поскольку мы строим кинетическое уравнение в первом приближении по этому параметру, а правая часть (3.68) его уже содержит, то в уравнении (3.69) для функции F2 линейные по r0 /v члены можно опустить. По существу, отбрасывание частной производной в уравнении (3.69) эквивалентно предположению, что столкновение двух частиц происходит в стационарных условиях .

154 Глава 3. Кинетические уравнения Проинтегрируем уравнение (3.69) по r1 и p1. Вводя относительную координату R = r1 r, получаем

–  –  –

в силу условия F2 |p1 =± = 0 и U (r) = 0 .

Выражение в правой части (3.74) с точностью до множителя совпадает с интегралом столкновения для одночастичной функции распределения, и поэтому правую часть в формуле (3.68) можно представить в виде

–  –  –

Легко заметить, что полученное выражение для интеграла столкновений полностью совпадает с интегралом столкновений в уравнении Больцмана (3.59) .

§ 10. Уравнение Фоккера – Планка Значительную часть кинетических явлений составляют процессы, в которых изменение параметров функции распределения в каждом элементарном акте рассеяния малы по сравнению с их характерными значениями. Типичным примером такой задачи является релаксация импульса тяжелой частицы в газе легких частиц. Концентрация тяжелых частиц предполагается малой, и поэтому столкновениями тяжелых частиц между собой можно пренебречь. При столкновении тяжелой частицы с легкой импульс тяжелой частицы меняется незначительно как по абсолютной величине, так и по направлению. Обозначим импульс передачи в элементарном акте рассеяния буквой q, q. Найдем уравнение, которому подчиняется одночастичp ная функция распределения f (t, p) (здесь и далее ради упрощения обозначений мы отказались от обозначения F1 для одночастичной функции распределения) .

Введем обозначение w(p, q) dq для числа переходов за единицу времени тяжелых частиц из состояния c импульсом p в состояние с импульсом p q. Тогда величина w(p + q, q) dq равна скорости переходов из состояния p + q в состояние с импульсом p. Как показано выше, интеграл столкновений в кинетическом уравнении может быть записан в виде разности двух членов, один из которых описывает скорость перехода частиц в состояние с импульсом p, а другой – скорость ухода частиц из этого состояния.

Применяя этот принцип, сконструируем интеграл столкновений для тяжелой частицы в легком газе [21]:

–  –  –

Согласно сделанным предположениям, величина w(p, q) быстро убывает с ростом q (импульс передачи мал). Поэтому величина q мала по сравнению с импульсом частиц p. Это обстоятельство позволяет произвести разложение в интеграле столкновений (3.79)

–  –  –

Поскольку A и B – всего лишь некоторые константы, удобнее для целей дальнейшего изложения вместо константы A ввести новую константу A, определив ее соотношением

–  –  –

Полученное уравнение является линейным неоднородным уравнением. Легко проверить, что общим решением однородного уравнения является равновесная функция распределения f0. Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде

–  –  –

При записи выражения (3.89) учтено, что функция f (p) в действительности зависит от модуля этого вектора, и поэтому при интегрировании в формуле (3.88) можно записать

–  –  –

где – символ Кронекера .

Интеграл в правой части (3.89) представляет собой среднюю энергию частиц. Действительно, переходя в этом интеграле к интегрированию в сферической системе координат с учетом условия нормировки функции f (p) и полагая = p2 /2m, получаем

–  –  –

В этом выражении константу B можно рассматривать как феноменологический параметр, который следует найти из эксперимента или оценить из первых принципов, задавая явный вид выражения для вероятности перехода в формуле (3.82) .

162 Глава 3. Кинетические уравнения

3.3. Решение кинетических уравнений

–  –  –

Анализ проблемы решения кинетического уравнения Больцмана начнем с простейшего случая равновесного состояния системы. В условиях равновесия функция распределения не содержит явной зависимости от координат и времени, а внешние силы, выводящие систему из состояния равновесия, отсутствуют. Тогда левая часть выражения (3.64) равна нулю и кинетическое уравнение для равновесного состояния сводится к равенству нулю интеграла столкновений

u (, u) (f f1 f f1 ) dp1 d = 0. (3.91)

Заметим, что до сих пор мы записывали кинетическое уравнение для одночастичной функции F1, и в уравнении (3.59) фигурирует именно эта функция. Введенное соотношением (3.55) обозначение F1 (t, r, p) = f не должно вводить в заблуждение .

В дальнейшем удобно перейти к более привычному определению функции распределения, нормированной на концентрацию .

Поскольку одночастичная функция распределения F1 (t, r, p) связана с функцией f (t, r, p), нормированной на концентрацию, простым соотношением f (t, r, p) = n F1 (t, r, p), то для того, чтобы перейти к новым обозначениям при записи кинетического уравнения, достаточно опустить выражение для концентрации в интеграле столкновений (3.59). В дальнейшем будем считать, что такой переход уже осуществлен, и полагать, что фигурирующие в кинетическом уравнении функции нормированы на концентрацию. Именно поэтому при записи интеграла столкновений (3.91) мы опустили выражение для концентрации n перед интегралом .

Очевидно, что равенство нулю (3.91) достигается, если выполняется условие

–  –  –

Равенство (3.92) можно интерпретировать как некоторый закон сохранения: сумма логарифмов функции распределения частиц до столкновения равна сумме логарифмов функции распределения частиц после столкновения. Известно, что парные упругие столкновения частиц характеризуются наличием аддитивных законов сохранения импульса, энергии и числа частиц (массы). Закон сохранения величины A называется а д д и т и в н ы м, если эта величина может быть представлена как сумма величин Ai для всех частей системы при условии отсутствия взаимодействия между ними. Никаких других аддитивных законов сохранения в этой задаче нет (вообще говоря, момент импульса также является аддитивным интегралом движения, но если не учитывать вращение молекул и изменение момента импульса в процессе столкновения, то этот интеграл движения можно не учитывать).

Поэтому логарифм функции распределения может зависеть только от перечисленных выше пяти аддитивных инвариантов столкновения:

–  –  –

дрейфа, а второй момент (3.96) равен полной энергии хаотического движения частиц. Легко видеть, что при таком выборе констант A, B и C функция распределения имеет вид

–  –  –

Таким образом, для равновесного случая решением кинетического уравнения (3.91) является известная функция распределения Максвелла – Больцмана .

Результаты (3.94) – (3.97) могут быть обобщены по нескольким направлениям. Во-первых, предыдущее рассмотрение можно применить и к локально-равновесному состоянию. В этом случае функция распределения параметрически будет зависеть от координат и времени через локальную концентрацию n(r, t) и локальную температуру T (r, t), и дрейфовую скорость v0 (r, t). Такой подход позволяет использовать уравнение Больцмана для вывода гидродинамических уравнений баланса. В следующей главе, используя этот метод, будут получены уравнения баланса импульса, энергии и числа частиц для системы горячих электронов в проводящих кристаллах .

Нетрудно обобщить результаты (3.94) – (3.97) и на случай, когда частицы газа находятся в стационарном силовом потенциальном поле U (r), или случай неупругого рассеяния частиц (эти результаты можно найти в монографии [22]) .

–  –  –

После операции обращения времени левая часть уравнения (3.98) для функции f = f (t, p, r ) поменяла знак, а правая – нет .

Необратимость уравнения Больцмана связана с тем, что из всех возможных решений цепочки уравнений Боголюбова отобраны те решения, которые удовлетворяют принципу ослабления корреляций. Современники подвергли Больцмана острой критике за отход от идей детерминизма. С позиций современного знания, как указывалось в § 2 этой главы, точное решение динамической задачи в системах, демонстрирующих динамический хаос, является совершенно бессмысленной задачей, и для получения результатов, имеющих практический смысл, необходимо переходить к статистическому описанию. Именно эту идею и реализовал Больцман, предложив свое уравнение .

Необратимый характер поведения системы, описание которой производится на языке функции распределения, удовлетворяющей уравнению Больцмана, становится очевидным, если, следуя Больцману, определить величину H (функцию Ляпунова см. (1.97)) (3.99) H(t) = dp f (p, t) ln f (p, t), которая является невозрастающей функцией времени. Очевидно, что можно определить и неубывающую величину S(t) = H(t), совпадающую с точностью до размерного множителя с энтропией системы. Существование невозрастающей функции H(t), определенной формулой (3.99), для функций, являющихся решением уравнения (3.59), обычно называют H -теоремой Больцмана .

Приведем доказательство этой теоремы для случая пространственно однородного распределения газа в условиях отсутствия внешних сил. Кинетическое уравнение в этой ситуации описывает релаксацию газа к равновесному состоянию и имеет наиболее простой вид

–  –  –

сечение рассеяния (, u) являются положительными величинами, то подынтегральная функция в правой части (3.103) является неположительной величиной во всей области интегрирования и H(t) 0 .

t Этим исчерпывается доказательство теоремы .

Заметим, что H -теорема Больцмана, доказанная выше, эквивалентна второму началу термодинамики, которое гласит, что энтропия системы не может уменьшаться. Фактически H -теорема является даже более общим утверждением, поскольку она справедлива и для систем, далеких от состояния равновесия. Она позволяет утверждать, что и для неравновесного состояния можно определить функцию Ляпунова, которая в каком-то смысле эквивалентна энтропии для равновесных систем. Другие формулировки доказательства H -теоремы и обсуждение проблемы необратимости решений уравнения Больцмана можно найти в специальной литературе [23, 24] .

§ 13. Разложение Гильберта Кинетическое уравнение Больцмана (3.64) является нелинейным интегродифференциальным уравнением, и нахождение его решений, удовлетворяющих начальным и граничным условиям, представляет необычайно сложную проблему. Неудивительно, что до сих пор нет полного анализа существования и единственности решений этого уравнения в общем виде. Полученные к настоящему времени результаты весьма скромны, и большая их часть изложена в упоминавшихся монографиях [23,24]. Основные направления практического использования уравнения Больцмана для решения задач физической кинетики состоят в попытках построения теории возмущений .

Самым простым и физически ясным является метод линеаризации интеграла столкновений. В этом случае теория возмущений строится по степеням отклонения системы от состояния равновесия, а решение кинетического уравнения f (p, t) ищется в виде равновесной функции распределения f0 (p ) и малой поправки f (p, t). Линеаризация интеграла столкновений состоит в том, что удерживаются только линейные по f (p, t) члены .

168 Глава 3. Кинетические уравнения Для линеаризованного уравнения Больцмана имеется ряд строгих результатов существования и единственности решений задач с начальными и граничными условиями [24]. Недостатком этого подхода является то, что анализ оказывается справедливым только для слабонеравновесных состояний .

Другая группа методов теории возмущений состоит в разложении функции распределения в ряд по степеням некоего малого параметра и построении итерационной схемы последовательного определения коэффициентов разложения. Впервые этот прием для анализа решений уравнений Больцмана применил Д. Гильберт в 1912 г. Изложим кратко сущность и результаты разложения Гильберта .

Оценим вначале порядок различных членов в уравнении Больцмана.

Если – характерная частота изменения внешних воздействий, v – характерная скорость частиц, d – характерный размер пространственной неоднородности системы, l – длина свободного пробега частиц, а l/v = – время свободного пробега частиц, то можно оценить порядок различных членов в уравнении Больцмана:

f v f f v f, rf f .

v f, t d t l ст Отсюда следует, что можно ввести два безразмерных параметра, характеризующих относительную величину интеграла столкновений по сравнению с вкладами слагаемых в левой части уравнения: и l/d. В качестве первого приближения можно считать, что эти параметры близки по величине, и тогда относительный вклад интеграла столкновений определяется лишь одним параметром Kn = l/d, который носит название ч и с л а К н у д с е н а. При малых значениях числа Кнудсена длина свободного пробега мала, столкновения происходят достаточно часто и вклад интеграла столкновений велик. При больших значениях числа Кнудсена Kn 1 возможен режим свободномолекулярного течения газа, когда интеграл столкновений в кинетическом уравнении можно опустить. Этот анализ наводит на мысль, что теорию возмущений для кинетического уравнения можно строить для двух разных предельных случаев, когда число Кнудсена Kn 0 и когда это число велико и Kn .

§ 13. Разложение Гильберта 169 Разложение Гильберта соответствует первому случаю, когда число Кнудсена Kn = является малым параметром (плотные газы). Запишем кинетическое уравнение (3.64), вводя для интеграла столкновений символическое обозначение I(f, f ) :

–  –  –

После того как все члены разложения (3.105) будут найдены, параметр следует положить равным единице и вернуться к исходным определениям. В этом смысле разложение является формальным приемом, всего лишь позволяющим правильно отобрать члены одинакового порядка малости .

Подставим разложение (3.105) в уравнение (3.104) и приравняем члены в левой и правой частях уравнения (3.104), содержащие нулевой, первый, второй и т. д. порядки по.

В результате получаем бесконечную последовательность уравнений, позволяющих определить коэффициенты разложения f (i) :

–  –  –

Уравнение (3.106) позволяет определить f (0). Легко видеть, что по существу это уравнение совпадает с уравнением (3.91) и 170 Глава 3. Кинетические уравнения его решением будет квазиравновесная функция распределения (3.97)

–  –  –

где параметры n, v0, T являются локально-равновесными величинами и зависят от координат и времени .

Проанализируем структуру уравнений (3.107), (3.108). Дальнейшие выкладки достаточно громоздки. Поскольку нас интересуют лишь принципиальные моменты метода, а не прикладные аспекты, без всякого ущерба можно опустить член, пропорциональный внешней силе, в уравнениях (3.107), (3.108) .

Каждое из этих уравнений позволяет определить очередную поправку в разложении (3.105). Таким образом, в принципе, можно определить все члены разложения (3.105), но для этого придется на каждом шаге решить некоторое линейное неоднородное интегральное уравнение.

Структура интегральных уравнений для определения очередной поправки f (n) = f (0) h(n) одинакова и может быть записана в символической форме:

–  –  –

где L – линейный интегральный оператор, а S (n) – некоторая функция, явный вид которой известен, если найдены предыдущие члены разложения (3.105). Поскольку величины f (0) известны, приходим к системе уравнений для отыскания функций h(n), структура которых одинакова и представляет собой на каждом шаге линейное неоднородное интегральное уравнение

Фредгольма второго рода:

Lh(n) = g (n). (3.113) § 13. Разложение Гильберта 171 Решениями однородного уравнения Lh(n) = 0 для случая упругого рассеяния частиц являются аддитивные инварианты столкновения = 1, 2,..., 5, т. е. константа, три компоненты импульса и кинетическая энергия (заметим, что эти величины являются собственными функциями уравнения Lh = h, соответствующие собственному значению = 0 ). Решение неоднородного уравнения (3.113) эквивалентно нахождению обратного оператора L1, что в общем случае невозможно, поскольку = 0 входит в число возможных собственных значений оператора L. Поэтому потребуем дополнительно, чтобы вектор g (n), задающий неоднородность, был ортогонален, и будем искать решения на этом классе функций. Впрочем, можно сослаться и на более общее утверждение: решение неоднородного уравнения Фредгольма второго рода существует тогда и только тогда, когда его правая часть (неоднородность) ортогональна всем его решениям. В результате получаем очень важное условие, которое позволит получить уравнения переноса ( n = 1, 2,..

.) :

p f (0) h(n1) S (n) dp = 0;

+ = 1, 2,..., 5 .

r t m (3.114) В формуле (3.114) – вектор, компонентами которого являются инварианты столкновения (набор собственных функций однородного уравнения Lh(n1) = 0 на шаге n 1 ) .

Общим решением неоднородного уравнения (3.113) является сумма частного решения h(n) неоднородного уравнения и общего решения однородного уравнения

–  –  –

С точки зрения математики, необходимость этих условий связана с тем, что решение неоднородного уравнения следует искать на множестве функций, ортогональных базису собственных функций однородного уравнения Lh(n) = 0, что обеспечивает существование оператора L1 .

Итак, функция f (0) находится из уравнения (3.106), и она совпадает с равновесной функцией распределения f0. Поправки f (n) = f (0) (h(n) + C ) (n) (3.117) для n = 1, 2,... содержат неизвестные функции координат и (n) времени C и неизвестные функции h(n) и их следует найти из условий (3.114), (3.110), обеспечивающих существование поправки на n + 1 шаге. Таким образом, по крайней мере принципиально, есть возможность построить итерационную схему определения всех членов разложения (3.105) .

Реализуем описанную выше схему для случая n = 1. Поскольку интегралы S (n) dp = 0 для всех n, если величины являются инвариантами столкновений [23], условия ортогональности (3.114) сводятся к пяти уравнениям, представляющим собой уравнения Эйлера для невязкой среды

–  –  –

В этой формуле Pij – компоненты тензора напряжений, ci = = vi v0i – компоненты скорости теплового движения. При выводе формулы (3.121) следует записать скорость частицы vi в виде суммы скоростей теплового движения ci и скорости дрейфа v0i. Тогда, с учетом того, что средняя скорость теплового движения равна нулю, получаем

–  –  –

и температурой. Их можно рассматривать как первое приближение к истинным параметрам. Для нахождения очередной поправки следует перейти к следующему шагу итерации .

Обобщим результаты (3.119), (3.121), (3.123) для случая произвольных значений n 1. Очевидно, что совокупность пяти гидродинамических уравнений, вытекающих из условия (3.114), всегда можно записать в виде

–  –  –

В силу условия (3.116) первый интеграл в выражении (3.126) равен нулю, и мы получаем пять уравнений, позволяющих выn) (n) (n) разить величины C через. Поскольку величины C определяются из решения дифференциальных уравнений, то для их однозначного определения нужно задать начальные условия на каждом шаге итерации. Но так как мы доказали одноn) (n) значное соответствие между величинами C и, то на каждом шаге итерации можно задавать начальные условия не (n) (n) для C, а для. Таким образом, все поправки к функции распределения будут найдены из уравнения Больцмана, если в (n) начальный момент времени будут заданы величины. Иначе говоря, функция распределения f (p, r, t) однозначно определяется пятью параметрами n(r, t), v0 (r, t) и T (r, t), заданными в начальный момент времени. Поскольку в качестве начального времени можно выбрать любой момент времени, можно утверждать, что имеется взаимно однозначное соответствие между функцией распределения f (p, r, t) и вектором ее первых пяти моментов, заданным в произвольный момент времени, т. е. обосновать применимость гидродинамических уравнений для описания эволюции системы .

Величины h(n), естественно, тоже подлежат определению как частные решения уравнений (3.110) на каждом шаге итерации. Но уравнения (3.110) не требуют задания начальных услоn1) вий и содержат величины C, найденные уже на предыдущем шаге. Поэтому проблема нахождения величин h(n) ни- как не скажется на сделанных выше выводах о том, что задание первых пяти моментов функции распределения в начальный момент времени однозначно определяет решение уравнения Больцмана .

Таким образом, Гильберт доказал существование и единственность решения уравнения Больцмана в классе решений, которые могут быть представлены в виде разложения (3.105) .

Доказать возможность такого разложения, а тем более убедиться в его сходимости, к сожалению, до сих пор не удалось. Тем не менее разложение Гильберта служит теоретической основой для большинства практически применяемых методов решения уравнения Больцмана и в частности метода Энскога – Чепмена, основные идеи которого будут изложены ниже .

176 Глава 3. Кинетические уравнения § 14. Метод Энскога – Чепмена. Вывод уравнений гидродинамики В предыдущем параграфе показано, что решение уравнения Больцмана может быть построено в виде разложения по малому параметру (числу Кнудсена), которое полностью определяется заданием в начальный момент гидродинамических величин. Но если функция распределения f (p, r, t) в произвольный момент времени t выражается через гидродинамические величины в начальный момент времени, то и гидродинамические величины в произвольный момент времени должны выражаться через начальные значения гидродинамических параметров. Следовательно, можно исключить из рассмотрения функцию распределения и установить прямую связь между гидродинамическими величинами в различные моменты времени. Этот результат теории Гильберта позволяет обосновать применение гидродинамических уравнений для описания газодинамики .

Система гидродинамических уравнений (3.119), (3.121), (3.123) представляет собой пять независимых уравнений для определения тринадцати неизвестных величин. Этими неизвестными величинами являются: плотность, три компоненты средней скорости v0, шесть компонент симметричного тензора напряжений Pij и три компоненты потока тепла q. Температура T легко может быть выражена через диагональные компоненты тензора напряжений. Действительно, определяя давление соотношением p= P11 + P22 + P33, где компоненты тензора Pij определяются выражением (3.122), и вспоминая условие (3.96), получаем хорошо известное соотношение p = nkБ T, и температура в действительности может быть определена через другие гидродинамические параметры .

Таким образом, система гидродинамических уравнений незамкнута. Для того чтобы ее замкнуть, необходимо выразить величины Pij и qi через гидродинамические величины n, v0, p (или T ). Тогда система гидродинамических уравнений будет замкнута и мы получим пять независимых уравнений для определения пяти гидродинамических параметров на каждом шаге итерации .

§ 14. Метод Энскога – Чепмена 177 Цель метода Энскога – Чепмена состоит в установлении указанной связи и получении замкнутой системы гидродинамических уравнений баланса. Метод Энскога – Чепмена является развитием метода Гильберта, и можно показать [24], что в методе Энскога – Чепмена реализована перестройка разложения Гильберта для функции распределения f (p, r, t) по степеням малого параметра (числа Кнудсена). Такая перестройка необходима, поскольку разложение Гильберта в любом порядке по позволяет получить лишь уравнения гидродинамики невязкой жидкости. В физике достаточно много примеров, когда в любом порядке теории возмущений теоретический результат не согласуется с экспериментом и нужна перестройка ряда теории возмущений (часто эквивалентная суммированию некоторой бесконечной последовательности членов ряда теории возмущений). Применение диаграммной техники и метода массового оператора в задачах физики твердого тела как раз может служить примером такого подхода .

Не имея возможности изложить все детали оригинального метода Энскога – Чепмена, ограничимся лишь обсуждением принципов, позволяющих получить замкнутые уравнения гидродинамики, пригодные для описания вязкой жидкости (уравнений Навье – Стокса) .

Начальные шаги построения разложения Энскога – Чепмена полностью совпадают с разложением Гильберта. Таким образом, рассуждая точно так же, как и в предыдущем параграфе, приходим к уравнениям (3.105) – (3.108). Для простоты ограничимся случаем, когда внешняя сила F = 0 .

Решением уравнения (3.106) является функция (3.109), в которой параметры n, v0, T представляют собой локальную плотность частиц, их среднюю скорость и температуру и в общем случае являются произвольными функциями координат и времени. Строго говоря, в уравнении (3.109) должны стоять величины n(0), v0 (0), T (0) – гидродинамические параметры нулевого приближения. Однако теория получается значительно более 178 Глава 3. Кинетические уравнения изящной, а результаты легко интерпретируемыми, если сразу считать, что параметры n, v0, T удовлетворяют уравнениям

–  –  –

Неоднородное интегральное уравнение (3.134) для определения h(1) можно получить, полагая n равным единице в уравнениях (3.110) – (3.112). Анализ уравнения (3.134) в методе Энскога – Чепмена радикальным образом отличается от анализа Гильберта. Как уже указывалось, основной целью метода Энскога – Чепмена является вывод гидродинамических уравнений. Поскольку разложение Гильберта в любом порядке по не позволяет получить уравнения движения вязкой жидкости, разложение следует перестроить. Эта перестройка основана на результате, полученном Гильбертом. Поскольку решение уравнения Больцмана однозначно определяется заданием первых пяти моментов функции распределения, то и производная по времени в уравнении (3.134) может быть выражена через эти моменты .

Для реализации этой программы подставим в левую часть уравнения (3.134) функцию f (0), определяемую выражением (3.109), и выполним дифференцирование по координатам и времени, полагая, что функциями координат и времени являются гидродинамические параметры n, v0, T. В результате простых вычислений получаем

–  –  –

Для вывода последнего уравнения следует преобразовать (3.123), используя законы сохранения (3.136) и (3.137) .

После исключения производных по времени в результате простых, но достаточно громоздких преобразований правую часть (3.135) можно представить в виде [22]:

–  –  –

Запишем теперь интегральное уравнение (3.134), используя полученный выше результат. Для упрощения записи, как и ранее, будем использовать скорость теплового движения c = vv0. Для интеграла столкновений воспользуемся выражением в правой части (3.100) и подставим вместо функции распределения f ее разложение (3.133). Тогда, учитывая законы сохранения энергии, получаем

–  –  –

Уравнение (3.140) представляtт собой неоднородное уравнение Фредгольма, и его решение является суперпозицией общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения. Оно позволяет найти поправку к функции распределения первого порядка по. Подробно методика решения уравнения (3.140) изложена в монографии М. Н. Когана [25]. Не вдаваясь в детали вычислений, отметим, что частное решение интегрального уравнения (3.140) ищется в виде

–  –  –

где скалярные величины A и B предполагаются зависящими от модуля скорости теплового движения, концентрации и температуры. Для определения этих констант выражение (3.141) § 14. Метод Энскога – Чепмена 181

–  –  –

В последней формуле Cv – это теплоемкость газа при постоянном объеме .

Таким образом, учет поправки h(1) к функции распределения позволяет вместо уравнений (3.136) – (3.138) получить новую замкнутую систему гидродинамических уравнений баланса с перенормированным значением тензора напряжений и отличным от нуля потоком тепла. Перенормировка тензора напряжений связана с учетом необратимого (вязкого) переноса импульса в газе. Коэффициент называется коэффициентом вязкости среды, а коэффициент – коэффициентом теплопроводности. Важно отметить, что коэффициент вязкости и коэффициент теплопроводности не являются феноменологическими параметрами, а вычисляются из первых принципов .

В заключение отметим, что, хотя процедуру последовательного нахождения коэффициентов разложения функции (3.133) в методе Энскога – Чепмена можно и продолжить, вычислительные трудности приводят к тому, что получить поправки к функции распределения более высокого порядка, нежели второй, фактически не удается. Не удается также доказать и сходимость процедуры разложения (3.133) в общем виде. Поэтому, хотя метод Энскога – Чепмена широко используется на практике, сфера его применимости остается не до конца исследованной .

§ 15. Метод моментов Наиболее универсальным методом, позволяющим в принципе замкнуть систему гидродинамических уравнений баланса при произвольных числах Кнудсена, является метод моментов .

Рассмотренные выше гидродинамические переменные по существу являются моментами функции распределения:

–  –  –

В формулах (3.145) – (3.148) индексы i, j пробегают значения 1, 2, 3. Моменты M называются центральными и определены для отклонений скорости относительно среднего значения. Моменты функции распределения M и центральные моменты M очевидно связаны между собой и легко могут быть выражены друг через друга .

Основная идея метода моментов состоит в том, чтобы выразить функцию распределения через ее моменты

f (p, r, t) = f (p, M (0), M (1),...), (3.149)

где моменты M (k) являются функциями координат и времени .

Тогда, подставив таким образом записанную функцию распределения в кинетическое уравнение Больцмана, получим систему уравнений для отыскания моментов функции распределения. В общем случае кинетическое уравнение Больцмана эквивалентно бесконечной системе уравнений для моментов, но в большинстве практически важных случаев можно ограничиться учетом нескольких первых моментов .

Впервые метод моментов для решения кинетического уравнения применил Грэд в 1949 г. Следуя Грэду, разложим функцию распределения в ряд по трехмерным полиномам Эрмита:

–  –  –

Коэффициенты разложения, пользуясь ортогональностью полиномов Эрмита, можно выразить через гидродинамические параметры или моменты функции распределения:

–  –  –

представляют собой интересующие нас гидродинамические величины, то проблема нахождения гидродинамических уравнений баланса в методе моментов сводится к проблеме нахождения уравнений для коэффициентов разложения (3.150). УравN ) нения движения коэффициентов a можно найти, используя кинетическое уравнение Больцмана. Для этого нужно подставить функцию распределения (3.150) в кинетическое уравнение, умножить обе части уравнения на соответствующий полином Эрмита с весовой функцией и проинтегрировать по относительной скорости. Условие ортогональности полиномов Эрмита позволяет существенно ограничить число членов в каждом из уравнений. Хотя эта процедура представляется достаточно простой, она чрезвычайно громоздкая, и мы опустим вывод этих уравнений, отсылая читателя к специальной литературе [25] .

С практической точки зрения, желательно получить уравнения для тех моментов (гидродинамических величин), которые поддаются измерению и имеют ясный физический смысл .

Как отмечалось выше, таких моментов 13: концентрация n, три компоненты дрейфовой скорости v0i, температура T, шесть компонент симметричного тензора напряжений pij и три компоненты потока тепла qi. Для получения гидродинамических уравнений для этих переменных достаточно аппроксимировать функцию распределения (3.150) выражением 1 (2) (2) 1 (3) (3) f = f (0) 1 + aij Hij + aijj Hikk, (3.157) оставив в ней всего три первых члена разложения. Эта аппроксимация функции распределения известна в литературе как тринадцатимоментное приближение Грэда. Результаты, полученные в этом приближении, полностью согласуются с результатами Энскога – Чепмена. Полный вывод гидродинамических уравнений, соответствующих тринадцатимоментному приближению Грэда, можно найти в упоминавшейся монографии [25] .

Следует отметить, что в методе моментов аппроксимация функции распределения с помощью некоторой комбинации гидродинамических параметров может быть фактически произвольной. Конкретный вид аппроксимирующей функции зависит от поставленной задачи и особенностей изучаемого физического явления. В следующей главе метод моментов будет применен для получения замкнутых гидродинамических уравнений для системы горячих электронов в проводящих кристаллах .

Глава 4

КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ

ЭЛЕКТРОНОВ И ФОНОНОВ

В ПРОВОДЯЩИХ КРИСТАЛЛАХ

4.1. Кинетические коэффициенты в приближении времени релаксации § 1. Кинетическое уравнение для электронов и его решение в приближении времени релаксации Рассмотрим простейшую модель проводника, согласно которой носителями тока являются квазисвободные электроны или дырки, взаимодействующие в результате процессов столкновения с дефектами кристаллической решетки или фононами. Для простоты будем предполагать, что закон дисперсии электронов (дырок) является параболическим и имеет вид

–  –  –

где kБ – постоянная Больцмана .

В неравновесном случае также можно ввести неравновесную функцию распределения f (r, p, t), зависящую от координат r, импульса p и времени t и удовлетворяющую условию нормировки

–  –  –

где нумерует проекцию спина электрона на ось Z ( = ±1/2), n – число электронов в образце. В дальнейшем везде объем образца будет полагаться равным единице и величина n будет иметь смысл концентрации электронов. Множитель

–  –  –

где n1, n2, n3 – целые числа, пробегающие значения от нуля до бесконечности. Поэтому при подсчете числа состояний в формуле (4.3) необходимо вести суммирование по дискретным состояниям электронов, различающихся значениями компонент импульса. Поскольку суммирование по дискретным состояниям значительно усложняет вычисления, суммирование обычно заменяют интегрированием, умножив интеграл на размерный коэффициент, имеющий смысл плотности состояний в импульсном пространстве. Из формулы (4.3) следует, что выражение

–  –  –

имеет смысл числа электронов с импульсом p, координатой r, попавших в элемент фазового объема dp dr в момент времени t .

188 Глава 4. Кинетическое уравнение для электронов Если предположить, что электроны являются невзаимодействующими частицами, то каждый электрон можно рассматривать как изолированную систему. Фазовые точки, соответствующие возможным различным состояниям частицы, просто перемещаются из одной области фазового пространства в другую, не исчезая и не возникая вновь, поскольку процессы с рождением и уничтожением частиц здесь не рассматриваются. Схематически картина движения фазовых точек изображена на рис. 25 .

–  –  –

Каждая фазовая точка из области фазового пространства dp dr в момент t переместится в момент t в некоторую область dp dr, как показано на рис. 25. Поэтому можно записать равенство

–  –  –

Как уже отмечалось в § 8 предыдущей главы, согласно теореме Лиувилля, фазовый поток сохраняет фазовый объем системы, и поэтому имеет место равенство dp dr = dp dr. Тогда из формулы (4.4) следует важный результат

–  –  –

согласно которому неравновесная функция распределения невзаимодействующих электронов является интегралом движения и ее полная производная по времени должна быть равна нулю .

Если все-таки взаимодействие существует, то полная производная равна не нулю, а изменению функции распределения за § 1. Решение в приближении времени релаксации 189

–  –  –

Левая часть выражения (4.6) описывает изменение функции распределения за счет эволюции в фазовом пространстве, а правая – изменение функции распределения за счет столкновений .

В общем случае, как это следует из материала, изложенного в предыдущей главе, столкновительный член в правой части (4.6) является нелинейным функционалом, ядро которого содержит функцию распределения и зависит от конкретного механизма взаимодействия электронов с подсистемами кристалла. Уравнение (4.6) представляет собой кинетическое уравнение для подвижных носителей заряда (электронов или дырок) в квазиклассическом приближении. Условия применимости квазиклассического описания движения электронов в кристалле будут рассмотрены позднее .

Как отмечалось выше, попытка строгого решения кинетического уравнения даже для простейших потенциалов взаимодействия наталкивается на серьезные вычислительные трудности .

Однако хорошо известно, что многие особенности кинетических явлений в металлах и полупроводниках можно понять в рамках приближения времени релаксации, когда интеграл столкновений аппроксимируется выражением f f0 f (4.7) = .

t p ст

–  –  –

В выражении (4.8) f1 (r, p, t) является поправкой к равновесной функции распределения, которая возникает за счет действия внешних термодинамических сил. Вплоть до частот оптического диапазона параметр p 1, и поэтому в кинетическом уравнении (4.6) производную по времени можно опустить. Иначе говоря, поскольку время релаксации импульса достаточно 1013 c ), электронная система успевает подстраимало ( p ваться к изменяющемуся с частотой внешнему полю и переменное поле в каждый момент времени можно рассматривать как статическое. Это означает, что если не рассматривать эффекты в высокочастотном электрическом поле, то можно пренебречь явной зависимостью от времени неравновесной функции распределения и опустить частную производную по времени в кинетическом уравнении (4.6) .

Еще одно существенное упрощение связано с тем, что в локально-равновесном состоянии неравновесная функция распределения будет зависеть от координат только параметрически, через зависимость от координат термодинамических параметров, таких как температура и химический потенциал f f (4.9) rf = T+ .

T Если ограничиться в кинетическом уравнении (4.6) линейным приближением по термодинамическим силам T,, считая неравновесность слабой ( f0 f1 ), то в правой части выражения (4.9) неравновесную функцию распределения можно заменить равновесной функцией f0 (p ), и в результате несложных вычислений получаем

–  –  –

Поэтому в линейном приближении по термодинамическим силам (магнитное поле в данном случае термодинамической силой, вызывающей отклонение от состояния равновесия, не является) имеем

–  –  –

В том случае, когда магнитное поле равно нулю, выражение (4.13) сразу позволяет определить поправку к функции распределения f1, линейную по градиенту электрохимического потенциала = ( + 1/e ) (1.14) и градиенту температуры T :

–  –  –

где (p ) – неизвестная векторная функция, зависящая только от энергии .

192 Глава 4. Кинетическое уравнение для электронов Вычислим градиент в импульсном пространстве от функции f1. Пользуясь определением (4.15), получаем

–  –  –

Формулы (4.14), (4.15), (4.24) будут использованы в дальнейшем для определения потоков заряда и тепла и вычисления кинетических коэффициентов, определяющих термомагнитные и гальваномагнитные явления в проводящих кристаллах .

194 Глава 4. Кинетическое уравнение для электронов § 2. Условия применимости квазиклассического описания электронов в проводящих кристаллах Записанное в предыдущем разделе кинетическое уравнение (4.6), (4.13) является квазиклассическим. Поскольку хорошо известно, что электроны в кристалле – это квантовые объекты и есть достаточно много убедительных эффектов (например дифракция электронов в кристаллах), в которых квантовые свойства электронов наглядно проявляются, встает вопрос о применимости такого описания. В действительности квазиклассическое описание накладывает некоторые ограничения на условия проведения физического эксперимента, но можно показать, что для большинства реальных ситуаций, в которых производится измерение кинетических явлений в твердых телах, применение квазиклассического описания вполне оправданно. Ниже сформулированы основные условия применимости квазиклассического кинетического уравнения для описания кинетических явлений в проводящих кристаллах при наличии постоянного внешнего магнитного поля и без него .

Эти условия приводят к трем основным ограничениям .

Во-первых, длина волны электрона должна быть меньше других характерных пространственных масштабов задачи, что позволяет рассматривать электрон как точечный объект .

В отсутствие магнитного поля естественным параметром размерности длины является длина свободного пробега l. Поэтому квазиклассическое описание возможно, если

l .

Во-вторых, неопределенность в энергии электрона E, которая является следствием квантово-механического принципа неопределенности, должна быть малой по сравнению со средней энергией электрона (средняя энергия kБ T для невырожденного случая и в условиях вырождения), § 2. Условия применимости квазиклассического описания 195 где 0 – характерное время взаимодействия электрона с другими подсистемами кристалла. Поэтому время характерного взаимодействия электронов с рассеивателями 0 должно быть достаточно большим. В этом случае столкновительное уширение энергетических уровней можно считать пренебрежимо малым и температура будет единственным параметром, хаотизирующим движение носителей заряда. Это условие служит основанием для описания электронной системы на языке функции распределения. Вместе с тем характерное время столкновений должно быть существенно меньше, чем время между двумя последовательными столкновениями, поскольку каждое из них рассматривается как независимый процесс и считается, что после каждого столкновения в системе успевает сформироваться неравновесное распределение. Поэтому в качестве верхней оценки времени 0 можно взять время между двумя последовательными столкновениями и считать, что 0 p. Это тем более оправданно, поскольку величина p легко поддается экспериментальной оценке. В этом случае условие 0 p по существу сводится к условию l. В этом легко убедиться, если предыдущее условие записать в виде v vp, умножив левую и правую часть неравенства на среднюю скорость электронов v. Тогда в левой части неравенства стоит величина /p, а в правой – длина свободного пробега l = vp .

Таким образом, первое и второе ограничения в отсутствие магнитного поля приводят к одному и тому же условию l .

Еще одно ограничение возникает в том случае, когда электрон находится в области действия внешних силовых полей .

В этом случае, если электрон рассматривается как точечный объект, изменение его энергии на длине порядка длины волны де Бройля должно быть много меньше средней энергии электрона. Иначе говоря, если, например, рассматривать движение электрона во внешнем электрическом поле, то должно выполняться условие eE kБ T для невырожденного случая .

196 Глава 4. Кинетическое уравнение для электронов

–  –  –

Это условие допускает простую интерпретацию: при квазиклассическом описании расстояния между квантованными уровнями энергии электронов в магнитном поле должны быть малыми, по сравнению со средней энергией теплового движения электронов .

Другое условие применимости кинетического уравнения в магнитном поле также связано с влиянием магнитного поля на орбитальное движение электронов. Расстояние между уровнями Ландау в магнитном поле 0 должно быть существенно § 2. Условия применимости квазиклассического описания 197 меньше столкновительного уширения уровня /p, вызванного рассеянием электронов на дефектах кристаллической решетки или фононах. Это условие обычно записывают в виде (4.26) 0 p 1 .

Условие (4.26) может иметь и другую интерпретацию: для того чтобы квазиклассическое описание было применимо, необходимо, чтобы электрон, двигаясь по циклотронной орбите, между двумя актами рассеяния успевал пройти лишь малую часть периода T круговой траектории 2lH 2 lH 1 T, = 0, = .

v T v 0 В этой формуле v – в вырожденном случае скорость электрона на поверхности Ферми (в невырожденном случае эту величину следует заменить на среднюю тепловую скорость). Поскольку время релаксации импульса l p, v условие 0 p 1 может быть записано также в виде lH l .

Иначе говоря, радиус циклотронной орбиты должен быть много больше длины свободного пробега электрона .

Полученные неравенства позволяют выделить три области изменения внешнего магнитного поля: слабые поля, сильные поля и квантующие магнитные поля .

Если выполняются неравенства lH l или, что эквивалентно, 0 p 1, то магнитные поля называются слабыми .

Если выполняются обратные неравенства, то магнитные поля называются сильными. В этом случае магнитное поле существенно искривляет траекторию движения электронов, но если его влияние можно не учитывать при расчете вероятностей рассеяния, то и в случае сильных магнитных полей даже в условиях 0 p 1 кинетическое уравнение применимо для описания кинетических явлений в магнитном поле. Естественно, что условие l должно оставаться справедливым .

При дальнейшем увеличении магнитного поля нарушается условие (4.25) и магнитное поле становится квантующим .

198 Глава 4. Кинетическое уравнение для электронов В этом случае спектр носителей заряда в магнитном поле полностью перестраивается и влияние магнитного поля следует учитывать не только при анализе орбитального движения электронов, но и при расчете вероятностей рассеяния в каждом элементарном акте столкновений .

§ 3. Определение потоков заряда и тепла. Вычисление кинетических коэффициентов в случае H = 0 Обобщая простейшее выражение для потока заряженных частиц J = e n v, где n – число частиц, имеющих скорость v, для плотности потока заряда и тепла получаем выражения

–  –  –

зависящим от параметра /kБ T, для которых хорошо известны различные асимптотические представления [8]. Общие выражения, которые получаются при этом, оказываются достаточно громоздкими, и поэтому мы рассмотрим лишь два предельных случая, для которых легко получаются простые оценки .

Случай сильного вырождения В этом случае 0, /kБ T 1 и производная по энергии от функции распределения имеет резкий максимум при p =. На рис. 26 представлена зависимость функции Ферми – Дирака

–  –  –

Как следует из рис. 26 б, производная от функции распределения отлична от нуля лишь в небольшом интервале энергий p kБ T. Эта особенность производной функции распределения широко используется для построения приближенных формул вычисления интегралов, содержащих в качестве подынтегральной функции произведение гладкой функции (p ) и производной от функции распределения Ферми – Дирака по § 3. Вычисление кинетических коэффициентов 201 энергии p. Простейшей аппроксимацией является замена производной от функции распределения дельта-функцией Дирака

–  –  –

где r – показатель рассеяния, значение которого зависит от конкретного механизма релаксации импульса электрона, 0 – размерный множитель, величина которого зависит от механизма рассеяния и температуры. Конкретные значения величин 0 и r для различных механизмов рассеяния можно найти в монографиях [8, 26, 27] .

202 Глава 4. Кинетическое уравнение для электронов Выражения для кинетических коэффициентов в пределе сильного вырождения легко могут быть получены, если выражения для интегралов Kl (4.36) подставить в формулы (4.32):

–  –  –

где температура T измеряется в градусах по шкале Кельвина .

Эта оценка по порядку величины совпадает с известными экспериментальными данными для термоэдс большинства металлов ( = 3 10 мкВ/K ). Существенные отклонения от формулы (4.38) могут возникать, например, при наличии магнитных примесей (эффект Кондо). Мы не будем останавливаться на этом интересном вопросе, отсылая читателей к специальной литературе [28, 30] .

Другим важным результатом рассматриваемой теории является выполнение закона Видемана – Франца для коэффициентов и, 2 kБ = T L, L =, 3 e2 § 3. Вычисление кинетических коэффициентов 203 который хорошо подтверждается на эксперименте при достаточно высоких температурах ( T 300 K) .

Задача 4.1 Используя выражение для поправки к функции распределения (4 .

14), дать качественное квантово-статистическое объяснение возникновения тока в проводнике при наличии внешнего электрического поля и градиента температуры .

Решение Пусть имеется только внешнее электрическое поле, задаваемое вектором напряженности E. До включения внешнего электрического поля равновесная функция распределения была сферически симметричной и зависела только от модуля импульса p = k. При включении внешнего электрического поля одно из направлений выделяется и функция распределения перестает быть сферически симметричной .

В стационарном неравновесном состоянии импульс электронов будет иметь добавку p = eEp, связанную с действием внешнего электрического поля. В вырожденном случае участие в электропереносе, как следует из рис. 26 б, принимает лишь небольшой слой электронов шириной порядка kБ T вблизи поверхности Ферми. Остальные электроны не могут ускоряться внешним электрическим полем, поскольку ближайшие энергетические состояния заняты. Поэтому и добавку к импульсу получают лишь электроны, лежащие на поверхности Ферми .

Рассмотрим для простоты направление, совпадающее с внешним электрическим полем. Электроны, двигающиеся в направлении электрического поля, тормозятся полем (электрон является отрицательно заряженной частицей) и на поверхности Ферми имеют меньшую скорость, нежели электроны, двигающиеся в противоположном направлении. Схематически эта ситуация изображена на рис. 27 а .

Таким образом, при включении электрического поля возникает группа электронов вблизи поверхности Ферми, движущаяся в направлении против поля, которая имеет дополнительную поправку к скорости v = |e|/m E p (). Аналогичная по численности группа электронов, движущаяся по полю, будет иметь меньшую скорость, что и приводит к появлению направленного движения электронов при включении электрического поля .

204 Глава 4. Кинетическое уравнение для электронов

–  –  –

Иначе говоря, включение постоянного электрического поля приводит к смещению Ферми-поверхности в импульсном пространстве на величину p = eEp.

Поэтому искажение функции распределения можно найти, если записать равновесное распределение в системе координат, сдвинутой на величину p = e E p () :

(p eEp )2 p2 f0 ev Ep = f0 e f0 (peEp ) = f0 f0 v E p .

2m 2m p Последнее выражение в этой формуле и является поправкой к функции распределения при включении электрического поля. Хотя, как уже отмечалось, концепция сдвига поверхности Ферми в импульсном пространстве не является полностью корректной, она позволяет получить правильное выражение для поправки к функции распределения в электрическом поле .

Рассмотрим теперь влияние градиента температуры. Снова проанализируем движение электронов лишь вдоль одного направления, совпадающего с ориентацией градиента температуры. Тогда, если взять два сечения образца на расстоянии, меньшем, нежели длина свободного пробега, то электроны, двигающиеся из сечения с большей температурой T1, будут иметь равновесное распределение, соответствующее этой температуре, а электроны, двигающиеся от более холодного сечения, – равновесное распределение, соответствующее более низкой температуре T2. Схематически оба этих распределения изображены на рис. 27 б. Поскольку вклад в перенос дают только электроны из узкого энергетического слоя шириной несколько kБ T, то важно посмотреть, как меняется распределение по скоростям для этой группы электронов. На «горячем» сечении число электронов, § 3. Вычисление кинетических коэффициентов 205 имеющих больший импульс, нежели импульс Ферми pФ, увеличилось по сравнению с их числом в условиях равновесия, а на «холодном»

сечении, наоборот, уменьшилось. Это изменение формы распределения и приводит к появлению электрического тока при наложении градиента температуры. Приведенные выше рассуждения на «пальцах»

позволяют получить и количественную оценку для кинетических коэффициентов, описывающих термоэлектрические явления .

Невырожденный электронный газ В другом предельном случае невырожденного электронного газа, подчиняющегося статистике Максвелла – Больцмана, выполняются условия 0, ||/kБ T 1 и функция Ферми – Дирака аппроксимируется выражением

–  –  –

Рассмотрим вычисление интегралов Kl в этом пределе. Используя выражение для интегралов Kl (4.33), с учетом (4.41) Подставляя выражение (4.49) в определения кинетических коэффициентов для невырожденного случая (4.46) – (4.48), поВычисление кинетических коэффициентов 207

–  –  –

Таким образом, если носителями заряда являются дырки, то коэффициент термоэдс имеет положительный знак, что может быть использовано на эксперименте для определения типа носителей заряда в кристалле .

Мы привели выражения для кинетических коэффициентов в пределе сильного вырождения и в пределе невырожденной статистики. В принципе, имеются оценочные формулы для интегралов Ферми (4.34), которые дают погрешность, не превышающую 1,2% для актуальных значений индекса p при всех значениях x = /kБ T [29] .

Задача 4.2 Получить выражение коэффициента дифференциальной термоэдс для случая смешанной электронно-дырочной проводимости .

Решение Рассмотрим простейший случай невырожденного собственного проводника с почти заполненной электронами валентной зоной. Если ширина запрещенной зоны Eg не очень велика, то электроны проводимости возникают в результате теплового возбуждения валентных электронов в зону проводимости. В валентной зоне при этом появляются пустые, не заполненные электронами состояния, которые принято называть дырками. Концепция дырок является удобной и существенно упрощает описание кинетических явлений, в которых принимают участие электроны валентной зоны. Рассмотрим вначале равновесные статистические свойства электронно-дырочной системы .

Электроны в зоне проводимости и валентной зоне являются единой совокупностью частиц и характеризуются единым термодинамическим потенциалом. Начало отсчета энергии для состояний электронов в валентной зоне и зоне проводимости выберем в нижней точке зоны проводимости. Принимая параболический закон дисперсии в зоне проводимости и валентной зоне, имеем p2 p2 v = Eg (4.54) с =,, 2mc 2mv где mc и mv – эффективные массы электронов в зоне проводимости и валентной зоне. Химический потенциал электронов можно найти из закона сохранения частиц: число электронов в зоне проводимости n должно совпадать с числом пустых мест p (дырок) в валентной зоне .

§ 3. Вычисление кинетических коэффициентов 209

–  –  –

При включении внешнего электрического поля и градиента температуры равновесная функция распределения дырок претерпевает искажения, которые можно определить тем же самым способом, что и искажения электронной функции распределения в задаче 4.1. Повторяя рассуждения, приведенные в задаче 4.1 для случая дырок, находим, что под действием электрического поля дырки будут иметь дрейфовую скорость, направленную вдоль электрического поля, и их вклад будет складываться с вкладом электронов, увеличивая результирующий электрический ток .

Искажения функции распределения, возникающие под действием градиента температуры для дырочной функции распределения, точно такие же, как и для электронной. Поэтому поток дырок, возникающий под действием градиента температуры, имеет то же направление, что и поток электронов. Суммируя эти результаты, можно записать феноменологическое уравнение для потока заряда в полупроводнике со смешанным типом проводимости при наличии электрического поля и градиента температуры

–  –  –

Не следует считать, что эта простая теория кинетических коэффициентов, основанная на параболическом законе дисперсии электронов и дырок, может дать хорошее количественное согласие с экспериментом. Например, в таких типичных металлах, как литий, медь, серебро, золото, величина термоэдс совпадает по порядку величины с результатами простой оценки, но имеет положительный знак (типичный для дырочных материалов) в очень широком температурном интервале вплоть до температур плавления. Было предпринято достаточно много попыток объяснить эту аномалию. Идею, которая напрашивается самой первой, – объяснить эффект влиянием непараболичности закона дисперсии и влиянием сложной формы поверхности Ферми, пришлось отбросить сразу, поскольку знак эффекта Холла в этих материалах типичен для электронных носителей .

Можно объяснить эффект, если предположить, что существует аномально резкая зависимость времени релаксации импульса электронов от энергии [30]. Действительно, из формулы (4.33), в которой l нужно положить равным единице, следует, что знак интеграла определяется тем, какие электроны дадут больший 212 Глава 4. Кинетическое уравнение для электронов вклад в интеграл. Интеграл можно разбить на две части и рассмотреть вклад электронов с энергией, меньшей и большей .

Электроны с энергией p дадут отрицательный вклад, а электроны с кинетической энергией p – положительный .

Если вклад электронов с кинетической энергией p подавляется за счет резкого уменьшения времени релаксации, то результирующее значение интеграла K1 получится отрицательным и термоэдс будет иметь положительный знак .

Любопытно заметить, что положительный знак термоэдс для электронов означает, что они будут диффундировать в поле температурного градиента в сторону более высоких температур .

§ 4. Рассеяние электронов на колебаниях решетки Приближение времени релаксации дает достаточно хорошие результаты при описании термоэлектрических явлений в проводящих кристаллах, но, во-первых, это приближение само нуждается в обосновании, а во-вторых, есть эффекты, которые требуют выхода за рамки приближения времени релаксации. Примером может служить явление увлечения электронов фононами, которое сильно изменяет значение коэффициента дифференциальной термоэдс при достаточно низких температурах .

Другим аргументом в пользу более детального изучения процессов рассеяния электронов в кристалле является необходимость независимой оценки величины времени релаксации из первых принципов и определение температурной зависимости времени релаксации .

Для того чтобы построить теорию, позволяющую решить поставленные задачи, нужно найти явный вид гамильтониана взаимодействия электронов с рассеивателями, записать соответствующий интеграл столкновений и затем, если это окажется необходимым, заново решить кинетическое уравнение и определить термоэлектрические коэффициенты. Существует достаточно много различных механизмов взаимодействия электронов с рассеивателями, и даже их краткий обзор занял бы слишком много места (более полную информацию можно найти в § 4. Рассеяние электронов на фононах 213 монографиях [26, 27, 31]). Мы рассмотрим только два вида взаимодействий: взаимодействие электронов с продольными акустическими колебаниями и взаимодействие электронов с заряженными примесными центрами .

Для того чтобы вывести гамильтониан электрон-фононного взаимодействия, необходимо записать выражение для смещения атомов кристаллической решетки при возбуждении малых (подчиняющихся гармоническому закону) тепловых колебаний атомов кристаллической решетки. В простейшем случае одноатомной кристаллической решетки кинетическую энергию колебаний можно записать в виде (4.64) Ek = Mu i, i где M – масса атома, u i – вектор смещения i -го атома из положения равновесия. Для достаточно длинноволновых колебаний можно ввести плавную функцию смещения атома u (r ) в точке r и записать кинетическую энергию в континуальной форме (4.65) Ek = u (r )dr, где – плотность кристалла. Интегрирование ведется по всему объему кристалла. Для перехода от классического описания колебаний атомов кристаллической решетки к квантовому достаточно ввести правила квантования координат и импульсов

M u, u = i ij. (4.66) i j

Для континуальной формы записи это соотношение можно представить в следующем виде:

u (r), u (r ) = i (r r ). (4.67) Убедиться в справедливости такого представления достаточно просто: нужно просуммировать левую и правую части (4.66) по всем атомам, а левую и правую части (4.67) проинтегрировать по всему объему. Тогда правые части полученных выражений будут равны i, а левые – представлять одну и ту же величину – коммутатор суммарного импульса решетки и смещения в одной из точек кристалла .

214 Глава 4. Кинетическое уравнение для электронов

–  –  –

Здесь q и q – волновой вектор и частота нормальных возбуждений.

Подставляя разложение (4.68) в условие квантования (4.67), получаем коммутационные соотношения для амплитуд нормальных колебаний uq, u+ :

q

–  –  –

Для выполнения коммутационных соотношений (4.70) необходимо потребовать, чтобы при действии на волновую функцию в представлении вторичного квантования выполнялись следующие условия:

b+ |Nq = Nq + 1 |Nq + 1, bq |Nq = Nq |Nq 1. (4.71) q

–  –  –

Выражения (4.70), (4.72), (4.74) найдены в результате простых качественных соображений и не претендуют на строгий и последовательный вывод. Тем не менее, как показывают расчеты, вклад всех трех ветвей колебаний для акустических фононов и появление оптических ветвей можно просто учесть, используя полученные выше результаты .

Перейдем теперь к выводу гамильтониана электрон-фононного взаимодействия. Как уже указывалось, существует множество механизмов, вызывающих рассеяние электронов на колебаниях решетки. Мы рассмотрим самый простой механизм, суть которого состоит в том, что колебания атомов кристаллической решетки вызывают локальную деформацию кристалла, что неизбежно приведет к изменению энергии электронов .

Все свойства кристалла при наличии деформации будут определяться компонентами симметричного тензора деформации

–  –  –

Поэтому и энергия электронов в кристалле с деформацией будет функцией компонент этого тензора (p, ij ). Раскладывая в ряд энергию электрона в кристалле с деформацией по компонентам тензора деформации, получаем

–  –  –

В изотропном случае или в кристаллах с кубической симметрией тензор деформации может быть представлен в виде ij = div u ij, и поэтому поправку к энергии электрона, которая и играет роль гамильтониана взаимодействия электрона с колебаниями решетки Hep, можно записать в виде

–  –  –

t = 1 ). Гамильтониан в форме (4.76) при надлежащем выборе константы Cq и показателя степени t может быть использован и для других механизмов электрон-фононного взаимодействия, отличных от рассеяния на продольных акустических колебаниях .

–  –  –

где – высокочастотная диэлектрическая проницаемость .

В этом выражении концентрация электронов n определяется формулой (4.56), а для величины n можно записать аналогичное выражение, заменив химический потенциал e .

Действительно, энергия электрона в результирующем электростатическом потенциале будет p + e, и функция распределения электронов будет зависеть от аргумента p + e. Таким образом,

–  –  –

Для практических приложений удобнее записать гамильтониан электрон-примесного рассеяния в представлении вторичного квантования, предполагая, что состояния электронов описываются волновой функцией |,, где, – квантовые числа, задающие орбитальное и спиновое состояния соответственно. В этом случае, используя правило перехода к представлеРассеяние электронов на примесях 219 нию вторичного квантования для оператора A аддитивного типа [4] <

–  –  –

Подынтегральное выражение в формуле (4.83) имеет два полюса q = ±iq0. Контур интегрирования в комплексной плоскости следует замыкать таким образом, чтобы внутри контура оказался лишь один полюс, при выборе которого потенциал стремится к нулю на бесконечности. В итоге получаем |e| q0 r (r) = e, r что и требовалось доказать .

§ 6. Интеграл столкновений при взаимодействии электронов с фононами Получим явное выражение для интеграла столкновений при взаимодействии электронов с фононами, предполагая для простоты, что электроны в зоне проводимости можно рассматривать как свободные частицы с волновым вектором k .

Вычислим вероятность перехода Wk k из состояния с волновым вектором k в состояние с волновым вектором k под действием возмущения, задаваемого гамильтонианом (4.76). Согласно основным положениям нестационарной теории возмущений, вероятность перехода системы определяется квадратом модуля амплитуды перехода ak k (t), усредненным по состояниям фононной системы

–  –  –

квантово-статистическое усреднение по состояниям фононной системы, k – энергия электрона с волновым вектором k .

Подставляя явный вид гамильтониана Hep (4.76) в формулу (4.84) и учитывая, что временная зависимость бозеоператоров bq (t), b+ (t) определяется соотношениями (4.72), q а квантово-статистические средние по фононным переменным для произведений операторов рождения уничтожения имеют вид

–  –  –

Выражение (4.86) естественным образом разбивается на два слагаемых, одно из которых описывает переходы из состояния k в состояние k с рождением фонона и пропорционально Nq + 1, 222 Глава 4. Кинетическое уравнение для электронов

–  –  –

Рис. 28. Схема переходов между состояниями электронов с энергией k, k+q, kq, дающих вклад в изменение числа электронов в состоянии с волновым вектором k

–  –  –

где (k ) – неизвестная векторная функция, зависящая только от энергии электронов, то разность функций распределений в формуле (4.90) можно выразить через поправку к функции распределения f1 (k)

–  –  –

Хотя результат (4.92) не очень удобен для практических вычислений, он оправдывает сделанное предположение о возможности введения времени релаксации для описания кинетических явлений в проводящих кристаллах и указывает пределы применимости этого приближения .

§ 6. Интеграл столкновений 225 Совершенно аналогично можно получить структуру интеграла столкновений при рассеянии на экранированном кулоновском потенциале, магнитных примесях .

–  –  –

Таким образом, для вычисления c+ c необходимо найти термодинамический потенциал, который, в свою очередь, выражается через статистическую сумму Z. Статистическую сумму идеального газа бозонов или фермионов проще всего вычислить в представлении вторичного квантования

–  –  –

В этой формуле n – это собственные значения оператора числа частиц, которые для бозонной системы принимают значения 0, 1, 2..., а для фермионной системы – только значения 0 и 1. Правую часть выражения (4.97) можно перестроить, записав ее в виде

–  –  –

§ 7. Явление фононного увлечения Рассмотрим теперь явление фононного увлечения. Если считать, что фононная подсистема кристалла образует газ квазичастиц (фононов), то при наличии градиента температуры этот газ также будет отклоняться от состояния термодинамического равновесия и возникнет поток фононов, который и обеспечивает решеточный теплоперенос. Таким образом, функция распределения фононов перестанет быть равновесной функцией Планка (4.85). Поскольку поток фононов будет направлен от более горячей грани полупроводника к более холодной, то электронам при рассеянии будет передаваться дрейфовый импульс фононной системы, что вызовет дополнительный вклад в поток электронов в сторону холодной грани проводника и, следовательно, увеличение электронной составляющей термоэдс. Увеличение электронной составляющей термоэдс, связанное с учетом неравновесности фононной системы, принято называть я в л е н и е м ф о н о н н о г о у в л е ч е н и я .

Для нахождения поправки к термоэдс, связанной с увлечением электронов фононами, необходимо найти поправку к функции распределения фононов Nq, вызванную приложенным градиентом температуры. Найдем эту поправку исходя из кинетического уравнения для фононов, записанного в приближении времени релаксации. В рамках концепции локального равновесия получаем

–  –  –

В формуле (4.104) величина vq является групповой скоростью фононов .

228 Глава 4. Кинетическое уравнение для электронов Результаты (4.103), (4.104) сразу позволяют найти поправку к функции распределения фононов

–  –  –

При записи последнего равенства мы учли, что Nq kБ T / q, q = sq, где s – скорость звука в кристалле, и учли, что vq = sq/q .

Вернемся теперь к кинетическому уравнению для электронов. Учет неравновесности фононной системы приведет к появлению дополнительного слагаемого в интеграле столкновений .

Действительно, для неравновесных фононов величины Nq в интеграле столкновений (4.88) следует заменить на величины Nq + Nq. Тогда в линейном приближении по термодинамическим силам интеграл столкновений I распадается на два слагаемых I = I f1 (k), Nq + I f0 (k ), Nq Первое слагаемое в этом выражении описывает рассеяние неравновесных электронов на фононах, находящихся в условиях термодинамического равновесия, а второе учитывает поправки, связанные с неравновесностью фононной системы. Во втором слагаемом электронные функции распределения можно считать равновесными, поскольку уже набран первый порядок по термодинамическим силам. Очевидно, что нас интересует второе слагаемое.

После несложных преобразований, учитывая, что Nq = Nq, а Nq = Nq, получаем выражение для той части интеграла столкновений, которая описывает поправку, связанную с рассеянием электронов на неравновесных фононах:

fk 2 |Cq |2 Nq [f0 (k+q ) f0 (k )] = t ув q [(k k+q + q ) (k k+q q )]. (4.106)

–  –  –

В этой формуле – угол между вектором q и вектором градиента температуры, – угол между вектором k и градиентом температуры. Выбор углов,, и показан на рис. 29 .

230 Глава 4. Кинетическое уравнение для электронов Можно показать [31], что между углами,, и существует простая взаимосвязь

–  –  –

Из выражения (4.111) следует, что в силу необходимости выполнения закона сохранения энергии и импульса электронов, в каждом элементарном акте рассеяния электроны могут взаимодействовать только с так называемыми длинноволновыми фононами с волновыми векторами q 2k (8m / )1/2. Поэтому в выражении (4.111) интеграл по волновому вектору фононов должен вычисляться в пределах от 0 до 2k .

§ 7. Явление фононного увлечения 231 Найдем теперь поправку к функции распределения f1 (4.14), вызванную эффектом увлечения. Для этого добавим в кинетическое уравнение поправку к интегралу столкновения, вызванную неравновесностью фононной системы:

–  –  –

Для практического использования полученного результата (4.113) необходимо еще вычислить интеграл по q, учитывая один из известных механизмов релаксации длинноволновых фононов. Обычно при рассмотрении эффектов увлечения обсуждаются два таких механизма: механизм Херринга, который дает оценку

–  –  –

Оба этих механизма приводят к достаточно сильной зависимости времени релаксации от температуры ( q 1/T 4 или q 1/T 3 ). Поэтому неэлектронные механизмы релаксации фононов заметно увеличивают свой вклад при низких температурах T 4K и в этой области составляющая термоэдс, 232 Глава 4. Кинетическое уравнение для электронов обусловленная эффектами увлечения, может заметно превосходить обычную диффузионную составляющую термоэдс .

Численную оценку вклада эффекта увлечения в термоэдс электронов можно получить, если, учитывая формулы (4.112), (4.113), подставить Aув (k ) в формулу для интеграла K1 (4.45) вместо величины (p )/T. Мы не будем приводить здесь эти простые вычисления, предоставляя возможность выполнить их самостоятельно в качестве упражнений .

–  –  –

для случая, когда внешнее магнитное поле не равно нулю .

Для этих целей, пользуясь формулами (4.15), (4.24) и (4.27), (4.28), найдем выражения для потоков заряда и тепла:

–  –  –

Отметим основные особенности полученных выражений для кинетических коэффициентов. Как следует из формул (4.121), (4.122), (4.124), структура тензоров,,, характерна для гиротропных сред и совпадает со структурой, которая предполагалась в главе 1. Далее, диагональные компоненты тензоров, характеризующие явления в плоскости, перпендикулярной магнитному полю, содержат лишь четные степени магнитного поля, а продольные составляющие тензоров,,, не зависят от магнитного поля. Отличные от нуля недиагональные элементы, имеющие тензорные индексы xy и yx, нечетны по магнитному полю, равны между собой по абсолютной величине, но имеют противоположные знаки. Учитывая все сказанное, § 9. Кинетические коэффициенты в магнитном поле 235 можно утверждать, что полученные выражения для кинетических коэффициентов удовлетворяют соотношениям симметрии Онсагера

–  –  –

§ 9. Гальваномагнитные и термомагнитные эффекты в полупроводниках с параболическим законом дисперсии Рассмотрим термогальваномагнитные явления, качественно обсуждавшиеся в главе 1, и, пользуясь результатами (4.118), (4.124), (4.125), вычислим кинетические коэффициенты, определяющие эти эффекты .

Необходимо сразу указать на ограниченную применимость получаемых таким образом результатов, поскольку простейший вариант электронной теории кинетических явлений переноса в приближении времени релаксации и учете только одной группы носителей заряда с изотропным квадратичным законом дисперсии не может дать даже качественного объяснения зависимости кинетических коэффициентов от амплитуды и ориентации магнитного поля в металлах в случае сильных магнитных полей .

В этом случае электрон, двигаясь по ларморовской орбите, проходит между двумя актами рассеяния значительный участок поверхности Ферми и успевает «почувствовать» ее реальную структуру. Гальваномагнитные явления в сильных магнитных полях весьма чувствительны к особенностям энергетического спектра носителей заряда и служат надежным способом определения структуры поверхности Ферми [28, 32] .

236 Глава 4. Кинетическое уравнение для электронов В случае полупроводников с одним экстремумом зоны проводимости в центре зоны Бриллюэна наиболее серьезные ограничения связаны с необходимостью учета квантования, если выполняется условие 0 kБ T. Поэтому будем предполагать, что магнитное поле не является квантующим и выполняется неравенство 0 kБ T, что позволяет использовать квазиклассическое приближение для описания движения электрона в магнитном поле .

Учет наличия нескольких эквивалентных минимумов (долин) в симметричных точках зоны Бриллюэна и эллипсоидальный характер изоэнергетических поверхностей, имеющий место в ряде полупроводниковых материалов (Ge, Si), может быть произведен без существенных изменений основных положений рассматриваемой теории [8, 31] и поэтому здесь рассматриваться не будет .

Наиболее полный обзор результатов по теории термомагнитных и гальваномагнитных явлений приведен в монографии Б. М. Аскерова [8], где имеется и обширная библиография по этому вопросу. Рамки книги не позволяют рассмотреть с необходимой строгостью и полнотой всю совокупность современных результатов по теории термогальваномагнитных явлений. Поэтому рассмотрим лишь самую простую ситуацию: полупроводник со стандартной зоной проводимости в случаях 1) предельно сильного вырождения электронного газа и 2) невырожденного электронного газа, подчиняющегося статистике Максвелла – Больцмана .

Рассмотрим вычисление интегралов Kl, KlH, Kl, определенных выражением (4.118) в упомянутых предельных случаях 1 и 2 .

Сравнивая формулы (4.33) и (4.118), видим, что интегралы Kl совпадают с интегралами Kl, которые мы уже вычисляли выше (с. 232). Поэтому рассмотрим только проблему вычисления интегралов Kl и KlH .

В пределе сильновырожденного электронного газа для вычисления интересующих нас интегралов воспользуемся формуH лой (4.35). В случае интегралов K0 и K0 достаточно ограничиться первым приближением по параметру разложения kБ T / § 9.

Кинетические коэффициенты в магнитном поле 237 в формуле (4.35) и заменить производную f0 / дельтафункцией ( ) :

–  –  –

Изменение поперечного сопротивления в магнитном поле В случае металлов точность, с которой вычислялись инH тегралы K0 и K0, недостаточна и подстановка результатов (4.128) в формулу (4.125) не дает зависимости сопротивления от магнитного поля. Этот результат можно было бы предсказать заранее, поскольку, как отмечалось в главе 1, изменение сопротивления в магнитном поле связано с тем, что холловское поле компенсирует магнитную составляющую силы Лоренца лишь в среднем, а более быстрые и более медленные электроны движутся по искривленным траекториям, что уменьшает эффективную длину их свободного пробега. Поэтому для получения полевой зависимости величины / следует, воспользовавшись формулой (4.35), произвести дальнейшее разложение инH тегралов K0, K0 по малому параметру kБ T /.

Хотя эти вычисления сводятся к элементарным алгебраическим преобразованиям, они достаточно громоздки и мы приведем здесь лишь окончательный результат, а детали вычислений рассмотрим в качестве примера:

–  –  –

Тогда для относительного изменения сопротивления в магнитном поле получается достаточно простое выражение 240 Глава 4. Кинетическое уравнение для электронов

–  –  –

Из формулы (4.137) следует, что относительное изменение сопротивления в магнитном поле фактически определяется параметром 0 p (x), поскольку безразмерный фактор Tr слабо зависит от показателя рассеяния r и варьируется в интервале от 0,38 для r = 1/2 до 2, 15 при r = 3/2 .

Поперечный эффект Нернста – Эттинсгаузена Поперечный эффект Нернста – Эттинсгаузена определяется недиагональной компонентой тензора дифференциальной термоэдс H (4.125). Опуская простые, но достаточно громоздкие вычисления с использованием формул (4.56), (4.57), (4.123), (4.125), приведем лишь итоговый результат, пригодный в услоH виях сильного вырождения, когда интегралы K0, K0 вычисляются в нулевом приближении по малому параметру kБ T /, H а интегралы K1, K1 – в первом неисчезающем приближении по этому параметру (см. формулу (4.35))

–  –  –

В этой формуле e = ep ()/m – подвижность электронов ( e /c = 0 p ()/H ). Из приведенного выражения для коэффициента Qнэ следует, что знак эффекта напрямую определяется знаком показателя рассеяния r. Этот факт позволяет определять экспериментально смену преобладающего механизма рассеяния электронов (например, для рассеяния на нейтральных примесях r = 3/2, а для рассеяния на длинноволновых акустических колебаниях r = 1/2 ) .

Для невырожденного электронного газа приведем результат, пригодный лишь для случая слабого магнитного поля 0 p 1:

kБ e p (x)2 x p (x) x p (x)3. (4.139) Qнэ = e c p (x) 2 p (x) 3 § 9. Кинетические коэффициенты в магнитном поле 241 Легко показать, что знак квадратной скобки в формуле (4.139) также определяется знаком величины показателя рассеяния r и поэтому смена знака коэффициента Нернста – Эттинсгаузена может свидетельствовать о смене механизма рассеяния электронов вне зависимости от того, вырожден электронный газ или нет .

Продольный эффект Нернста – Эттинсгаузена Пользуясь определениями (4.125), имеем

–  –  –

Продольный эффект Нернста – Эттинсгаузена, так же как и поперечный эффект, пропорционален показателю рассеяния r, однако этот эффект значительно слабее поперечного, поскольку содержит дополнительный малый параметр 0 p (x) в квадрате .

Задача 4.5 Получить выражение (4 .

135) для величины / в условиях предельно сильного вырождения и сильных магнитных полей .

242 Глава 4. Кинетическое уравнение для электронов

–  –  –

На этом мы заканчиваем обсуждение различных термогальваномагнитных эффектов. Остались нерассмотренными эффекты Маджи – Риги – Ледюка, Нернста, Эттинсгаузена, Риги – Ледюка и адиабатические эффекты. Вычисление кинетических коэффициентов, характеризующих эти явления, мы предлагаем в качестве задач для самостоятельного решения .

Более полная информация по теории термогальваномагнитных явлений имеется в монографиях [8, 32] .

4.2. Гидродинамическое описание системы горячих электронов

§ 10. Переход к гидродинамическому описанию Для теоретического изучения неравновесных состояний электронного газа не всегда нужно иметь решение сложного интегродифференциального кинетического уравнения, поскольку зачастую вся информация, содержащаяся в этом решении, все равно не используется. Действительно, хорошо известно, что существует важный класс задач физической кинетики, закономерности которого описываются уравнениями гидрогазодинамики [22–25] .

В главе 3 достаточно подробно рассмотрена процедура перехода от кинетического описания неравновесной системы к гидродинамическому на примере вывода уравнений Чепмена – Энскога. Применим идеи, развитые в этой главе, для перехода к гидродинамическому описанию системы горячих электронов в полупроводниковых кристаллах. Очевидно, что гидродинамические уравнения существенно более простые по сравнению с кинетическим уравнением, поскольку в них фигурируют некоторые усредненные по импульсу характеристики микрочастиц .

244 Глава 4. Кинетическое уравнение для электронов Это позволяет применить гидродинамическое описание для тех случаев, когда решение кинетического уравнения получить не удается .

Переход к усредненному по импульсам описанию соответствует более грубой, а следовательно, менее полной картине изучаемого явления. Тем не менее идея о возможном сокращении описания системы является чрезвычайно плодотворной и в том или ином виде используется при решении практически всех задач физической кинетики. Например, при выводе кинетического уравнения в методе Боголюбова возникает система зацепляющихся уравнений для s -частичных функций распределения. Эта бесконечная система зацепляющихся уравнений эквивалентна динамическому описанию. Сокращение в описании возникает тогда, когда удается, используя некоторые приближения, выразить двухчастичную функцию распределения через одночастичную и тем самым замкнуть систему уравнений. Аналогичный подход используется и в методе функций Грина. Система зацепляющихся уравнений движения для все новых и новых функций Грина эквивалентна полному динамическому описанию. Как показано в главе 1, в большинстве реальных систем реализуется состояние динамического хаоса .

В этом случае динамическое описание просто бессмысленно, а имеет смысл огрубленное (усредненное) описание. В методе функций Грина огрубление в описании возникает при расцеплении зацепляющихся уравнений движения для функций Грина (полагается, например, что n + 1 -функция Грина выражается через низшие функции Грина) .

Физическая причина возможного сокращения описания кроется в том, что по мере роста временного масштаба, на котором исследуется динамика системы, происходит вымирание определенных корреляций между динамическими переменными и хаотическая динамика исходных динамических переменных сменяется закономерной динамикой для усредненных величин. Впервые со всей ясностью идея сокращения в описании была сформулирована в работе Н. Н. Боголюбова [20] .

Согласно Боголюбову, в случае газа малой плотности можно выделить четыре стадии эволюции динамической системы и соответственно этому четыре различных способа описания .

§ 10. Переход к гидродинамическому описанию 245 Д и н а м и ч е с к а я с т а д и я эволюции соответствует точному механическому описанию системы. Никакого сокращения в описании не происходит. Этой стадии эволюции соответствует временной интервал r0 t, v где r0 – эффективный радиус взаимодействия в системе, v – средняя скорость частиц. Как отмечалось в главе 1, для систем, демонстрирующих динамический хаос, динамическое описание является бессмысленным. Оно пригодно лишь для крайне узкого класса систем, демонстрирующих регулярное движение фазовой точки в фазовом пространстве .

За время t1 r0 /v происходит синхронизация функций распределения и n -частичная функция распределения выражается через одночастичную функцию распределения. Таким образом, к и н е т и ч е с к а я с т а д и я эволюции соответствует описанию системы на языке одночастичной функции распределения. Временной масштаб, характерный для кинетической стадии эволюции, определяется неравенствами r0 l t, v v где l – длина свободного пробега частиц .

За время l/v, которое по порядку величины совпадает с временем релаксации импульса, в системе успевают сформироваться средние, имеющие смысл среднего числа частиц, средней энергии, среднего импульса, т. е. гидродинамические переменные. Поэтому на временах l t v возникает г и д р о д и н а м и ч е с к а я с т а д и я эволюции системы. На этой стадии система описывается заданием гидродинамических параметров, которые обычно связаны со средними значениями величин, являющихся аддитивными интегралами движения, поскольку именно эти величины обычно являются «долгоживущими» переменными .

246 Глава 4. Кинетическое уравнение для электронов

–  –  –

Таким образом, мы ввели пять эффективных параметров Tk, vd,, которые связаны со средними значениями динамических величин, являющихся аддитивными интегралами движения. Такой способ параметризации неравновесной функции распределения согласуется также и с теоремой Гильберта, утверждающей, что если решение кинетического уравнения существует, то оно может быть выражено через первые пять моментов функции распределения. Для нахождения этих параметров необходимо получить пять уравнений баланса, имеющих смысл уравнения баланса энергии, импульса и числа частиц .

Необходимо сделать несколько замечаний относительно применимости понятия температуры электронной подсистемы. Если считать, что равновесие внутри электронной системы устанавливается в основном за счет электрон-электронных столкновений, частоту которых обозначим ee, а изменение энергии и импульса электронной системы происходит за счет взаимодействия с длинноволновыми фононами с характерной частотой ep, то для того, чтобы можно было говорить об эффективной электронной температуре, отличающейся от температуры фононной системы, необходимо выполнение условия

ee ep .

В некоторых случаях и это условие оказывается недостаточным. Если, например, электроны взаимодействуют с оптическими фононами, то энергия электронов в каждом акте рассеяния будет изменяться на величину кванта оптического фонона 0, а в процессе электрон-электронных столкновений – на величину

0. Поэтому электроны могут не успеть термализоkБ T ваться, несмотря на то что условие ee ep выполняется. В дальнейшем всегда будем предполагать, что условия применимости описания на языке эффективных параметров Tk, vd, выполняются .

248 Глава 4. Кинетическое уравнение для электронов § 11. Уравнение баланса импульса Символически кинетическое уравнение, которое будем использовать далее в этой главе, можно записать в виде

–  –  –

а второе слагаемое представляет собой интеграл столкновений (4.88), который численно равен скорости изменения функции распределения за счет столкновений .

Для получения уравнения баланса импульса умножим уравнение (4.147) на k и просуммируем по k и. В результате получим уравнение (4.149) P + P = 0 .

t t поле ст Первый член в левой части (4.149) равен скорости изменения среднего импульса электронной системы за счет действия внешнего поля, а второй член описывает изменение среднего импульса за счет столкновения с рассеивателями. Используя выражение (4.148), первое слагаемое в формуле (4.149) запишем в виде

–  –  –

При составлении уравнения баланса импульса следует ограничиться линейным приближением по дрейфовой скорости vd и линейным приближением по электрическому полю. Это означает, что в формуле (4.150) можно опустить дрейфовую скорость § 11. Уравнение баланса импульса 249

–  –  –

При выводе формулы (4.155) мы учли, что подстановка симметричной части функции распределения f s и f s обращает k k+q правую часть (4.153) в нуль, что совершенно ясно из физических соображений и легко может быть доказано из соображений симметрии, если учесть, что под знаком суммы в этом случае оказывается выражение, нечетное по степеням q. Отличный от нуля результат возникает лишь при разложении функции fk+q, который в соответствии с формулой (4.154) пропорционален k + q, что и дает в итоге члены, пропорциональные q 2 .

Суммируя полученные результаты (4.151), (4.155), сформулируем уравнения баланса импульса. Вводя суммарный дрейфовый импульс электронной системы Pd = P = nmvd, имеем

–  –  –

Уравнение баланса импульса (4.156) имеет совершенно ясный смысл: сила, действующая на систему электронов со стороны внешнего электрического поля, равна по величине и противоположна по направлению силе, действующей со стороны решетки. Величина, определяемая формулой (4.157), имеет смысл § 11. Уравнение баланса импульса 251 времени релаксации среднего (полного) импульса электронной системы .

Три уравнения баланса импульса (4.156) содержат в нашем случае пять неизвестных: три компоненты дрейфовой скорости, неравновесную температуру кинетических степеней свободы электронной системы Tk и неравновесный химический потенциал. Если внешнее электрическое поле является достаточно слабым и не приводит к разогреву электронной системы, то температуру и химический потенциал можно считать равновесными параметрами. В этом случае величина 1/ (4.157) не содержит неизвестные параметры и уравнение баланса импульса (4.156) сразу позволяет найти компоненты дрейфовой скорости, а следовательно, и электропроводность равновесной системы e2 n = 0, m где 0 – время релаксации импульса электронов в условиях равновесия .

Получим выражение для времени релаксации полного импульса равновесной системы. Для этих целей преобразуем формулу (4.157), полагая, что температура и химический потенциал являются равновесными ( Tk = T, = 0, 0 – здесь и далее равновесный химический потенциал).

Для преобразования этой формулы воспользуемся свойствами равновесной функции распределения Ферми – Дирака f 0 и функции Планка Nq :

k

–  –  –

При выводе (4.161) мы воспользовались приближением (4.89) и учли, что при взаимодействии электронов с акустическими колебаниями решетки в методе потенциала деформации вклад дает только взаимодействие с продольными акустическими фононами. По этой причине индекс поляризации в формуле (4.161) опущен .

Рассмотрим подробнее входящий в выражение (4.161) интеграл по импульсам

–  –  –

Интеграл (4.165) отличен от нуля только тогда, когда значение y = 0 включается в область интегрирования. Это накладывает ограничение на область изменения волновых векторов фононов q, взаимодействующих с электронами. Учитывая все сказанное, окончательно для интеграла I(q) получаем простое выражение

–  –  –

Дальнейшие вычисления на основании формулы (4.161) сводятся фактически к интегрированию степенной функции q 3 и сведению интеграла по энергии к интегралу Ферми (4.34).

Не будем останавливаться на этих простых вычислениях и приведем сразу результат:

–  –  –

Таким образом, выражения (4.156), (4.172) представляют собой три уравнения баланса импульса, содержащие пять неизвестных параметров vd, Tk,. Для получения замкнутой системы макроскопических уравнений баланса к этим трем уравнениям нужно добавить еще два: уравнение баланса энергии и уравнение баланса числа частиц .

§ 12. Уравнения баланса энергии и числа частиц Для получения уравнения баланса кинетической энергии необходимо левую и правую части уравнения (4.147) умножить на k и просуммировать по k и. В отличие от уравнения баланса импульса, где мы ограничились линейным приближением по напряженности внешнего электрического поля или дрейфовой скорости, в уравнении баланса энергии будем удерживать квадратичные члены по этим параметрам .

Вводя обозначение

–  –  –

Подставляя выражение (4.174) в формулу (4.173) и учитывая, что нечетные по k члены вклад в сумму в правой части 256 Глава 4. Кинетическое уравнение для электронов (4.173) не дадут, получаем

–  –  –

Аналогично, выполняя дважды интегрирование по частям, можно найти вклад и второго слагаемого в квадратной скобке выражения (4.175) в скорость изменения средней энергии электронов за счет поля

–  –  –

Если внешнее электрическое поле не приводит к процессам ударной ионизации электронов донорных примесей и нет других оснований считать, что электрическое поле может привести к изменению концентрации электронов в кристалле, то при включении электрического поля должно выполняться условие (2mkБ T )3/2 (2mkБ Tk )3/2 F1/2 /kБ Tk, (4.181) F1/2 0 /kБ T = которое можно рассматривать как уравнение баланса числа частиц .

Получим теперь выражение, которое определяет скорость изменения кинетической энергии электронов за счет взаимодействия с решеткой. Для этого умножим уравнение (4.88) на k и просуммируем по k и. Как и при выводе уравнения баланса импульса, вклады от первой и второй квадратных скобок в правой части (4.88) можно объединить, сдвигая при суммировании вклада от второй квадратной скобки начало отсчета в k -пространстве на произвольный вектор q, заменив k q k .

Тогда с учетом закона сохранения

–  –  –

Как будет ясно из дальнейшего анализа, правая часть выражения (4.182) пропорциональна отклонению неравновесной температуры Tk = Tk T от равновесной. Поскольку отклонение температуры связано с разогревом электронной системы внешним электрическим полем, величина Tk по меньшей мере пропорциональна квадрату напряженности внешнего электрического поля. По этой причине в квадратных скобках формулы (4.182) можно заменить функции распределения fk их симметричными частями f s. Учет второго члена в правой части k 258 Глава 4. Кинетическое уравнение для электронов разложения (4.154) приводит к явному превышению точности (напомним, что в уравнении баланса энергии мы удерживаем члены, квадратичные по внешнему полю) .

С учетом формул, аналогичных формулам (4.158), выражение в квадратных скобках в правой части (4.182) можно записать в следующем виде:

I(k, q ) = (Nq + 1) fk+q (1 fk ) Nq fk (1 fk+q ) = s s s s

–  –  –

Уравнения (4.156), (4.181) и (4.187) образуют замкнутую систему пяти уравнений для определения компонент дрейфовой скорости, температуры кинетических степеней свободы электронов проводимости и химического потенциала .

§ 13. Решение системы уравнений баланса энергии, импульса и числа частиц. Приложения гидродинамического подхода В рассматриваемом случае изотропного закона дисперсии и изотропного рассеяния уравнение баланса импульса является в действительности скалярным уравнением, поскольку дрейфовая скорость электронов параллельна вектору напряженности электрического поля. Выражая vd из уравнения (4.156) и подставляя этот результат в формулу (4.187), получаем

–  –  –

явным превышением точности .

Таким образом, мы рассмотрели задачу о разогреве электронной системы внешним электрическим полем и нашли выражения для кинетической температуры (4.194), химического потенциала (4.196) и дрейфовой скорости (4.156), входящих в неравновесную функцию распределения (4.146) .

Особо необходимо отметить, что величина отклонения температуры электронов Tk от равновесной температуры T не обязательно должна быть малой (фактически при выводе уравнений баланса импульса, энергии и числа частиц малость величины Tk /T не предполагалась) .

Совершенно аналогично можно было рассмотреть и случай вырожденного электронного газа (эта задача предлагается читателю для самостоятельного решения) .

Перейдем теперь к обсуждению возможных применений развитой здесь теории для решения различных задач физической кинетики .

§ 14. Отрицательное дифференциальное сопротивление С прикладной точки зрения, важно найти такие условия, при которых разогрев носителей заряда приводил бы к появлению на вольт-амперной характеристике участка с отрицательным значением dJ/dE, где J – плотность электрического тока, E –напряженность электрического поля, приложенная к образцу. Такая ситуация может возникнуть, если вектор плотности 262 Глава 4. Кинетическое уравнение для электронов электрического тока J антипараллелен вектору напряженности электрического поля E и когда вектор J E, но плотность электрического тока в образце уменьшается с ростом электрического поля. В первом случае принято говорить об о т р и цательном с о п р о т и в л е н и и, а во втором – об о т р и ц а т е л ь н о м д и ф ф е р е н ц и а л ь н о м сопротивлении (ОДС) .

Отрицательное дифференциальное сопротивление может наблюдаться экспериментально в условиях контроля как тока через образец (рис. 30 a), когда большое дополнительное сопротивления R включено в цепь последовательно с образцом, так и в условиях контроля напряжения на образце, когда он включен параллельно большому дополнительному сопротивлению нагрузки RН (рис 30 б)) .

–  –  –

Рис. 30. S-образные (а) и N-образные (б ) нелинейные вольт-амперные характеристики и схемы их измерения при контроле тока и напряжения. Образцом является сопротивление r В первом случае нелинейные вольт-амперные характеристики имеют вид S-образной кривой, а во втором случае – N-образной. Для того чтобы обеспечить контроль тока J, протекающего через образец с сопротивлением r, должно выполняться условие R r. Аналогично в случае б должно выполняться условие RH r .

§ 14. Отрицательное дифференциальное сопротивление 263

–  –  –

В условиях разогрева электронного газа, как следует из формулы (4.172), для случая статистики Максвелла – Больцмана Tk, где m – некоторый показатель степени, а m мощность, переданная электронами в решетку, согласно (4.187), имеет следующую температурную зависимость:

–  –  –

Из формулы (4.200) следует, что если выполняются условия n m 0 и n + m 0, то E и J растут с возрастанием Tk и, следовательно, dJ/dE остается положительной величиной .

Если, однако, n m 0, а n + m 0, то при возрастании тока, а следовательно, Tk напряженность электрического поля будет уменьшаться, что соответствует участку с отрицательным дифференциальным сопротивлением на вольт-амперной 264 Глава 4. Кинетическое уравнение для электронов характеристике. Возникающая при этом вольт-амперная характеристика имеет S-образный вид. В частности, легко видеть, что условия возникновения участка с ОДС выполняются, если релаксация импульса происходит за счет взаимодействия электронов с примесями ( m = 3/2 ), а релаксация энергии определяется пьезоэлектрическим рассеянием на акустических фононах ( n = 1/2 ) .

В действительности явление возникновения ОДС сопровождается развитием неустойчивостей в однородном полупроводниковом кристалле. В частности, в условиях контроля тока через образец возникновение участка с ОДС на вольт-амперной характеристике сопровождается «шнурованием» электрического тока. В плоскости продольного сечения образца возникают один или несколько каналов с более низким значением электрического сопротивления, которые по существу шунтируют образец .

При контроле напряжения на образце возникает неустойчивость другой природы. В образце появляются участки (домены) с высоким и низким значением электрического сопротивления .

Все падение напряжения будет приходиться на домен с высоким сопротивлением. Под действием электрического поля эти домены движутся по образцу, благодаря чему возникают периодические электрические колебания. Это явление нашло свое практическое применение для создания генераторов СВЧ-колебаний (диодов Ганна) .

Диод Ганна – полупроводниковый прибор, состоящий из однородного полупроводника, генерирующий СВЧ-колебания при приложении постоянного электрического поля. Физической основой, позволяющей реализовать такие свойства в диоде, является эффект Ганна, который заключается в генерации высокочастотных колебаний электрического тока в однородном полупроводнике с N-образной вольт-амперной характеристикой .



Pages:     | 1 || 3 | 4 |



Похожие работы:

«Кузьмин Петр Геннадьевич Физические процессы, определяющие свойства наночастиц, полученных при лазерной абляции твердых тел в жидкости 01.04.21. — лазерная физика Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Научный руководитель д. ф.-м. н. Шафе...»

«Методические указания (пояснительная записка) Рабочая программа дисциплины "Новейшие результаты нанофизики" Предназначена для студентов дневного отделения 5 -го курса, 9 семестр по специальности: _Физика _ 010701.65 по специализации: Химическая физика АВТОР: доктор физико-математических наук, профессор А.А. Бухараев КРАТКАЯ АННОТАЦИЯ: Цел...»

«Итоги XXVI Открытой московской естественнонаучной конференции "Потенциал" 17-181 февраля 2017 года Секция "Физика Физический эксперимент на уроке" место ФИО ОУ тема руководитель Слепнев А. А. ГБОУ Лицей №1502 при МЭИ Изучение влияния характеристик гироскопа на Данилов И. А. его поведение Борькин В. В. ГБОУ Лицей №15...»

«"Санкт-Петербургские ведомости", 29.08.2014 Школа естественного отбора В наступающем учебном году две школы продолжат свыкаться со статусом, полученным в году минувшем: знаменитая "Два-Три-Девять" стала президентским лицеем, не менее знаменитая "Тридцатка" – теперь лицей губернаторский. Характерно, что...»

«УДК 165.0 ОБ ОНТОЛОГИЧЕСКИХ И ГНОСЕОЛОГИЧЕСКИХ АСПЕКТАХ ИСТОЛКОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ В ПРОГРАММЕ ФОРМАЛИЗМА © 2011 Д. И. Алябьев аспирант каф. философии e-mail: dmitry_al@email.su Курский государственный университет В статье рассматривается попытка переосмысления формалистского течения Д. Гильберта в области оснований математики. На основе уста...»

«Математические структуры и моделирование УДК 004.896 2016. № 4(40). С. 96–101 ПРОГРАММА СHATBOT — ЧАТ-БОТ ИЛИ ВИРТУАЛЬНЫЙ СОБЕСЕДНИК В.А. Шовин научный сотрудник, e-mail: v.shovin@mail.ru ФГБУН Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН, Омский филиал Аннотация. Разработана про...»

«Раздел 8. Математические методы исследования операций 8.1.Введение Сегодня теория исследования операций является важным инструментом при принятии решения в различных отраслях промышленности. Одной из первых отечественных работ, которую можно отнести к исследованию операций, была работа Л.В.Канторовича "Математические методы организа...»

«1.2.2.3. Минерально-сырьевые ресурсы (ФГУ "ТФИ по Иркутской области" МПР России, ФГУ "ТФИ по Республике Бурятия" МПР России, ФГУ "ТФИ по Читинской области" МПР России, ВостСибНИИГГиМС ФГУНПГП "Иркутскгеофизика"...»

«АКАДЕМИЯ НАУК СССР С И Б ИР С К,о Е О ТД Е Л Е НИ Е ТРУДЫ ИНСТИТУТА ГЕОЛОГИИ И ГЕОФИЗИКИ Вы п у с к 588 СТРУКТУРНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ 3ЕМНОЙ КОРЫ И ИХ эволюция И З_Д А Т Е Л Ь С Т В О "Н А У К А". СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ Новосиб...»

«1985 г. Сентябрь Том 147, вып. 1 УСПЕХИ ФИЗИЧЕСКИХ HAVE ФИЗИКА НАШИХ ДНЕЙ 539.188 ОХЛАЖДЕНИЕ АТОМОВ ДАВЛЕНИЕМ ЛАЗЕРНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ В. И. Валыкин, В. С . Летохов, В. Г. Мино...»

«Кукло Леонид Игоревич СИНТЕЗ ДВОЙНЫХ ОКСИДОВ ЖЕЛЕЗА (III) И КОМПОЗИТОВ НА ОСНОВЕ НАНОЧАСТИЦ МАГНЕТИТА И МАГГЕМИТА МЕТОДАМИ ИОННОГО И ИОННО-КОЛЛОИДНОГО НАСЛАИВАНИЯ специальность 02.00.21 — химия твёрдого тела ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата химических наук Научный руководите...»

«Тема 4,5. Топливные элементы. Классификация и принцип работы топливных элементов (4 часа) Топливный элемент – это химический источник тока (ХИТ), в котором электрическая энергия образуется в резул...»

«II Международная научно-практическая конференция "Современная химико-токсикологическая экспертиза" II International scientific conference ACTE’2015 06 07 октября 2015 г., Москва 06 октября 2015г. Первый день работы кон...»

«Документация, обосновывающая деятельность по объекту "Временное причальное сооружение в районе Лунского залива"СОДЕРЖАНИЕ: 1 ВВЕДЕНИЕ 5 1.1 Цель 6 1.2 Нормы и стандарты 6 1.3 ОПРЕДЕЛЕНИЯ И АББРЕВИАТУРЫ 7 2 СВЕДЕНИЯ О ТОПОГРАФИЧЕСКИХ, ИНЖЕНЕРНО-ГЕОЛОГИЧЕСКИХ, ГИДРОГЕОЛОГИЧЕСКИХ, МЕТЕРЕОЛОГИЧЕСКИХ И КЛИМА...»

«2 Химия Украины, СНГ, мира – http://ukrchem.dp.ua/ №13 (331) 1 15 июля 2013 г. ISSN 1606-7304 КАК ОПУБЛИКОВАТЬ РЕКЛАМУ В ЖУРНАЛЕ “ХИМИЯ УКРАИНЫ” ПОЛНОЦВЕТНУЮ НА ОБЛОЖКЕ Стоимость ОДНОГО объявления, грн. НДС не облагается высота/ширина (мм), I страница II стран...»

«февраль 1989 г. Том 157, вып. 2 У~С И ФИЗИЧЕСКИХ НАУК 537.614 СПИНОВЫЕ СТЕКЛА И НЕЭРГОДИЧНОСТЬ И. Я. Коренблит,.. Шендер (Ленинградский институт ядерной физики им. Б. П. Константинова АН СССР) СОДЕРЖАНИЕ 1. Введение 267 2. Основные экспериментальные результаты 269 2.1. Статичес...»

«Математическое моделирование морских систем УДК 561.465 Ю.Б. Ратнер, А.И. Кубряков, А.Л. Холод, Т.М. Баянкина, М.В. Иванчик Использование данных измерений с дрейфующих буев SVP-BTC и Argo для валидации результатов прогноза температуры воды в прибрежной области Черного моря В работе проводится оценка дост...»

«Пленарные доклады ИМИТАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И ТЕОРИЯ ОЧЕРЕДЕЙ Ю. И. Рыжиков (Санкт-Петербург) На первой и в особенности второй конференциях ИММОД ряд авторов – как молодых, так и маститых – ставил вопрос о теории...»

«физика океана Под редакцией д-ра физ.-мат. наук проф. Ю. П. Доронина Допущено Министерством высшего и среднего специального образования СССР в качестве учебника для студентов вузов, обучающихся по специальности Океанология" г ЛЕНИНГРАД ГИДРОМЕТЕОИЗДАТ 1978 УДК 551.46 В. В. Бого...»

«МЕТОДИКИ ВЫПОЛНЕНИЯ ИЗМЕРЕНИЙ ГИДРОХИМИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ КОНТРОЛЯ КОМПЛЕКТ МЕТОДИК ПО ГИДРОХИМИЧЕСКОМУ КОНТРОЛЮ АКТИВНОГО ИЛА: ОПРЕДЕЛЕНИЕ МАССОВОЙ КОНЦЕНТРАЦИИ АКТИВНОГО ИЛА, ИЛОВОГО ИНДЕКСА, ЗОЛЬНОСТИ СЫРОГО ОСАДКА, АКТИВНОГО ИЛА, ПРОЗРАЧНОСТИ НАДИЛОВОЙ ВОДЫ Федеральный реес...»

«С И Б И Р С К О Е О ТД Е Л Е Н И Е РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ ГЕОЛОГИЯ И ГЕО ФИЗИКА Геология и геофизика, 2016, т. 57, № 11, с. 1969—1991 ИЗОТОПНАЯ ГЕОХИМИЯ И ГЕОХРОНОЛОГИЯ УДК 550.42:552.3:552.5:550.93 НЕОпРОТЕРОЗОЙСКИЕ МЕТАвУЛКАНОГЕННО-ОСАДОЧ...»

«Титульный лист программы Обучения по дисциплине Форма (Syllfbus) Ф СО ПГУ 7.18.3/37 Министерство образования и науки Республики Казахстан Павлодарский государственный университет им. С. Торайгырова Кафедра безопасности жизнедеятельности и защита окружающей среды ПРОГРАММА ОБУЧЕНИЯ ПО Д...»

«L 0624845 иллсинтез L L Каталог химической продукции Аля гальванических процессов 606037, г.Дзержинск, Нижегородская обл., а/я 58 тел/факс (8313) 25-23-46; 26-02-33; 26-49-86 E-mail: igor@chimsn.ru L Уважаемые господа! t Предприятие "Химсинтез" начало свою деяте...»

«Научно-теоретический журнал ALITER № 1 (2013) Главный редактор С. В. Пахомов Редакционная коллегия К. Ю. Бурмистров Ю. Ю . Завгородний Е. В. Зоря (секретарь) В. В. Жданов С. В. Капранов Б. Менцель Ю. Л. Халтурин Ю. А. Шабанова ISSN 22...»

«УДК 550.388.2 Перевалова Наталья Петровна ИССЛЕДОВАНИЕ ИОНОСФЕРНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ МЕТОДОМ ТРАНСИОНОСФЕРНОГО GPS-ЗОНДИРОВАНИЯ 25.00.29 – Физика атмосферы и гидросферы АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук Иркутск – 2014 Работа выполнена в Федеральном государственном бюдж...»

«КОБЫЧЕВ Владислав Валерьевич Двойной бета-распад изотопов кадмия, церия, гадолиния и вольфрама Специальность 01.04.16 – физика ядра, элементарных частиц и высоких энергий Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Научный руководитель: доктор физико-математических наук Ю.Г.Здесенко Киев – 1...»








 
2018 www.new.z-pdf.ru - «Библиотека бесплатных материалов - онлайн ресурсы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 2-3 рабочих дней удалим его.